1、怎样证明 是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命2的代价后世的数学史家所说的“第一次数学危机 ”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 的发现是人们对真理的追2求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳” ，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 是一个无理数，从而体会这一点.2证法 1：尾数证明法.假设 是一个有理数，即 可以表示为一个分数的形式 = .2 2ba其中( a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 .由于完
2、全平方数 的尾数只能是2ba2b0、1、4、5、6、9 中的一个，因此 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 ，所以2a与 的尾数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a,b)=1 矛2ab2盾！因此 是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.证法 2：奇偶分析法.假设 = .其中(a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数.则 .可知 aba 2ba是偶数，设 a=2c,则 ， ，可知 b 也是偶数，因此 a、 b 都是偶数，这与(a,b)242c=1 矛盾！因此 是无理数 .希帕索斯就是用这种方法证明了 不是有
3、理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“ 万物皆数2(任何数都可表示成整数之比)” 的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 ，易见 b1，否则 b=1，则 =a 是一个整数,这是不行的.2a2改写成 .因为 b1，因此 b 有素因子 p，因此 p 整除 或 a，总之，p 整除2ba2a，因此 p 同时整除 a 与 b，这与(a,b)=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 ，等式变形为 ，因为 b1，因此2 )(22ba存在素因子 p， p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b，因此 p 整除 a，因此 p 是a、b 的公因数，与(a,b)
4、=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 ， ，其中 与mrrpa21nssqb21m,1都是素数， 与 都是正整数，因此nq,1 mr,1 ns,1=2 ，素数 2 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，mrrp22 sq22矛盾，因此 是无理数.证法 6：假设 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正2ba b整数分子，在 的两边减去 ab 有 ， ，即ba22 )2()(，右边的分子 2b-aa，这与 a 是最小的分子矛盾，因此 是无理数.ba2证法 7：连分数法.因为 =1，因此 ，)1(21，将分母中的 用 代替，有 ，不断重复这212个过程，得 = ，这是一个无限连分数 .而任何有理数都可以表示为分子都21是 1 分母为正整数的有限连分数，因此 是无理数 .2证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明 没有正整数解。若不然，2ba可以 b、 a 为边构造正方形(ba),因为 ，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影2ba部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b)满足 ，无穷递降2下去，这个过程可以无限进行，矛盾！
