1、1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana 1(n1)d.3等差中项如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项a b24等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na m(nm )d(n，m N *)(2)若a n为等差数列，且 kl mn(k，l，m ，nN *)，则 aka la ma n.(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d.(
2、4)若a n， bn是等差数列，则pa nqb n也是等差数列(5)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k，m N *)是公差为 md 的等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列a n的公差为 d，其前 n 项和 Sn 或 Snna 1 d.na1 an2 nn 126等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列a n是等差数列S nAn 2Bn(A、B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列a n中，a 10，d0，则 Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若一个
3、数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 a na n2 .( )(3)等差数列a n的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列a n为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )(5)数列a n满足 an1 a nn，则数列 an是等差数列( )(6)已知数列a n的通项公式是 anpnq( 其中 p，q 为常数) ，则数列a n一定是等差数列( )1(2015重庆)在等差数列a n中，若 a24，a 42，则 a6 等于( )A1 B0 C1 D6答案 B解析 由等差数列的性质
4、，得 a62a 4a 22240，选 B.2(2014福建)等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，S 312，则 a6 等于( )A8 B10 C12 D14答案 C解析 由题意知 a12，由 S33a 1 d12，322解得 d2，所以 a6a 15d 25212，故 选 C.3在等差数列a n中，已知 a4a 816，则该数列前 11 项和 S11 等于( )A58 B88 C143 D176答案 B解析 S 11 88.11a1 a112 11a4 a824设数列a n是等差数列，若 a3a 4a 512，则 a1a 2a 7 等于( )A14 B21 C28 D35答案 C
5、解析 a 3a 4a 53a 412，a 44，a 1a 2a 77a 428.5(2014北京)若等差数列a n满足 a7a 8a 90，a 7a 100，当 n12 或 13 时，S n取得最小 值，最小值 S12S 13 130.13a1 a132思维升华 (1)等差数列的性质：项的性质：在等差数列a n中， ama n(m n)d d(mn) ，其几何意 义是点( n，an)，am anm n(m，am)所在直线 的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列a n中， Sn为其前 n 项和，则aS2nn(a 1a 2n)n( an an1 )；bS2n1 (2n1)a n.(2)求等差
6、数列前 n 项和 Sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan 2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：a当 a10，d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最大 值 Sm；b当 a10，d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最小 值 Sm.(1)等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a5a 74，a 6a 82，则当 Sn取最大值时，n 的值是( )A5 B6 C7 D8(2)设数列a n是公差 d0 的等差数列，S n为前 n 项和，若 S65a 110d，则 Sn取最大值时，n 的值为( )A5 B6C5
7、 或 6 D11(3)已知等差数列a n的首项 a120，公差 d2，则前 n 项和 Sn的最大值为_答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得 2a64,2a 72，a 620， a710；又数列a n是等差数列，因此在该数列中，前 6 项均为正数，自第 7 项起以后各项均为负数，于是当 Sn取最大值时，n6，选B.(2)由题意得 S66a 115d5a 110d，所以 a60，故当 n5 或 6 时，S n最大， 选 C.(3)因为等差数列a n的首项 a120，公差 d2，代入求和公式得，Snna 1 d20n 2nn 12 nn 12n 221n 2 2，(n 212)
8、 (212)又因为 nN *，所以 n10 或 n11 时，S n取得最大值，最大值为 110.6等差数列的前 n 项和及其最值典例 (1)在等差数列a n中，2( a1a 3a 5)3(a 7a 9)54，则此数列前 10 项的和 S10 等于( )A45 B60C75 D90(2)在等差数列a n中，S 10100，S 10010，则 S110_.(3)等差数列a n中，已知 a50，a 4a 70，a2a 3a 1da 2d(a 1a 2)2d，由于d 正负不确定，因而 a2a 3 符号不确定，故选项 A 错；若a1a 30，d0，a20，a30，所以 a a 1a3(a 1d) 2a
9、1(a12d)2d 20，所以 a2 ，故选项 C 正确；若 a10，则( a2a 1)(a2a 3)d(d) d 20，故选a1a3项 D 错3设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sm1 2，S m0，S m1 3，则 m 等于( )A3 B4C5 D6答案 C解析 数列a n为等差数列，且前 n 项和为 Sn，数列 也为等差数列Snn ，即 0，Sm 1m 1 Sm 1m 1 2Smm 2m 1 3m 1解得 m5，经检验为原方程的解，故 选 C.4数列a n的首项为 3，b n为等差数列，且 bna n1 a n(nN *)，若 b32，b 1012，则 a8 等于( )A0 B
10、3C8 D11答案 B解析 设b n的公差为 d，b 10b 37d12(2)14， d2.b 32，b 1b 32d 246.b 1b 2b 77b 1 d7627(6) 2120.又 b1b 2b 7(a 2a 1)(a 3a 2)(a 8a 7)a 8a 1a 830，a 83.故选 B.5已知数列a n满足 an1 a n ，且 a15，设a n的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn取得最大57值的序号 n 的值为( )A7 B8C7 或 8 D8 或 9答案 C解析 由题意可知数列a n是首项为 5，公差 为 的等差数列，所以 an5 (n1) 57 57，该数列前 7 项是正数 项，
11、第 8 项是 0，从第 9 项开始是负数项，所以 Sn取得最大值时，40 5n7n7 或 8，故选 C.6已知数列a n中，a 11 且 (nN *)，则 a10_.1an 1 1an 13答案 14解析 由已知得 (101) 134，1a10 1a1 13故 a10 .147已知递增的等差数列a n满足 a11，a 3a 4，则 an_.2答案 2n1解析 设等差数列的公差为 d，a 3a 4，12d(1d) 24，2解得 d24，即 d2.由于该数列为递增数列，故 d2.a n1(n1)22n1.8设数列a n的通项公式为 an2n10(nN *)，则|a 1| a2|a 15|_.答案
12、130解析 由 an2n10(nN *)知 an是以8 为首项，2 为公差的等差数列，又由an2n100 得 n5，n 5 时， an0，当 n5 时，an0，|a 1|a 2| a15| (a1a 2a 3a 4)( a5a 6a 15)20110130.9若数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an2S nSn1 0(n2)，a 1 .12(1)求证： 成等差数列；1Sn(2)求数列a n的通项公式(1)证明 当 n2 时，由 an2S nSn1 0，得 SnS n1 2S nSn1 ，所以 2，1Sn 1Sn 1又 2，故 是首项为 2，公差 为 2 的等差数列1S1 1a1 1Sn
13、(2)解 由(1)可得 2n，S n .1Sn 12n当 n2 时，anS nS n1 .12n 12n 1 n 1 n2nn 1 12nn 1当 n1 时，a 1 不适合上式12故 anError!10等差数列a n中，设 Sn为其前 n 项和，且 a10，S 3S 11，则当 n 为多少时，S n最大？解 方法一 由 S3S 11 得3a1 d11a 1 d，则 d a1.322 11102 213从而 Sn n2 n (n7) 2 a1，d2 (a1 d2) a113 4913又 a10，所以 0.故当 n7 时， Sn最大a113方法二 由于 Snan 2bn 是关于 n 的二次函数，
14、由 S3S 11，可知 Snan 2bn 的图象关于n 7 对称由方法一可知 a 0，故当 n7 时，S n最大3 112 a113方法三 由方法一可知，d a1.213要使 Sn最大，则有Error!即Error!解得 6.5n7.5，故当 n7 时， Sn最大方法四 由 S3S 11，可得 2a113d0，即(a 16d) (a 17d)0，故 a7a 80，又由 a10，S 3S 11 可知 d0，所以 a70，a 80，所以当 n7 时，S n最大B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，(n1) SnnS n1 (nN *)若 1，则( )a
15、8a7AS n的最大值是 S8 BS n的最小值是 S8CS n的最大值是 S7 DS n的最小值是 S7答案 D解析 由条件得 ，即 ，所以 ana n1 ，所以等差数列Snn Sn 1n 1 na1 an2n n 1a1 an 12n 1an为递增数列又 1，所以 a80， a70，即数列 an前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，a8a7所以 Sn的最小值为 S7，故选 D.12设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a13，a k1 ，S k12，则正整数32k_.答案 13解析 S k1 S ka k1 12 ，32 212又 Sk1 k 1a1 ak 12k 1( 3 32)
16、2 ，212解得 k13.13设等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，若对任意自然数 n 都有 ，SnTn 2n 34n 3则 的值为_a9b5 b7 a3b8 b4答案 1941解析 a n，bn为等差数列， .a9b5 b7 a3b8 b4 a92b6 a32b6 a9 a32b6 a6b6 ，S11T11 a1 a11b1 b11 2a62b6 211 3411 3 1941 .a6b6 194114已知数列a n是首项为 a，公差为 1 的等差数列，b n ，若对任意的 nN *，都有1 ananbnb 8 成立，则实数 a 的取值范围为_答案 (8，7)解析 依题
17、意得 bn1 ，对任意的 nN *，都有 bnb 8，即数列 bn的最小项是第 8 项，于1an是有 .又数列a n是公差为 1 的等差数列，因此有 Error!1an 1a8即Error! 由此解得8a7，即实数 a 的取值范围是(8，7)15已知公差大于零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a 2a 522.(1)求通项 an；(2)求 Sn的最小值；(3)若数列b n是等差数列，且 bn ，求非零常数 c.Snn c解 (1)因为数列a n为等差数列，所以 a3a 4a 2a 522.又 a3a4117，所以 a3，a4 是方程 x222x1170 的两实根，
18、又公差 d0，所以 a3a 4，所以 a39，a 413，所以Error! 所以Error!所以通项 an4n3.(2)由(1)知 a11，d4，所以 Snna 1 d2n 2n2 2 .nn 12 (n 14) 18所以当 n1 时，S n最小，最小值为 S1a 11.(3)由(2)知 Sn2n 2n，所以 bn ，Snn c 2n2 nn c所以 b1 ，b2 ，b3 .11 c 62 c 153 c因为数列b n是等差数列，所以 2b2b 1b 3，即 2 ，62 c 11 c 153 c所以 2c2c0，所以 c 或 c0(舍去)，12经验证 c 时， bn是等差数列，12故 c .12
