1、第 卷 第 期年 月南 昌 大 学 学 报 ,关 于 分 块 矩 阵 的 逆 矩 阵 解 法汪 涛墓 础 课 教 学 部摘 要 讨 论 了 几 种 阶 数 较 高 的 矩 阵 经 分 块 后 的 分 块 矩 阵 的 逆 矩 阵 的 解 法 问 题关 键 词 矩 阵 , 分 块 矩 阵 , 逆 矩 阵我 们 知 道 , 矩 阵 是 从 线 性 方 程 组 引 出 来 的 , 对 于 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 , 其 中,月口口口卿画一一如 果 可 逆 , 那 么 其 解 为 一 因 此 , 解 上 述 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 关 键 是 先 求 出 一 当是 低 阶 可 逆
2、 矩 阵 时 , 可 直 接 用 求 逆 矩 阵 的 计 算 公 式 求 一 , 而 且 运 算 量 不 会 太 大 然 而 对 于阶 数 较 高 的 矩 阵 , 计 算 起 来 就 比 较 困 难 为 了 简 化 运 算 , 可 先 将 矩 阵 进 行 分 块 本 文 介 绍 几 类阶 数 较 高 的 矩 阵 经 分 块 后 的 分 块 矩 阵 的 求 逆 矩 阵 的 计 算 公 式 , 从 而 达 到 简 化 运 算 的 目 的 。分 块 矩 阵 形 如 一 、 ,阵的 逆 矩 阵 的 解 法设 一 一 一, , 、 , 、 什 , 、 , 分 别 表 示 阶 、 阶 、 阶 和 阶 的
3、单 位 矩 阵如 果 , 、 分 别 是 阶 和 阶 的 可 逆 矩 阵 , 式 、 分 别 是 阶 和 阶 的 零 矩阵 , 那 么一因 为由 定 义一 , 日 护 , 所 以 , 可 逆一 一 , ,尸一有是于收 稿 日 期 , 一 一 算 出 上 式 并 比 较 等 式 两 边 , 得 到解 得 , 八 , , , , ,一 一 ,】 一 一一一 ,一 刃一胜一一因 此一 如 果 , 、 分 别 是 阶 和 阶 的 可 逆 矩 阵 , , 是 丫 阶 的 零 矩 阵 , , 是 又 阶 的矩 阵 , 那 么一 因 为 一 , , 日 护 , 所 以 , 可 逆由 定 义 一 十 , ,
4、于 是 有一一一 ,一算 出 上 式 并 比 较 等 式 两 边一, 得 到、夕、产、产飞工曰八 盛任了咬、 、几、了气,由 、 式 , 得一 , 八 , ,把 , 耐 代 入 式 , 得, 一 , 一 八 所 以 一 刃 矿把 一 。 代 入 式 , 得 一 矿口几一一因 此 月 “ 一 澎 , 八 云如 果 月 , 是 阶 可 逆 矩 阵 , , 一 , 、 均 为 阶 矩 阵 , 并 且 , , 一 , 拼 ,一 , 八 为 可 逆 矩 阵 , 那 么 而 , , 一 , 并 , 故 也 可 逆由 定 义 一 一 , , 于 是叫,一一一得 到, , ,厂一将 上 式 乘 出 并 比 较
5、 等 式 两 边 , 、 、产、 、声、 、尹、 ,产叹门丫门了 了 、了、了气一 , , ,由 式 , 有, 一 , 一从 而代 入 ” 式 , 得所 以代 入 式 , 得由 式 , 有代 入 式 得所 以代 入 式 , 得八 一 , , , 一 , 一一 一 一 月 八 八 , 一 一 ,一 , 一 , 八 ,一 一 , 一 ,从 一 了 一一 , 几因 此 一 一 八 一 一 八 一 八 一 一 且 一一一一阅 ,从 , 可 看 出 , 计 算 阶 矩 阵 的 逆 矩 阵 时 , 只 须 求 出 两 个 阶 的 矩 阵 的 逆 矩 阵 即了 和 一 后 , 所 求 逆 矩 阵 很 快 就
6、 能 算 出 , 比 对 原 矩 阵 直 接 用 求 逆 矩 阵 的 公 式 计 算 要 简 便 一些如 果 、 分 别 是, 护 , 一阶 和 , 阶 的 矩 阵一 ”, 、 分 别 是 阶 和 又 阶 的 矩 阵 , 并 且一 八 为 可 逆 矩 阵 , 那 么, 一 , 半一一井 ,从 而 也 可 逆由 定 义 一 一 什 , , 于 是二一将 上 式 乘 出 并 比 较 等 式 两 边 , 得 到飞 门 一, , ,由 式 , 有 , , 一 从 而代 入 式 , 得所 以代 入 式 , 得 八 一 豆 , 且, 一 , 一 一 ,一 一 一 五 , 一 一 , 八 , , 飞 , ,
7、 一 , 正 又 由 式 , 有代 入 式 , 得所 以代 入 式 , 得因 此, 一 , ,一 , 八 之 ,一 八 “ 八 一 万 一 ,一 川 一 一 一 八 , , 一 五 一 一 飞 一 八 一 一凡抓九从 可 见 , 求 出 阶 和 、 阶 的 矩 阵 的 逆 矩 阵 即 口 和 一 后 , 原 来 的 十 、 又阶 的 矩 阵 的 逆 矩 阵 就 比 较 容 易 算 出 , 比 对 原 矩 阵 直 接 用 求 逆 矩 阵 公 式 计 算 要 方 便 得 多日分 块 矩 阵 形 如 一 二。,二自 ,二如 果 为 准 对 角 矩 阵 , 即丸巴并 且 , , , , 儿 , 均 为
8、 可 逆 矩 阵 , 那 么 可 知亩吕志振 卜户片一一了“犯八风一一一如 果 不 是 准 对 角 矩 阵 , 但 是 , , 人 , 阶 的 办 法 , 反 复 利 用 , 逐 步 求 出 的 逆 矩 阵, 儿 均 为 可 逆 矩 阵 , 那 么 求 一 时 , 可 采 取 降解 法 如 下因 为 一 , , 日 卜 山 , 护 , 所 以 可 逆一一尸 月卫一一振 。肠人踢一 一 , , ,一护胜一一一三 习一, 一肠 人一 , , , 一 , , 一 , 于 是 川 一 了 口由 , 可 得 一一”再 由 , 可 得 八 一 八 云 云 一 八 肠 尸工一刀如 此 继 续 下 去 , 即 反 复 运 用 最 后 得一 一 厅, 一 ,一 , 一 ,一 才 , , , 一 ,乎 一 , 一 , 厅 由 此 可 见 , 在 求 形 如 的 高 阶 分 块 矩 阵 的 逆 矩 阵 一 时 , 只 要 反复 运 用 一 次 , 即 可 得 一 参。人文 献【 北 京 大 学 数 学 力 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 代 数 小 组 编 高 等 代 数 人 民 教 育 出 版 社 ,【 英 巴 尼 特 著 刘 则 刚 , 播 鼎 坤 译 科 技 人 员 用 的 矩 阵 方 法 陕 西 科 学 技 术 出 版 社 ,尸 , ,一, , 一 飞。 。
