1、 二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例 1 设 a为实数，函数2()|1fxa， xR（1）讨论 ()fx的奇偶性；（2）求 的最小值解；（1） 0a时， fx为偶函数时， 为非奇非偶函数（2）222 2213,4()|1,xax
2、axfxa当min13,4afx当2in,12fa当min13,4afx例 2 已知函数 1)(2f， |1|)(xag.(1)若关于 x的方程 |x只有一个实数解，求实数 a的取值范围；(2)若当 R时，不等式 )(f恒函数成立，求实数 的取值范围；(3)求函数 |)(|xgfxh在区间-2,2上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.解：（1）方程 |()|f，即2|1|ax，变形得 |1|(|)0xa，显然，x已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程 |，有且仅有一个等于 1 的解或无解 ，结合图形得 0a. （2）不等式 ()fxg 对 xR恒成立，即2(1)|xax（*）
3、对 xR恒成立，当 1时， （*）显然成立，此时 a； 当 x时， （*）可变形为21|x，令21,(),() .|xx因为当 1时， ()x，当 时， ，所以 ()2x，故此时 2a . 综合，得所求实数 的取值范围是 2a .（3）因为2()|()|1|hxfgxax=21,(),.xax当1,2a即时，结合图形可知 ()h在 ,上递减，在 1,2上递增，且 ()3,()a，经比较，此时 ()x在 上的最大值为 3a.当01,22a即 时，结合图形可知 h在 2,1，,上递减，在1,2a， ,上递增，且 (2)3,(2)3hah，2()14ah，经比较，知此时 ()hx在 ,上的最大值为
4、.当10,02aa即- 时，结合图形可知 ()hx在 2,1，,a上递减，在,， ,上递增，且 (2)3,()3ha，2()14，经比较，知此时 ()hx 在 ,上的最大值为 .当31,22aa即- 时，结合图形可知 ()hx在2,a，1,上递减，在,，,上递增，且 ()30ha, 30 ，经比较，知此时 ()hx 在 2,上的最大值为 .当3,2a即时，结合图形可知 ()hx在 2,1上递增，在 1,2上递减，故此时 ()hx 在 2,上的最大值为 0.综上所述，当 0a 时， ()在 ,上的最大值为 3a；当 3 时， hx 在 2,上的最大值为 ；当 a时， () 在 ,上的最大值为 0
5、.练习：1. 已知函数 2|)(2axf.（1）讨论函数 )(xf的奇偶性；（2）求函数 )(xf的最小值2. 已知函数 1(mR（1）若 ， 0,3，求 maxinDff的值（2）若 ,2x时， 8fx恒成立，求 的取值范围3. 已知函数|21|)(af，其中 a 是实数.（1）判断 xf的奇偶性，并说明理由；（2）当 1,时， )(xf的最小值为2，求 a 的值答案：1.（1） 0a函数为偶函数 非奇非偶函数 （2）221 17, (),4xfxaxa222,af 2min71,4(),271,4fxa2.（1）4 （2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置当 0,mfx在
6、 ,2上递增 ，32804fm当 ,f在 0,m上递减， ,上递增8342f当 2,x在 ,2上递减1384f综上所述：3143.（1）当 21a时，|21)(xxf，有 )(-xff，所以 )(xf为偶函数；当时， 0|0af，所以 )(f不是奇函数；又因为2)1()-(af，而|21|)21- aa，即 21，所以 (xf不是偶函数；综上，当a时， )(f既不是奇函数也不是偶函数. （2）231,21()xaxf若 1a，即 0a， 当 ,x时，axaxxf 21)(212)( ，故 )(f在 上递增，所以afxf2)1(min2，得 5a.若 2a，即 ， 当 ,x时，axxxf 23)1(21)( ，故 )(f在 1上递减，所以afxf 23)(min2，得 1a或 3.若 12a，即 10a， )12()(2)2xaxf故 )(xf在 ,上递减，在 ,上递增；所以22min)( aff ，得 31.综上， 52a或 31a或 或 3.
