线代与解几复习__1.doc

1、11、行列式的性质与计算法一：拉普拉斯定理展开寻找行列式中最简单的一行（列）利用初等变换将该行（列）化为只有一个非零元素利用拉普拉斯定理，按这一行（列）展开；重复以上步骤，直到降为 2 阶，3 阶行列式。法二：利用三角形行列式对行列式施以初等变换，使其化为三角形行列式，利用三角形行列式的特殊结论计算。法三：利用行列式的定义注意： 阶行列式的计算不存在对角线法则。(4)n2、(克莱姆法则) 若线性方程组 )1(,2122121nnnbxaxa 的系数行列式 , 则线性方程组(1) 有且仅有唯一解,其解为 0D，其中 是把 中第 列元(1,2),jjxn nnnaa 21112 ),21(njDD

2、j素 对应地换成常数项 而其余各列保持不变所得到的行列式.njja,21 ,b3、矩阵的加减运算（条件：同型矩阵） ，数乘运算（无条件：任何矩阵都可以进行数乘运算） ，矩阵的乘法（条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数） ，矩阵的乘法一般不满足交换律，即 ，如果两矩阵相乘, 有 则称 A 与 B 可换. 矩BA,B阵乘法一般也不满足消去律,即不能从 必然推出C.A矩阵乘法满足的运算律：结合律 ，左、右分配律 ，()ABC()C()C k矩阵 的转置 (或 ).性质： T TTT BAA).(2,).(1TBAk).4,)(3对称矩阵（ ）. 性质： ，若 为对称矩阵，则 也为对称矩TT, 阵，

3、但 不一定为对称矩阵。对任意矩阵 ， 均为对称阵。BAT方阵的幂 ，且规定,.kkA个 为 自 然 数 0I2例 已知 ，求 。1)(.122xfA)(Af解： 034104fI n 阶方阵的行列式|A|满足运算规律( 设 为 阶方阵, 为常数)：BA,nk );1|行 列 式 性 质AT|;|k.|BA逆矩阵（存在 阶方阵 ，使 ，则称 为可逆矩阵或非奇异阵）nBI性质（1）可逆矩阵 有唯一的逆矩阵 ， （2）若 可逆，则 也可逆且11A1（3）若同阶方阵 都可逆，则 可逆且 ；反之，若 可逆，则,A1也可逆， （4）若 可逆，则 也可逆且 ， (5) 且 可逆BA, TTTACB， 且 可

4、逆 ， （6）若矩阵 可逆, 也可逆且COB,0A。1)(例 若 满足 ，求证： 可逆，并求 。A)0(2cIbaA1例 已知矩阵 满足 ，求证 与 不同时可逆。43AI4分块矩阵的计算（把子快作为元素看待）矩阵的初等变换对 A 的行施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵左乘 A ，对 A 的列施以某种初等变换得到的矩阵，相当于用相应的初等矩阵右乘 A（逆矩阵定理）设为阶矩阵，那么下列各命题等价：(1) 是可逆矩阵；(2) 齐次线性方程组 只有零解；(3) 可以经过有限次初等行变换0Ax化为 ；(4) 可表示为有限个初等矩阵的乘积I矩阵的秩（不为零的子式的最高阶数 ）r行阶梯形矩阵

5、:(1) 零行(元素全为零的行) 位于矩阵的下方;(2) 每一行第一个非零元的所在列中，该非零元下方的元素全为 0.行最简形矩阵：(1) 每一行第一个非零元都是 1；(2) 每一行第一个非零元的所在列的其余元素都是零.利用初等变换求矩阵的秩的方法：用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩 .r求逆矩阵：伴随矩阵法与初等变换法伴随矩阵：行列式 的各个元素 的代数余子式 所构成的矩阵|AijaijA伴随矩阵法求 判断是否可逆，求出所有 ，由公式 ，求出*ijA*1的逆矩阵，特别有，二阶方阵 可逆，则Adcbacbda13初等变换方法 （1）作一个 的矩阵 ；

6、（2）对矩阵 作单一的行变换n2IAIA（3）IABI1解矩阵方程，例求解矩阵方程 ，则 。也可对 作单一的行变换BX1B，则 。1IA14、解线性方程组设非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵b的秩, 即 且当 时有唯一解;当 时有无穷多解.)(bA).(rn)( nr)(设齐次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩0X对非齐次线性方程组，将增广矩阵 化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有A解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当 时，nrAr)(的行阶梯形矩阵中含有 个非零行，把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自Arr由量

7、，其余 个作为自由未知量. rn对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.5、 （投影定理） 向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦 , ABu 即 其中 为向量 与轴 的夹角。PrcosjAB6、非零向量的方向角、模与坐标7、两向量的数量积(内积) ， 为向量 与 的夹角，|cosabab、 ， ，1,)axyz2(,)bxyz1212xyz22121cos 的充分必要条件是 ，向量内积的运算规律， 1) 交换律: ，2) 0abab分配律： ，3) 结合律：()abcc()()()ab8、向量的向量积(外积) ，其模 ，其方向按 成sin、

8、 、右手系确定， 为向量 与 的夹角。 是以 为邻边的平行四边 、形的面积。设 、 ，则 与 的向量积1(,)axyz2(,)bxyzab41231eabxyz/ 的充分必要条件是 0ab运算规律 1) (即不满足交换律)， 2) 分配律：()cc()abcac3) 结合律： ()9向量的混合积 为以 为棱的平行六面体的体积或体积的相反数。(,)ab、 、设 、 ， ，则 1,xyz2,)xyz3(,)cxyz123(,)xyzabc若 ，则它们共面的充要条件是：123(,)(,),(,)ab即()0bc122330xyz10、平面的方程（1） 点法式方程平面， 上的点 与其法向量 ，则00(

9、,)Mxyz(,)nABC()()AxB（2） 平面的一般方程， ，其中 不全为零CzD,（3）截距式方程， ，其中 称为平面在三坐标轴上的截距 。1yxzabccba,11平面的位置， （1） 若 ，平面过原点， （2） 中有一个为零，则平0CBA,面平行于坐标轴，例 平面方程为 ，平面平行于 轴；A0DCzByx（3） 中有两个为零，则平面与坐标轴垂直，例 平面方程为CBA, ,平面与 轴垂直，特别， ， 平面； ， 平面； 0Dzzzxoy0xyoz， 平面。yxo12、空间一点到平面的距离5点 到平面 的距离),(00zyxP0:DCzByAx 2200|CBADzyxd13、两平面的

10、夹角，两平面 的法向量为 ， 为21, ),(),(11nCBn两平面的夹角，则 21),(cosn 221211| 平面 /平面1212)ABCD重 合 平面 平面 12014、一空间直线的方程（1） 直线的参数方程已知直线 过点 ， 为直线 的方向向量，L00(,)Mxyz(,)vlmnL则直线 的参数方程为： 0tz（2） 直线的标准方程， ，式中 不全为零，注：若有一个或0xyzlmn,l两个为零，如 ，则约定 ，如 ，则约定 .l 00xy（3） 两点式方程，直线 过两点 与 ，则直线 的方程L),(11zyxM),(22zyL221（4） 直线的一般式方程为 ，其中110ABCzD

11、xy不平行。一般方程化标准方程),(),(2211nCBAn例 将直线 化为标准方程。350xyz解： 令 ，代入解得 ，于是直线过 ，7,1xy0(7,1)M，可取直线的方向向量124,3,n1232348eve故直线的标准方程为： 187zyx615空间直线的位置关系 111 11: (,)(,)xyzlmnLvlmnMxyz222 222l为 与 的夹角（一般指锐角） ， ，12 2212121cos nmlnlv| / /L1()v不 重 合 2/ 与 /12重 合 M 12(,)0与 相 交 12Lv与 异 面 120lmn例 求直线 与 的夹角1210: :2103xyzxyzLL

12、解： 的方向向量131 12(,),)5eve的方向向量2L1232 123(,),)，所以122223158710()()cosv870ar 点到直线的距离求点 到直线 的距离1(,)Mxyz00:xyzlmnL01Mvd7例求点 到直线 的距离。1(2,0)M2470:1xyzL解：在直线 上取一点 ，直线 的方向向量为：L(3,)， 12312464eve01(,)M，301123046Me22014()3176vd00 00: (,)(,)xyzlmnLvlmnMxyz,ABCDABC直线 与平面 的夹角为 ，那么有 ，于是 ，故|)(2|v,|)cos|inv,(22cosin nm

13、lBAnv,16平面束设直线 为： ，则除了 平面外，L11220xyCzD220AxByCzD过直线 的所有平面都可表示为：，112()AxByzABz为常数，称为过直线 的平面束方程。L例 6 求直线 在平面 上的投影直线470:1xyz:250xyz的方程。L解：过直线 作平面 与平面 垂直，则平面 与平面 的交线为所求直线。 过直线 的平面束方程为： ，247(21)0xyzxyz即 (1)(1)()0x由于平面 与平面 垂直，所以有： 1(4()即有： ， 所以平面 的方程为：322xyz8直线 在平面 上的投影直线 的方程为：LL205xyz17 曲面与方程母线平行于坐标轴的柱面方

14、程（三元方程 中若缺 、 、 中某变量）(,)Fzz例 准线 ： 平面上的曲线 母线 与 轴平行.0),(yxFCxoy0),(yxFL旋转曲面例以 轴为旋转轴z设 坐标面上有一已知曲线 ，方程为 ，绕 轴旋转一周。在方程o(,)fz中，将 改写为 即得到曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲(,)0fyy2xy面的方程。例 在 坐标面上有 绕 轴旋转一周为圆柱面： 即oz1z21xy21xy18空间曲线与方程空间曲线的一般方程(,)0FxyzG空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 的一般方程为： ，从方程组中消去变量 后得到方程：C(,)0zxyz，这是以曲线 为准线，母线平行于 轴的柱面，方程组

15、 表(,)0Hxy (,)0Hxy示空间曲线 在 坐标面上的投影。o例 已知两球面的方程为 及 求它们的交线122zyx11222zyx在 面上的投影方程Cxy解 消去变量 ，得投影柱面方程z 022yx于是投影方程为 02zyx19 向量运算，向量空间及其子空间，向量组的线性组合，线性表示。 ，使用矩阵的初等变换来判断向量 能否由向量组 线性表示，记bmA,.:219， 对矩阵 施以初等行变换使它变成行阶梯形矩阵 ，比),.(21mA)(bABBS较 与 ，如果 ，则不能被向量组 线性表示；如果 ，则)rrA()rAB可以被向量组 线性表示，继续对 施以初等行变换，使它变成行最简形矩阵 ，得

16、出bS D线性表示。例证明向量 能由向量组 线性表示，并求出相1512302,1,346aa应的组合系数。解：1321431000212 334658rrB，所以 22130021rr123ba向量组 与向量组 能互相线性表示，向量组 与向量组 等价ABAB向量组的线性相关性存在一组不全为零的数 ，使得： 成立，12,mk 120mkaka则向量组 线性相关。:12,a设 维向量组 ，记矩阵 ， nA, 12(,)A，那么以下三个命题等价： 向量组 线性相关；12(,)Tmxx :A12,ma 齐次线性方程组 有非零解； ，即矩阵 的秩小于向量组所含0()R向量的个数 。例 已知向量组 线性无

17、关， ， ，123,a12ba3ba1ba证明向量组 线性无关。b证：设有 使， ，即123,k1230kk，31()()()0aa，1312ka10因 线性无关，所以有： ，因其系数行列式 ，123,a1320k102所以方程组只有零解，即 ，所以向量组 线性无关。1230k123,b例 已知向量 ,0aa 讨论向量组 及向量组 的线性相关性；123,12, 向量 能否由向量组 线性表示，若能，求向量 关于向量组 的线性3a,a3a12,a组合表示式。解： 32213123(,)00rr S，所以向量组 线性相关；而 所,Ra123,a12(,)Ra以向量组 线性无关。12为了求得向量 关于

18、向量组 的线性组合表示式，将行阶梯形矩阵 化为312, S行最简形矩阵：， 所以121230(,)0ra312a向量组的极大无关组例 设向量组 ： 求向量组 的一个A12341,1023aaA极大无关组，并将其它向量用极大无关组线性表示。解： 1234132(,)0Aa321 100rr S所以 ， 就是向量组 的一个极大无关组，则有,ra12,aA11，所以 ， 12130301rAS312a412a向量空间的基、维数与向量的坐标，基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵.基础解系，求（齐次）非齐次线性方程组的通解。例 求非齐次线性方程组 的通解。123410xx解：213 1()10022463

19、rAb32 121 12000r r与原方程组同解方程组为： ，其导出组的解系为：12344xxx，特解为： ，120,1120通解为： ，其中 为任意实数。1220123401xkk 2,k20 矩阵的特征值，相似矩阵（存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，则称矩阵 与nC1ABA相似，记为 ， 为相似变换矩阵） ，矩阵相似对角化BBAC 阶方阵 可对角化 有 个线性无关的特征向量。 若 阶方阵 有 个互nn12不相等的特征根，则 阶方阵 一定可对角化，反之则不一定。nA阶矩阵 可对角化 有 个线性无关的特征向量， 对 的每一个 重特征根nAAik，有 ，对 的每一个 重特征根 ， 的基础解系由iii

20、kIr)( iki0)(XIi个向量组成。ik矩阵对角化的步骤：求矩阵 的全部特征根 ；An,.21对不同的 ，求 的基础解系；i0)(XIi若能求出 个线性无关的特征向量，则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵n，则有 ，其中 要和np.21 nAP21 n,.21对应。n,.21例 判定矩阵 是否可以对角化，若能，写出相应的163054A ,P例 设 3 阶方阵 的特征根为： ；对应的特征向量依次为：23,0,1，求 .123,1A解：因 的特征根为： ；故取 ，而A23,0,101是依次对应的特征向量，所以取： ，则123,123(,)C11230C因为 ，所以有 ，即：AA131123

21、02AC102相似矩阵的应用-求矩阵的高次幂向量的内积，向量的正交性，施密特正交化法例 用施密特正交化方法将向量组 ： 规范正交化。A12301,aa解：取 ； ；1ba12(,)1220ba1132323(,)(,)30bab再将其标准化：， ， 1120be2161233be313142be实对称矩阵的对角化例 ，求正交阵 ，使得 .421AQAT解： 9,00)9(2321I当 时，解方程组 ，0210IAx，基础解系为123240r12,01当 时，解方程组 ，9390IAx14基础解系为 ，212213 132885950825480rrr r312将 正交化，令12,12,0215

22、,401单位化： ， ， ： 15210e235149e3123e令 ，则有325041Q90AQT二次型，矩阵的合同（存在 阶非奇异矩阵 ，使得 ，则矩阵 合同于矩阵nCTABA，记为： ）任何一个二次型都可以通过非退化线性变换变成标准形。二次型变成BBA标准形有配方法、合同线性变换（初等变换法）和正交化方法。例 用配方法化二次型 为标准形，并求出相应的满秩线性变换。1232xx解：令 ，则原二次型化为：1223yx121fyy22133yy22133()y令 ， 即 ，323zy233z 12230zy15则所以， 11 122 233 3001xyz即 ，令 ， ，故在满秩线性11223

23、30xz0C0C变换 ，即 ，则原二次型化为标准形：xCz123233xz21f用合同线性变换（矩阵的初等变换）法化二次型为标准形， AIC例：求在合同线性变换下，化二次型 为标准形。1232xx解：二次型 的矩阵123x01A，2112123000020 0AccrI 130220r所以 ， ，在合同线性变换下 ，即120C10CxCz， 原二次型化为标准形：11122233xy 2213fyy用正交化方法例 求一正交变换 ，化二次型 为标准形。xCy1232fxx16解：二次型的矩阵为：120A由 32321 1112 2000IArc1212求得 的特征根为： ， ，A13当 时，解齐次

24、方程组 ，10IAX322130104210rr 1201r，得其基础解系为： ；3321x1当 时，解齐次方程组122102IAX211301002rr，得其基础解系为： 3321x121,0将 与 正交化，1217取 ，1,21 12120T显然， 是正交向量组，将其单位化： 12,311,e1221,0e16323e令 ， 于是，作正交线性变换 ，即 11362123,0CexCy，原二次型化为标准形：1123231336xyyxyy 2213fyy二次型的规范形，二次型与对称矩阵的有定性例 判定实二次型 是否正定。22211336xxx解： ，因 ， ，A10A21031206A所以原二次型 是正定的f例 当 取何值时二次型 是正定的？t22131324xxtx18解：二次型的矩阵为： ，为使所给二次型正定， 的各阶顺序主子123tAA式应大于零，从而有： ， ，102210tA，23(34)1tAt由 得： 2034t430t所以当 时，所给实二次型是正定的t例 判定实二次型 是否正定。2213123xx解： 因 ，210A1300212IAc31011022r其特征根为： 均大于零2123,所以原二次型 是正定的。f