1、高中数学课本回归（1）第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x在集合 A 中，称 x属于 A，记为 x，否则称 x不属于 A，记作 x。例如，通常用 N，Z，Q，B， Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如 有
2、理数，0x分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 ZN。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解： 包含两个意思：A 与 B 相等 、A 是 B 的真子集定义 3 交集， .x且定义 4 并集， B或定义 5 补集，若 ,1AxIACI且则 称为 A 在 I 中的补集。定义 6 集合 ,baRxa记作开区间 ),(ba，集合
3、,xb记作闭区间 ,，R 记作 .定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合 A和元素 a，要么 A，要么 a，二者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如， “较大的树” 、 “较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由 a， 2组成一个集合，则 a的取值不能是 0或 1（3）无序性集合中的元素
4、的次序无先后之分如：由 13上组成一个集合，也可以写成 32上组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意 a与 的区别 a是集合 的一个元素，而 a是含有一个元素 a的集合，二者的关系是 （2）注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合，而 0是含有元素 0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合 ()xy上中的元素是 ()xy上，这个集合表示二元方程 y
5、x的解集，或者理解为曲线 上的点组成的点集；集合xy中的元素是 x，这个集合表示函数 yx中自变量 的取值范围；集合中的元素是 y，这个集合表示函数 中函数值 y的取值范围；集合 yx中的元素只有一个（方程 x） ，它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2 个非空真子集。集合穿针 转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)20pxqx上，则 p是 q的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件4. 若 kR，则“ 3k”是“方程213xyk表示双
6、曲线”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件二、集合与函数5.已知集合22PyxQxyxRR上，那么 PQ等于（ ） （A） （0，2） ， （1，1） （B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2 （D） 第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B ，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。定义 2 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x
7、对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为x|x0,xR.定义 4 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 xD，都有f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD ，都有 f(-
8、x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 5 如果实数 aa记作开区间（a, +） ，集合 x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义 6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与
9、其他函数图象之间的关系(a,b0) ；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。一、基础知识（初中知识 必会）1二次函数：当 a0 时， 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 ，cbxaxf2)( ab2另外配方可得 。xf 4)(22二次函数的性
10、质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（ -，x0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和x|x10，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x0)= abc42,若 a0)，当 x0m, n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题
11、，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（ p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，
12、而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题 “若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q 但 q 不 p，则称 p是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且q p，则 p 是 q 的充要条件。15常用结论。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y .2xy第三章、基本初等函数一、基础知识（必会）1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数
13、函数，其定义域为 R，值域为（0，+） ，当 01 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂： nmnnmn aa,1 。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 01 时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0） ；1） x=logaM(a0, a 1)；Max2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（ ） = loga M- loga N； 4） Mnaalogl5）loga nM=1loga M；6） ; 7) loga b=
14、bcl(a,b,c0, a, c1).alog5. 函数 的单调递增区间是 ,和 ,，单调递减区间为 0,a和)0(xy,0。 （请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若 a0，则 Ax+By+C0 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为 ,ED，半径为FED4212。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为.200 FExyx11.点与圆的位置关系点 与圆 的位置关系有三种0(,)P2)()(rbya若 ，则220dx平行关系平面几何知识 线线平行线面平行 面面平行 垂直关系平面几何知识 线线垂直线面垂直 面面垂直判定 性质 判定推论性质判定 判定
15、性质 判定 面面垂直定义1. ,/aba2. /3. ,/4. /5. , 平行与垂直关系可互相转化aA/a上点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.drPdrPdrP13.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种:0CByAx 22)()(byax; ;上 0上.其中 .rd 2BACd14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21;上上421r;3d;上21;上上21r.015.圆的切线方程(1)已知圆 20xyDEF若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是0(,)当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程0()y00()()2xy
16、F过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，yk注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线xb(2)已知圆 22xr过圆上的 点的切线方程为 ;0(,)P20yr斜率为 的圆的切线方程为 .k1ykxr16.直线的方程及其位置关系（1）直线的倾斜角 的取值范围是 。（2）两条直线的夹角 的取值范围是 。（3）两个平面的夹角 的取值范围是 。(4) 两个平面的所成的角 的取值范围是 。（5）直线与平面所成的角 的取值范围是 。（6）两个向量的夹角 的取值范围是 。(7)两异面直线所成的 的取值范围是 .四基本方法
17、和数学思想1.设三角形的三个顶点是 A（ x1,y1） 、B(x 2,y2)、C （x 3,y3）,则ABC 的重心 G 为（） ；3,2121yx2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0；3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 ；Cd4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 ：A=C 0 且 B=0 且 D2+E24AF0；5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x 0x+y0y=r2;6.以 A(x1，y 2)、 B(x2,y2
18、)为直径的圆的方程是(x x 1)(xx 2)+(yy 1)(yy 2)=0;回归课本(4)三角函数一考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 的图像.正切函数的图像和性质.sin()yx已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.二考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系
19、式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解 A,的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填空
20、题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.三基础知识:1.任意角 角零 角 ： 不 做 任 何 旋 转 的 转 形 成 的 角负 角 ： 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角正 角 ： 按 逆 时 针 方 向 旋2.与角 终边相同的角的集合 Zk,3603.弧长公式 ；扇形面积公式 （其中 为圆心角的弧度数， 为圆180rnl360212rnlrSn心角的度数）4、弧度与角度换算：1 度/180 弧度 ( 0.017453 弧度 )； 1 弧度180/ （57.3）11.任意角的三角函数设 是一个
21、任意角， 的终边上任意一点 P（x，y ）与原点的距离是 r（r= 0），2yx则 sin = ，cos = ，tan = .ryrxxy上述三个比值不随点 P 在终边上的位置改变而改变.2.同角三角函数关系式sin2 +cos2 =1（平方关系）；=tan （商数关系）；cosintan cot =1（倒数关系）.3.正弦、余弦的诱导公式 21()sin,sin(2co21()s,s(innco4.和角与差角公式; ;in()icossico()csosin.tata1nt(平方正弦公式);22si()si()siin.coco= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).inab2i)ab
22、()abtanb5.二倍角公式 .sin2icos.2222coincos1sin.tata17.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，0)si()yxcos()yx的周期 ；函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周2Ttan()yx,2kZ期 .2三角函数定义域与值域函 数 定 义 域 值 域sinyR1,cotany|,2kZR3特殊三角函数值 0 643223sin 0 211 0 1cos1 320 0tan 0 31 3无 0 无三三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)
23、1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx y=tanx 322-32 -2 oyx2三角函数的单调区间的递增区间是 ，递减区间是 ；xysin22k， )(Z232k， )(Z的递增区间是 ，递减区间是 ，cos， )(k， )(的递增区间是 ，ytanx2k， Z3.函数 BA)si(），（ 其 中 0A最大值是 ，最小值是 ， 叫振幅，周期是 ，频率是 ，相位是 ，2T2fx初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是)(ZkxBy该图
24、象的对称中心。8.正弦定理 .2sinisinabcRABC9.余弦定理;22oA;cca.sb10.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.122abcShhabc、 、（2） .1sinsisinCAB(3) .22(|)()OABBO11.三角形内角和定理 在ABC 中，有 (. 22)CA12.三角形中的诱导公式在ABC 中 sin()si,co() -cos,tan() -tanABBCABCsico22inta2tattataC四基本方法和数学思想1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记
25、住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正弦型函数 的对称轴为 ；对称中心 ；)sin(xAy )(2Zkkx)(0,(Zk类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；6.（1）正弦平方差公式：sin 2Asin 2B=sin(A+B)sin(AB);（2）三角形的内切圆半径 r= ；cbaSABC2（3）三角形的外接圆直径 2R= ;sinsinCcBbAa高中数学课本回归（5） 复复 数数 1. 复数的单位为 i，它的平方等于 1，即
26、 i2.复数及其相关概念： 复数形如 a + bi 的数（其中 Rba， ） ； 实数当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； 虚数当 时的复数 a + bi； 纯虚数当 a = 0 且 时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义： 0 iRdcdcdici ） 特 别 地，（ 其 中 ，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若 21,z为复数，则 1若 02z，则 21z.（） 21,z为复数，而不是实数2若 ，则 02
27、.（）若 Ccba,，则 0)()()( 22acba是 cb的必要不充分条件.（当 2)(iba，0)(,1)(22时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式： 21zd.其中 21z， 是复平面内的两点 1z和 所对应的复数， 21zd和表 示 间的距离.4 复数的乘方： )(.Nnzn对任何 z， 21,C及 m,有 nnnmzz21)(,)(, 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 1,42i若由1)(242i就会得到 1的错误结论.在实数集成立的 2|x. 当 为虚数时， 2|x，所以复数集内解方程不能采用两边平方法 .常用的结论： 1,1,143424
28、2 nnniiii)(,03Ziiniiii 1,2)1(5. 复数 z是实数及纯虚数的充要条件： R.若 0， 是纯虚数 0z.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注： |z. 回归课本(6)导数一基础知识:1. 在 处的导数（或变化率或微商）)(xf0.0 00()(limlixxfxfyy2.瞬时速度.00()()lilittstss3.瞬时加速度.00()()lilittvtvav4. 在 的导数xf,b.()dyfx00()(limlixyffx5. 函数 在点 处的导数的几何意义)(函数 在点
29、 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应f0 )(f)(,0fP)(0xf的切线方程是 .)(0fy6.几种常见函数的导数(1) （C 为常数）. (2) . (3) . 1()nxQxcos)(sin(4) .xsin)(co(5) ； . (6) ; .x1)ln eaxlog1)(l xe)(axln)(7.导数的运算法则（1） .（2） .uv(uv（3） .()0)8.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导数ux()xu)(ufyx，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作()uyf ()yf x. ()x10.判别 是极大（小）值的方法
30、当函数 在点 处连续时，0f )(f0（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；0)(xfx)(f（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.fx二基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点 x0 处的导数记作 ；xfffyxx )(lim)(00002.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2） (2)求平均变化率 ; );(ffy ff)(（3）取极限,得导数 ;xy0lim3.可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续；但是 y=f(x)在点 x0 处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线
31、yf（x）在点 P（x 0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，切线方程是).(0f);(00fy5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果那么 f(x)为增函数；如果 那么 f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,)(xf ,0)(xf那么 f(x)为常数；0（2）求可导函数极值的步骤：求导数 ；求方程 的根；检验 在方程)(xf 0)(xf )(xf根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，)(xf那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求 y=f(x)在
32、(a,b)内的极值；将 y=f(x)在各极值点的极值与 f（a） 、f （b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值6 导数与函数的单调性的关系 与 为增函数的关系。0)(xf)(f能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，x 3)(xf),(但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。)(xf)(f)(f 时， 与 为增函数的关系。0 0x若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，)(xf 0)(xf )(xf就一定有 。当 时， 是 为增函数的充分必要条件。)(xf 与 为增函数的关系。0)(xf为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为
33、 或0)(xf 0)(xf 0)(xf。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。)(xf )(xf是 为增函数的必要不充分条件。0)(f函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。高中数学课本回归（7）不等式1、基 本不等式定理 2a10ab,(2b)aa2ba)(12222上 上上上2.解不等式(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：(3)解分式不等式：(4)解含
34、参数的不等式： 注:解形如 ax2+bx+c0 的不等式时分类讨 论的标准有：1、 讨论 a 与 0 的大小；2、讨论与 0 的大小；3、讨论两根的大小；(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点的函数值四个角度列出不等式组(6)解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域（注意直线的虚实） ；第二步：找到目标函数的几何意义（截距、斜率、圆的半径）第三步：在可行域内找到最优解所对应的点；第四步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。高中数学课本回归（8）数列1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中
35、的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集 1,2，3，n ）的特殊函数，如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。a数列的通项公式也就是相应函数的解析式。.递推关系式：已知数列 的第一项（或前几项） ，且任何一项 与它的前一项 （前 n 项）间aan1的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的分类：按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前 n 项和： .asnn321已知 求 的方
36、法（只有一种）：即利用公式 = 注意：一定不要忘记对 n 取san n)2(,11ns值的讨论！最后，还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n 2 的关系式，从而决定能否将其合并。2.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个an)0a(bx)0a(bx0)x(gf)x(gf)(0)(数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即 .(或)2,*(1nNdan且).)*(1Nndan（1） 等差数列的判断方法：定义法： 为等差数列。)(1常 数dann 中项法 ： 为等差数列。通项公式法： （a,b 为常数）ann212n ba
37、为等差数列。前 n 项和公式法： （A,B 为常数） 为等差数列。an BnAs2n如设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列 为等差数n a21*Nnb列。（2）等差数列的通项： 或 。公式变形为: . 其中1()nad()nmdbana=d, b= d.a1（3）等差数列的前 和： ， 。公式变形为：1()2nnaS1()2nS，其中 A= 2d，B= .注意：已知 n,d, a, n, s中的三者可以求另两者，即BnAsn21所谓的“知三求二”。（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbb2abA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉
38、及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，n1dnnS其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求ad2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,2ad,（公差为 2 ）33ad3.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，011()nadnan且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.dn21 1()()ndSanan（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则00d为常数列。（3）对称性：若 是
39、有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当n时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mnpqqpmaa2mnp2mnpa(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 成等差.若 、),.(, *Nkakna是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数) 、 、nbnknb *(,)pnq，也成等差数列， 232,nSS（6）单调性：设 d 为等差数列 的公差，则and0 是递增数列；d0 且满足 ,则 最小.0101n 01a01nsn“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。(9)如果两等差数列有公共项，
40、那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab4.等比数列的有关概念：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这an个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 （或)2,(*1nqNan )(*1Nanq（1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或1(naq为 常 数 ） 0,n1n。(2)n（2）等比数列的通项： 或 。1naqnma（3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。n1nSq1()nnaqS1na特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形
41、式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，要对 分 和qq q两种情形讨论求解。（4）等比中项：如果 a、G 、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G= .提ab醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数a的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为_（答：AB）,()ab提醒：（1）等比数列的通项公式及前 项和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，n1qnnS其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意
42、 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求q2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为 ，因2,aq 33,aq公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数成等差2q数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当an时，则有 ，特别地，当 时，则有 . mnpqqpnma.2mnp
43、2.pnma(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比|*(,)pnqNnkanb、数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列nabn n 1q，也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 232,nnnSS1qn232,nnnSS，是常数数列 0，它不是等比数列. 若 是等比数列，且各项均为正数，则 成等差数an alog列。 如(3) 单调性：若 ，或 则 为递增数列；若 ,或10,aq10,qna10q则 为递减数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.10,qn nqna(4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比1baqqSnn 10a,0b数列前
44、项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。如若 是等n nSn na比数列，且 ，则 （答：1）3nSr(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列na na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列 的前 项和为 （na nnS） ， 关于数列 有下列三个命题：若 ，则 既是等差数列又是等比Nna )(1Nnana数列；若 ，则 是等差数列；若 ，则 是等比数RbSn、2nS1n列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）n12()naf求 ，
45、用作差法： 。已知 求 ，用作商法：na1,()2nnSa12()nafA n。如数列 中， 对所有的 都有 ，则(1),2)nfna,12321an_（答： ）53a61若 求 用累加法：1()nfna1221()()()nnnaaa。1a(2)n已知 求 ，用累乘法： 。1()nfna121naa ()n7.数列求和的常用方法：（1）公式法： （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：（答： ）1357(1)2nnS (1)n（3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法。 （联系：等差数列的前 n 项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题） ）. 如已知，则 _（答： ）2()1xf 1()2(3)4()()234ffff72（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比
