1、1第一 章 量子 理论 基础1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长 m 与温 度T 成反比,即m T = b (常量 ) ;并近似计算 b 的数值,准确到二位有效数字。解 根据普朗克的黑体辐射公式dvechvdk Thvvv 11833= , ( 1 )以及 cv = , ( 2 ) ddv vv = , ( 3 )有,118)()(5 =k Thcvvehccdcdddv这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 + d 之间的辐射能量密度。本题关 注的是 取何值 时, 取得极 大值,因此 ,就得要求 对 的一阶导数为零 , 由此可求得相应的 的值 , 记作 m 。
2、但要注意的是 , 还需要验证 对 的二阶导数在 m 处的取值是否小于零 , 如果小于零 , 那么前面求得的 m 就是要求的,具体如下:01151186 =+= k Th ck Th c ek Thcehc 2 0115 =+ k Th cek Thc k Thce k Th c = )1(5如果令 x= k Thc ,则上述方程为xe x = )1(5这是一个超越方程 。 首先 , 易知此方程有解 : x = 0 , 但经过验证 , 此解是平庸的 ;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得: x=4.97,经过验证 , 此解正是所要求的,这样则有x khcTm =把 x 以及三个物理常
3、量代入到上式便知KmTm = 3109.2这便是维恩位移定律 。 据此 , 我们知识物体温度升高的话 , 辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动 , 这样便会根据热物体 ( 如遥远星体 ) 的发光颜色来判定温度的高低。1 2 在 0K 附近,钠的价电子能量约为 3eV,求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E = hv,hP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子( 2cE e 由于 ( 1)、 ( 3)方程中,由于 =)( xU ,要等式成立,必须0)(1 =x0)(2 =x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程 ( 2)可变为 0)(2)( 22222 =+ xm Edx
4、xd 令 22 2m Ek = ,得0)()( 22222 =+ xkdx xd 其解为 k xBk xAx c oss i n)(2 += 根据波函数的标准条件确定系数 A, B,由连续性条件,得)0()0( 12 = )()( 32 aa = 0= B 0s i n = k aA),3 ,2 ,1( 0s i n0=nnk ak aA xanAx s i n)(2 =11由归一化条件1)( 2 =dxx得 1s i n022 =a x dxanA 由 m nab ax dxanxam = 2s i ns i nxanaxaA s i n2)(22 =22 2m Ek =),3,2,1( 2
5、 2222 = nnm aEn 可见 E 是量子化的。对应于 nE 的归一化的定态波函数为=axaxUxU,0 ,0)( 0运动,求束缚态 ( 00 UE ) 的能级所满足的方程。解法一:粒子所满足的 S - 方程为)()()()(2 222 xExxUxdxd =+ 按势能 )( xU 的形式分区域的具体形式为 : )x(E)x(U)x(d xd2 1101222 =+ ax : )()(2 22222 xExdxd = axa : )x(E)x(U)x(d xd2 3303222 =+ xa整理后,得 : 0)(2 1201 = EU : . 0E 2 222 =+ : 0)(2 3203
6、 = EU 令 2222021 2 )(2 EkEUk =则 : 01211 = k : . 02222 = k : 01213 = k 15各方程的解为xkxk3222xkxk11111F eE exkc osDxks i nCB eA e+=+=+=由波函数的有限性,有0 )(0 )(31= EA有限有限因此xk3xk111F eB e=由波函数的连续性,有)13( F ekaks i nDkakc osCk) ,a()a()12( F eakc osDaks i nC) ,a()a()11( aks i nDkakc osCkB ek) ,a()a()10( akc osDaks i n
7、CB e) ,a()a(ak1222232ak22322222ak12122ak211111=+=+=+=整理 (10)、 (11)、 (12)、 (13)式,并合并成方程组,得0Feka Dks i nka Ckc osk00Fea Dkc osa Cks i n000D aks i nka Ckc oskBek00a Dkc osa Cks i nBeak12222ak222222ak122ak1111=+=+=+=+解此方程即可得 出 B 、 C、 D、 F ,进而得出波函 数的具体形式,要方程组有非零解,必须0B ekaks i nkakc osk0eakc osaks i n00ak
8、s i nkakc oskek0akc osaks i neak12222ak222222ak122ak1111=16ak2c oskk2ak2s i n)kk (e ak2s i nkak2s i nkak2c oskk2e aks i nekakc osaks i nek akc osekakc osaks i nekek akc osaks i nekaks i nekk akc osaks i nekakc osekke ekaks i nkakc oskeakc osaks i n0akc osaks i nek ekaks i nkakc oskeakc osaks i n0aks
9、 i nkakc oske022122122ak2221222221ak222ak222ak122ak222ak1ak122ak2222ak2122ak2222ak21akak12222ak2222ak1ak12222ak222222ak111111111111111111=+=+= 012 ake 02c os22s i n)( 22122122 = akkkakkk即 022)( 2122122 = kkakt gkk 为所求束缚态能级所满足的方程。 #解法二:接( 13)式aks i nDkkakc osCkkakc osDaks i nC 21221222 +=+aks i nDkka
10、kc osCkkakc osDaks i nC 21221222 +=+1702c osk2 2s i n)( 02c os2 2s i n) 1( 0c oss i nc oss i nc oss i n 0)c oss i n) (s i nc os( 0)c oss i n) (s i nc os()c oss i n) (s i nc os(0)c oss i n(s i nc osc oss i ns i nc os221221222122212222221222122221222212221222122212221222122212221222122212=+=+=+=+=+akk
11、akkkakkkakkkakakakkkakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkkakakkk#解法三:(11)-(13) )(s i n2 1122 FBekakDk ak += (10)+(12) )FB(eakc osD2 ak2 1 += )a( kat gkk)12()10( )13()11( 122 =+(11)+(13) ai keBFkakCk 1)(c os2 122 =(12)-(10) ai k2 1e)BF(aks i nC2 =kac t gkk)10()12( )13()11( 1
12、22 =+令 , akak 22 = 则)d( c t g )c( t g =或)f( aU2)kk( 2 20222122 =+=+合并 )b()a(、:18212221222kkkkakt g= 利用 akt g1at gk2ak2t g2222 =#解法四 : (最简方法 - 平移坐标轴法) : 110122 EU =+ ( 0 ) : 2222 E= ( 0 2 a ) : 330322 EU =+ ( 2 a )=+=0)(2020)(232032221201EUEEU=+=( 3) 0kE2k ( 2) 0k)EU(2k ( 1) 0k3213222222220211211束缚态
13、0 E 0UxkxkxkxkF eE exkDxkCB eA e111132221c oss i n+=+=+=0 )(0 )(31= EB有 限有 限因此xkxkF eA e1131=由波函数的连续性,有)7( F eak2c osDak2s i nC) ,a2()a2()6( F ekak2s i nDkak2c osCk) ,a2()a2()5( CkAk) ,0()0()4( DA) ,0()0(ak22232ak2122223221212111=+=19(7)代入 (6)akDkkakCkkakDakC 21221222 2s i n2c os2c os2s i n +=+利用 (4
14、)、 (5),得0ak2c oskk2ak2s i n)kk()kk(0ak2c os2ak2s i n)kkkk(0A0ak2c os2ak2s i n)kkkk (Aak2s i nDkkak2c osAak2c osAak2s i nAkk221221222122122122122121222221=+=+=+即得两边乘上#2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为=,,0,0 ,0 ,)(10xbbxaUaxUxxU求束缚态的能级所满足的方程。解:势能曲线如图示,分成四个区域求解。定态 S - 方程为)()()()(2 222 xExxUxdxd =+ 对各区域的具体形式为
15、 : )0( )(2 1112 =+ xExU : )0( 2 22022 axEU =+ : )( 2 33132 bxaEU = : )( 02 442 xbE =+ 20对于区域 , =)( xU ,粒子不可能到达此区域,故0)(1 =x而 . 0)( 2 2202 = EU 0)( 2 3213 =+ EU 02 424 =+ E 对于束缚态来说,有 0 EU 02212 = k 2021 )( 2 EUk = 03233 =+ k 2123 )( 2 EUk += 04244 =+ k 224 /2 Ek = 各方程的解分别为xkxkxkxkF eE exkDxkCB eA e331
16、142232c oss i n+=+=+=由波函数的有限性,得0 )(4 = E有限, xkF e 34 =由波函数及其一阶导数的连续,得AB = )0()0( 21 )( 332 xkxk eeA =akDakCeeAaa xkxk 2232 c oss i n)()()( 33 += akDkakC keeA kaa akak 2222133 s i nc os)()()( 33 =+= bkF ebkDbkCbb 32243 c oss i n)()(=+= bkeF kbkDkbkC kbb 33222243 c oss i n)()(= 21由 、 ,得 akDakC akDakCe
17、e eekk akak akak222221 c oss i n c osc os1111+=+ (11)由 、 得 DbkkCbkkDbkkCbkk )c os()s i n()s i n()c os( 23232222 =0)s i nc os()s i nc os( 22322232 =+=+ DbkbkkkCbkbkkk (12)令211111kkeeeeakakakak += ,则 式变为0)s i nc os()c oss i n( 2222 =+ DakakCakak 联立 ( 12)、 ( 13)得,要此方程组有非零解,必须0)s i nc os()c oss i n()c o
18、ss i n()s i nc os(222222322232 =+akakakakbkbkkkbkbkkk)()1()( 0)1) ( (c os) (s i n 0c osc oss i nc os )c oss i ns i ns i ns i ns i n c oss i ns i ns i nc osc os 0)c oss i n( )c oss i n()s i nc os) (s i nc os( 32322322322222222322232222222322232223222223222+=+=+=+kkkkabt gkkkabkkkabkakbkakbkakbkkkakbk
19、kkakbkakbkakbkkkakbkkkbkbkkkakakbkbkkkakak即把 代入即得)()1()( 11 1111 112132322 akakakakakakakakeeeekkkkeeeekkabt gk+=此 即 为 所 要 求 的 束 缚 态 能 级 所 满 足 的 方 程 。#附:从方程 之后也可以直接用行列式求解。见附页。22) )()(bkakekbkakekbkakekbkakekkeekbkakekbkakekkbkakekbkakekkeeekbkkbkkebkbkakakeekekbkkbkkebkbkakkakkeeekbkkbkkebkbkakkakkk
20、eeakakeebkbkbkbkbkbkakakakakakakakakakakakakakakakakakakakak22222322222321222222322222223232222222213222222222232222222222222s i ns i ns i nc osc os c osc oss i n)( s i nc oss i ns i nc os s i nc osc os)( s i nc osc oss i n0c oss i n)( s i nc osc oss i n0s i nc os)(00s i nc os0c oss i n00s i nc os)(
21、0c oss i n)(33331133331133113311331111+=+=+0) (s i n)()(c os) ( ) (s i n)()(c os)() (c os)(s i n) ( ) (s i n)(c os) (3131311311231222231231222231221231222232=+=+=bkakbkakbkakakbkakakeabkkkkabkkkkeeabkkkkabkkkkeeabkkkabkkkeeeabkkabkkkee0)( )()() () ( 0) ()() ( ) ()()( 23122312312223122231222312312223
22、11133=+=+kkkekkkabt gkkkkekkkeabt gkkkkkkkeabt gkkkkkkkakakbkbk此即为所求方程。 #补充练习题一1 、设 )()( 2221 为常数 xA ex = ,求 A = ?解:由归一化条件,有 = )x (de1A)x (deA1 2222 x2x2 1Ad ye1A 2y2 2 = 利用 = d ye 2y =A #232 、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。解:基态能量为 210 =E设基态的经典界限的位置为 a ,则有 2121 220 = aE 0a1a = 在界限外发现振子的几率为)( 220220 220xaxa
23、x edxedxe =+= )t21y dte21222d yed ye2d ye2)x (de2)( d xe22 2/t1 yy1ya)x(ax222202022= (令偶函数性质式中 2 2/221 dte t 为正态分布函数 = x t dtex 2/221)(当 )2(2 时的值=x 。查表得 92.0)2( = 92.0 = 16.0)92.01(2 = 在经典极限外发现振子的几率为 0.16。 #3 、试证 明 )x3x2(e3)x( 33x21 22 = 是线性 谐振子的波 函数,并求 此波函数对应的能量。证:线性谐振子的 S - 方程为24)()(21)(2 2222 xEx
24、xxdxd =+ 把 )( x 代入上式,有)3x9x2(e3e) 3x6()x3x2(x3) x3x2(e3d xd)x(d xd2345x21x212333233x21222222+=+= += )3x9x2(e3d xdd x )x(d 2345x2122 22 += )x18x8(e)3x9x2(xe3 335x212345x212 2222 )x()7x()x3x2(e3)7x(22433x21224 22 = 把 )(22 xdxd 代入 式左边,得)()(27 )(21)(21)(27 )(21)(2)(27 )(21)(2)(27 )(21)(22222222422222422
25、222222xExxxxxxxxxxxxxxxxxxdx xd =+=+=+=+=右边)(左边当 27=E 时,左边 = 右边。 n = 3)32(3)( 3321 22 xxedxdx x = , 是线性谐振子的波函数 , 其对应25的能量为 27 。第三章量子力学中的力学量3 .1 一维谐振子处在基态 tixex 22 22)( = ,求:( 1)势能的平均值 2221 xU = ;( 2)动能的平均值 2 2pT = ;( 3)动量的几率分布函数。解: ( 1) = dxexxU x 222222 2121 = 2222224121212122141= + =0 12 2 )12(531
26、2 aa ndxex nna xn ( 2) = dxxpxpT )()(212 2*2 = dxedxde xx 2222 2122221 )(21 = dxex x 22)1(2 2222 2 2222 2222 = dxexdxe xx 22 3222 = 26 =44222222241=或 414121 = UET( 3) = dxxxpc p )()()( * 21 2221 = dxee Pxix = dxee P xix 2221 21 += dxe pi px 2222222)(2121 += dxee i pxp 222222 )(212 21 221 2222 pe = 2
27、2221 pe =动量几率分布函数为2221)()( 2 pepcp =#3.2.氢原子处在基态 0/301),( arear= ,求:( 1) r 的平均值;( 2)势能 re 2 的平均值;( 3)最可几半径;( 4)动能的平均值;( 5)动量的几率分布函数。解: ( 1) dr ddrr eadrrr ar s i n1),( 0 220 0 /2302 0 =27 = 0 /233004 drara ar + =0 1!na xnandxex04030 232!34 aaa =02203020/2302020 0/2302020 02/230222144s i ns i n1)()2(
28、000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar= ( 3)电子出现在 r + dr 球壳内出现的几率为 = 0 20 22 s i n) ,()( ddrdrrdrr drrea ar 2/23004 =2/23004)( rear ar=0/2030)22(4)( arr eraadrrd =令 0321 , ,0 0)( arrrdrrd =,当 0)( ,0 21 = rrr 时,为几率最小位置0/222003022 )482(4)( areraraadrrd +=08)( 230220= =eadr rdar 0ar = 是最可几半径。28( 4) 2
29、22 221 = pT = 0 20 0 2/2/302 s i n)(12 00 ddrdreeaTarar = 0 20 0 2/22/302 s i n) (112 00 ddrdredrdrdrdreaarar = 0 /020302 )2(1(24 0 drearraaar20220204022)442(24aaaa =( 5) drrpc p ),()()( * = = 200 c o s0 2/302/3 s i n1)2(1)( 0 ddedrreapcp riar = 0 c o s0 /2302/3 )c os( )2(2 0 dedrerap riar = 00c o s
30、/2302/30)2(2 p riar ei prdrera = 0 /302/3 )()2(2 0 dreer ei pap rip riar + =0 1!na xnandxex)1(1)1(1)2(22020302/3 piapiai pa += 222200330 )1(421 paai pi pa += 222204400330 )(24 += paaaa 222202/30)()2(+= paa += 22222 s i n1)( s i ns i n1)(1 rrrr29动量几率分布函数422025302)(8)()(+= paapcp#3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密
31、度在球极坐标中的分量是0= ee r JJ2s i n mne rmeJ =证:电子的电流密度为)(2 * mnmnmnmne ieJeJ = 在球极坐标中为 +=s i n11reerre r式中 eee r 、 为单位矢量)s i n11( )s i n11(2*mnrmnmnrmnereerrereerreieJeJ+=) s i n1s i n1()1 1()(2*mnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnrrrerrerrei e+=m m m mn 中的 r 和 部分是实数。 ei mi mri eJ mnmne )(s i n2 22 = er me mn 2s i n=可
32、见, 0= ee r JJ2s i n mne rmeJ =#3.4 由上题可知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。30( 1)求一圆周电流的磁矩。( 2)证明氢原子磁矩为=)( 2)( 2C G Scm eSIm eMM z原子磁矩与角动量之比为=)( 2)( 2C G SceSIeLMzz这个比值称为回转磁比率。解: ( 1) 一圆周电流的磁矩为AdSJi AdM e = ( i 为圆周电流, A 为圆周所围面积)22 )s i n(s i n rdSrmemn = dSrme mn 2s i n = drdrme mn 22 s i n = )( r drddS =( 2)氢原子的磁矩为 = 0 0 22 s i n drdrmedMM mn = 0 0 22 s i n22 drdrme mn ddrdrme mn = 20 0 0 22 s i n2 2m m m me = )( S I在 C GS 单位制中 cmeM 2= =原子磁矩与角动量之比为