1、- 1 -陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 聚焦高考数列 1 训练试题 北师大版必修 5一、选择题1（广东卷）已知等比数列 na的公比为正数，且 3a9=2 25， a=1，则 1= （ ）A 2 B C 2 D2 【解析】B；设公比为 q，由已知得 228411aqaq，即 ，又因为等比数列 na的公比为正数，所以 ，故 2，选 B2（2009 江西卷）公差不为零的等差数列 na的前 项和为 nS若 4a是 37与 的等比中项， 83S，则 10等于（ ） A18 B24 C60 D90 【解析】C；由 2437a得 2111()()6dad得 1230a，再由8156S得 78则 ,，
2、所以0902，故选 C3（湖南卷）设 nS是等差数列 na的前 项和，已知 23a， 61，则 7S等于（ ）A13 B35 C49 D 63 【解析】 17267()()7(31)49.aa故选 C或由 26135d， 76213.所以 77()(1)49.2aS故选 C4（福建卷）等差数列 n的前 项和为 nS，且 3=6， 1a=4，则公差 d等于（ ）- 2 -A1 B 53 C 2 D3【解析】C； 136()2Sa且 1ad， 14， 2d故选 C5（2009 辽宁卷）已知 n为等差数列，且 72 1， 3a0，则公差 d（ ）A 2 B C D2【解析】B； 7433()adad
3、 26（辽宁卷）设等比数列 n的前 项和为 nS，若 63=3，则 96S（ ）A2 B 73 C 8 D3【解析】B；设公比为 q，则 3633(1)Sq32q，于是369617S7（宁夏海南卷）等比数列 na的前 项和为 nS，且 4 1a，2 ， 3成等差数列若1a=1，则 4S（ ）A7 B8 C15 D16【解析】 4 1，2 a， 3成等差数列， 22211 4,4,40,215aqq即 ， S，选 C8（四川卷）等差数列 n的公差不为零，首项 a1， 2是 1和 5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是（ ）A 90 B 100 C 145 D 190【解析】B；设公差为 d，
4、则 )41()(2d 0，解得 d2， 10S1009（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： - 3 - 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D1378【解析】C；由图形可得三角形数构成的数列通项 (1)2na，同理可得正方形数构成的数列通项 2nb，则由 2()nbN可排除 A、D，又由 (1)2na知 na必为奇数，故选 C10（宁夏海南卷）等差数列 na的前 项和为 nS，已知
5、 210mm，2138mS，则 （ ）A38 B20 C10 D9 【解析】C；因为 na是等差数列，所以， 12mmaa，由 210ma，得：2 m 20，所以， 2，又 238S，即 1()38，即(1)38，解得 0，故选C11（重庆卷）设 na是公差不为 0 的等差数列， 1a且 136,a成等比数列，则na的前 项和 S=（ ）A274B253C234nD 2n【解析】A；设数列 na的公差为 d，则根据题意得 ()(5)dd，解得 12或- 4 -0d（舍去），所以数列 na的前 项和 2(1)724nnS12（安徽卷）已知 na为等差数列， 1+ 3+ 5=105， 246a=9
6、9，以 nS表示 na的前 n项和，则使得 S达到最大值的 n是（ ） A21 B20 C19 D18 【解析】由 1a+ 3+ 5=105 得 3105,a即 3，由 246a=99 得 439a即4， 2d， 4()1n n，由 10n得 2，选 B13（江西卷）数列 na的通项 22(cosi)3n，其前 项和为 nS，则 30为（ ）A 470 B 490 C 495 D 510【解析】A；由于 22cosin3以 3 为周期，故222 230189()(6)(30)S10211513547k kk 14（四川卷）等差数列 na的公差不为零，首项 1a1， 2是 1和 5a的等比中项，
7、则数列的前 10 项之和是（ ）A90 B100 C145 D190 【解析】B；设公差为 d，则 )41()(2d 0，解得 2d， 10S100二、填空题1（全国卷）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 97，则 249a= 【解析】 n是等差数列，由 972S，得 59,a824924564()()32aa - 5 -2（浙江）设等比数列 na的公比 12q，前 n项和为 nS，则 4a 【解析】15；对于4314413(),15()sqsa3（浙江）设等比数列 na的公比 2q，前 n项和为 nS，则 4a 【解析】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考
8、查充分体现了通项公式和前 项和的知识联系对于4 4314413(),15()aqsqsa 4（浙江）设等差数列 n的前 项和为 nS，则 4， 84S， 128， 162S成等差数列类比以上结论有：设等比数列 b的前 项积为 nT，则 ， ， ，162T成等比数列【解析】 8124,；此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力对于等比数列，通过类比，有等比数列 nb的前 项积为 nT，则 4， 812,T， 6成等比数列5（北京）若数列 na满足： 11,2()naN，则 5a ；前 8 项的和 8S （用数字作答）
9、【解析】 121324354,8,216aaa，易知8215S，应填 2556（北京）已知数列 na满足： 43412,0,N,nnnaa则 209_；2014a=_【解析】1，0；本题主要考查周期数列等基础知识属于创新题型依题意，得 20945031a， 20410742510aa - 6 -7（江苏卷）设 na是公比为 q的等比数列， |1q，令 1(,2)nba ，若数列nb有连续四项在集合 53,219,78中，则 6= 【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项 na有连续四项在集合 4,31，四项 24,365,81成等比数列，公比为 32q， 698（山东卷）在等差数
10、列 na中， ,7253a，则 _6【解析】设等差数列 n的公差为 d，则由已知得 4711da解得 132a，所以 6153a本题考查等差数列的通项公式以及基本计算9（全国卷）设等比数列 na的前 项和为 ns若 361,s，则 4= 【解析】3；由 3614,s得 q，故 34aq10（湖北卷）已知数列 n满足： 1 m（m 为正整数），1,23nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。若 6a ，则 m 所有可能的取值为 _ 【解析】 4 5 32；若 1am为偶数，则 12为偶， 故 223 a4m当 仍为偶数时， 4683a 故 1m当 4为奇数时， 431a64故31m得
11、若 1a为奇数，则 213am为偶数，故 312ma必为偶数63，所以 6=1 可得 5- 7 -11（全国卷）设等差数列 na的前 项和为 nS，若 53a，则 95S 【解析】 na为等差数列， 953S12（宁夏海南卷）等比数列 na的公比 0q，已知 2a=1， 216nna，则 n的前 4 项和 S= 【解析】由 216nna得： 116n，即 02q， ，解得：q，又 2a=1，所以， 12a， 21)(44S 513（2009 重庆卷）设 1， 1n， 1nab， N，则数列 nb的通项公式 nb= 【解析】由条件得 11221nnnnaab且 14所以数列 nb是首项为 4，公
12、比为 2 的等比数列，则 14nb三、解答题1（全国卷）在数列 na中， 111,()2nna设 b，求数列 b的通项公式；求数列 n的前 项和 nS【解析】由已知有 12a12nnb利用累差迭加即可求出数列 的通项公式： 12n（ *N）由知 12nna，- 8 -nS= 11(2)kk1(2)nnk而 1)k，又 1nk是一个典型的错位相减法模型，易得 11242nkn nS= ()124n评析：09 年高考理科数学全国（一）试题将数列题前置，考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方
13、法基本技能，重视两纲的导向作用也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心2（浙江）设 nS为数列 na的前 项和， 2nSk， *nN，其中 k是常数求 1及 ；若对于任意的 *mN， m， 2a， 4m成等比数列，求 的值【解析】当 1,1kSn， 12)1()(222 knnkan（ ）经验， ,（ ）式成立， a m42成等比数列， m42.，即 )18)()1( kkk，整理得： 0)1(k，对任意的 N成立， 0或3（北京）设数列 na的通项公式为 (,)napqNP 数列 nb定义如下：对于正整数m， b是使得不等式 m成立的所有 n 中的最小值若 1,23pq，求 b；若 ，
14、求数列 m的前 2m 项和公式；是否存在 p 和 q，使得 ()N？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题- 9 -由题意，得 123na，解 13n，得 20n 123成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3b由题意，得 1na，对于正整数，由 m，得 2根据 mb的定义可知当 21k时， *mkN；当 k时， *1mbkN 121321242mb 22假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pnqm及 0p得 qnp 3()mbN，根
15、据 mb的定义可知，对于任意的正整数 m 都有12p，即 31pqq对任意的正整数 m 都成立当 30（或 310）时，得 31p（或 231p），这与上述结论矛盾！当 1p，即 3p时，得 20q，解得 q存在 p 和 q，使得 ()mbN；p 和 q 的取值范围分别是 1， 134（北京）已知数集 1212, ,nnAaa 具有性质 P；对任意的,ijij， ij与 ji两数中至少有一个属于 A- 10 -分别判断数集 1,34与 ,26是否具有性质 P，并说明理由；证明： 1a，且 112naa ；证明：当 5n时， 1345,成等比数列【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算
16、能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题由于 34与 均不属于数集 1,34，该数集不具有性质 P由于 62612,都属于数集 1,236，该数集具有性质 P 12,nAa 具有性质 P， na与 中至少有一个属于 A，由于 ， n，故 n 从而 na， 1 12n ， kna，故 2,3knaAn 由 A具有性质 P 可知 1,23,kA 又 121nnaa ， 121,nnna ，从而 21121nnnaa ， 21n 由知，当 5时，有 55234,a，即 2543a， 125a ， 34， 3A，由 A具有性质 P可知 43aA- 11 -2
17、43a，得 43aA，且 321a， 342a， 52431，即 12345,是首项为 1，公比为 2成等比数列ks55（山东卷）等比数列 na的前 n 项和为 nS，已知对任意的 nN，点 (,)nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数）的图像上求 的值；当 2时，记 ()4nNa，求数列 nb的前 项和 nT【解析】因为对任意的 ，点 ,nS，均在函数 (0xyrb且 1,br均为常数）的图像上所以得 nbr，当 1n时， 1a， 当 2时， 111()()nnnnnSrbb，又因为 为等比数列，所以 ，公比为 ，所以 a当 b=2 时， 1()2nnab， 142nn则 2341n
18、 nT345121n n相减，得 234512n nT312()12n12n所以 113nnnT本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知 nS求 a的基本题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n项和 T6（ 广 东 卷 ）- 12 -已知曲线 22:0(1,)nCxyn 从点 (1,0)P向曲线 nC引斜率为 (0)nk的切线 l，切点为 (,)nP求数列 nxy与 的通项公式；证明： 135212sinnnxxy 【解析】 设 直 线 nl： )(kyn，联立 02得0)( 222nxxk，则 0)1(4)(2nnkk，1n（ 舍去） 222)(k
19、xn， 即 1nx， 12)(nxkynn 证 明 ： 211nxn 12534321531 nxn nnxx1531由于 nnyx2，可令函数 xxfsin2)(，则 xfcos1)(，令 0)(f，得 cos，给定区间 4,0，则有 f，则函数 )(xf在 4,0上单调递减， )(fxf，即 xsin2在 ,恒成立，又 43120n，则有 2sin，即 nnyxxsi21 - 13 -7（安徽卷）首项为正数的数列 na满足 21(3),.4nnaN 证明：若 1为奇数，则对一切 ,都是奇数；若对一切 N都有 1n，求 1的取值范围【解析】本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考
20、查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野本小题满分 13 分已知 1a是奇数，假设 21kam是奇数，其中 为正整数，则由递推关系得 13()4k是奇数 根据数学归纳法，对任何 nN， na都是奇数（方法一）由 1(1)3a知， 1na当且仅当 1na或3na另一方面，若 0,k则 14ka；若 k，则213.4k根据数学归纳法， 1 10,;,n nNaN综合所述，对一切 nN都有 1的充要条件是 0或 1（方法二）由213,4a得 2143,a于是 或 3a221 11 ()(),nnnnn aa因为21130,4na所以所有的 n均大于 0
21、，因此 1na与 1n同号根据数学归纳法， N， 1na与 21同号 因此，对一切 n都有 的充要条件是 0a或 138（江西卷）数列 na的通项 22(cosin)3n，其前 n 项和为 nS 求 S； - 14 - 3,4nSb求数列 nb的前 n 项和 T【解析】由于 22cosicos3，故31456321322 222()()()()k kkaaaak 8(9)k，3134,2kkSa 23213(9)(31)321,6kkkk故,6(),3134,6nnSkn（ *kN） 39,2nnSb14,4n nT193,2nn两式相减得 1 23191994493138,242nnnn n
22、T 故 2318.nn9（江西卷）各项均为正数的数列 na， 12,b，且对满足 mnpq的正整数 ,mnpq都有.(1)()pqmna- 15 -当 14,25ab时，求通项 ;na 证明：对任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 n，都有 1.na【解析】由 (1)(1)pqmnaa得21 1.nn将 24,5a代入化简得 2.na所以 1,13nna 故数列 n为等比数列，从而 1,3na即 1.n可验证， 31a满足题设条件由题设 ()mn的值仅与 n有关，记为 ,mnb则11 .()1nn naab 考察函数 ()0xfx，则在定义域上有,11(),2,011afxgaa故对 *nN， 1()nbga恒成立又 22(n，注意到 0)ga，解上式得 1()2()1()2()( ,1)2) ngaga- 16 -取 1()2()ga，即有 1.na
