线性规划中的参数问题.doc

1、 高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 1 页线性规划中的参数问题典例解析例 1. (2006 年重庆卷文 16)已知变量 ， 满足约束条件 .若目标函数 （其xy2301xyzaxy中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 .0a(3,0)a变式 1：(2006 年湖北卷理 9)已知平面区域 由以 为顶点的三角形内部以及边D(1,3)5,2(,1)ABC界组成.若在区域 上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 ( ),xyzxmyA2 B1 C1 D4变式 2：（2013 年浙江卷理 13）设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为yk

2、xzyx,042yz12，则实数 _.k变式 3： (2008 年安徽卷理 15)若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到A02xya1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 .xya变式 4：(2009 年安徽卷理 7)若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相034xy 34kxy等的两部分，则 的值是 ( )kA. B. C. D.3773344高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 2 页变式 5：(2009 年山东卷理 12)设 满足约束条件 若目标函数,xy360,2,xy(0,zaxby )的最大值为 12，则

3、的最小值为( )23abA. B. C. D.4256813变式 6：（2014 年福建卷文 11）已知圆 ，设平面区域 ，22:1Cxayb703xy若圆心 ,且圆 与 轴相切，则 的最大值为（ ）C2A.5 B.29 C.37 D.49例 2。(2008 年陕西卷理 10)已知实数 满足 ,如果目标函数 的最小值为 ，xy，12xmzxy1则实数 等于（ ） mA7 B5 C4 D3变式 1：（2012 年福建卷文 10）若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数m的最大值为（ ）A 1 B1 C 23 D2变式 2：(2009 年福建卷文 9)在平面直角坐标系中，

4、若不等式组 （ 为常数）所表示的10xya平面区域内的面积等于 2，则 的值为( )aA. -5 B. 1 C. 2 D. 3 高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 3 页w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 变式 3：（2007 年浙江卷理 17）设 为实数，若 ，m2250()3()5xyxym， ，则 的取值范围是 m变式 4：(2006 年广东卷理 9)在约束条件 下，当 时，目标函数 的最420xys53syxz23大值的变化范围是( )A. B. C. D. 15,6 15,7 8,68,7例 3.（2014 年全国 1 卷文 1

5、1）设 ， 满足约束条件 且 的最小值为 7，xy,1xyazxy则 （ ）aA.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3变式：(2011 年湖南卷理 7)设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值小于1m1yxmzxmy2， 则 的取值范围为（ ）mA B C D(1,)(12,)(,3)(3,)高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 4 页巩固练习 班级 姓名 等级 1. (2008 年山东卷理 12)设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数219084xy， M的图象过区域 的 的取值范围是（ ）(01)xya， MaA B C

6、 D13， 20， 29， 109，2. (2009 年陕西卷理 11)若 满足约束条件 ，目标函数 仅在点（1，0）处取,xy1xy2zaxy得最小值，则 的取值范围是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m aA.（ ，2 ） B.（ ，2 ） C. D.14(4,(2,4)3. (2014 年安徽卷理 5) 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，yx,0yxaxyz则实数 的值为（ ）aA. B. C.2 或 1 D.12或 21或 12或4. （2014 年山东卷文 10） 已知 满足约束条件 ，当目标函数,xy023xyzaxby在

7、该约束条件下取到最小值 时， 的最小值为（ ）(0,)ab52abA.5 B.4 C. D.25.（2007 年北京卷理 6）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围20xya， ， a是（ ）A B C D 或43a141301a436. (2010 年浙江卷理 7)若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，xy0,2,xymxy则实数 （ ）mA. B. C.1 D.2217. (2013 年北京卷理 8)设关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 ，,xy210,xy 0,Pxy高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 5

8、页满足 ，求得 的取值范围是( )02xymA. B. C. D. 4,31,32,35,3线性规划中的参数问题典例解析例 1. (2006 年重庆卷文 16)已知变量 ， 满足约束条件 .若目标函数 （其xy2301xyzaxy中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 .0a(3,0)a解：画出可行域如图所示，其中 B（3，0） ，C（1，1） ，D（0，1） ，若目标函数 取zxy得最大值，必在 B，C，D 三点处取得，故有3aa1 且 3a1，解得 a 2变式 1：(2006 年湖北卷理 9)已知平面区域 由以 为顶点的三角形内部以及边D(1,3)5,2(,1)ABC界组成.若在区域

9、 上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 ( )(,)xyzxmyA2 B1 C1 D4解：依题意，令 z0，可得直线 xmy0 的斜率为 ，结合可行域可知当直线 xmy0 与直线AC 平行时，线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 zxmy 取得最小值，而直线 AC 的斜率为1，所以 m1，选 C变式 2：（2013 年浙江卷理 13）设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为ykzy,042yxz12，则实数 _.kxyx2y-30x3y-30y-10DBCO高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 6 页变式 3： (2008 年安徽卷理

10、15)若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到A02xya1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 .xya解：如图知 是斜边为 3 的等腰直角三角形， 是直角边为 1 等腰直角三角形，区域的面ACDOECA积 17124OECSSA阴 影变式 4：(2009 年安徽卷理 7)若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相03xy 34kxy等的两部分，则 的值是 ( )kA. B. C. D.3773344解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， ）4xy ABC = ，设 与 的S()23ykx34y交点为 D，则

11、由 知 ，2BCDS 1D52D高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 7 页 选 A. 5147,23k变式 5：(2009 年山东卷理 12)设 满足约束条件 若目标函数,xy360,2,xy(0,zaxby )的最大值为 12，则 的最小值为( )23abA. B. C. D.4256813【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,

12、 而 = ,故选 A.23ab2311325()()66abab答案:A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 的最小值常用乘积23ab进而用基本不等式解答.变式 6：（2014 年福建卷文 11）已知圆 ，设平面区域 ，22:1Cxayb703xy若圆心 ,且圆 与 轴相切，则 的最大值为（ ）C2A.5 B.29 C.37 D.49高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第

13、 8 页考点：线性规划.例 2、(2008 年陕西卷理 10)已知实数 满足 ,如果目标函数 的最小值为 ，xy，12xmzxy1则实数 等于（ ） m高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 9 页A7 B5 C4 D3解：画出 满足的可行域，可得直线 与直线 的交点使目标函数 取得xy， 21yxymzxy最小值，故 ，解得 ，21xm,3代入 得xy153变式 1：（2012 年福建卷文 10）若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数m的最大值为（ ）A 1 B1 C 23 D2考点：线性规划.难度：中.分析：本题考

14、查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.解答：可行域如下：所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则 m3，即 .1变式 2：(2009 年福建卷文 9)在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的10xya平面区域内的面积等于 2，则 的值为( )aA. -5 B. 1 C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过0100yaxyx的 可 行 域 ， 而与（0，1） ，故看作直线绕点（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是 一个封闭区域，当 a=1 时，面积

15、是 1；a=2 时，面积是 ；当 a=3 时，23 面积恰好为 2，故选 D.）（ 3,0）（ 03），（ 3-0),(mxy2高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 10 页变式 3：（2007 年浙江卷理 17）设 为实数，若 ，m2250()3()5xyxym， ，则 的取值范围是 m【答案】： 40,3【分析】：作图易知,设 若 不成立;(5,0)(3,4,)ABC0,故当 且斜率大于等于 时方成立.Ok变式 4：(2006 年广东卷理 9)在约束条件 下，当 时，目标函数 的最420xys53syxz23大值的变化范围是( )A. B.

16、 C. D. 15,6 15,7 8,68,7解：由 4242syxysx交点为 ，),0(,),(),0CBA（1） 当 时可行域是四边形 OABC，此时，3s 87z（2） 当 时可行域是OA 此时，54max故选 D.例 3.（2014 年全国 1 卷文 11）设 ， 满足约束条件 且 的最小值为 7，xy,1xyazxy则 （ ）aA.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 11 页变式：(2011 年湖南卷理 7)设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值小于1m1yxmzxmy2， 则 的取

17、值范围为（ ）mA B C D(1,)(12,)(,3)(3,)答案：A解析：画出可行域，可知 在点 取最大值，由 解得5zxy(,)m21m.12m巩固练习 班级 姓名 等级 1.(2013 年大纲卷理 15)记不等式组 所表示的平面 区域为 ，若直线 与 公0,34,xyD1yaxD共点，则 的取值范围是 .a1,2高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 12 页【答案】 1,42【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 直线 过定点 C（-1,0） ，由图并结合题意可知 ，()yax 1,42BCAk要使直线 与平面区域 D

18、 有公共点，则 .14a【学科网考点定位】线性规划2(2008 年山东卷理 12)设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数219084xy， M的图象过区域 的 的取值范围是（ ）(01)xya， MaA B C D13， 2， 29， 10，解：区域 是三条直线相交构成的三角形（如图）M显然 ，只需研究过 、 两种情形， a(1,)3,8且 即193829.a3. (2009 年陕西卷理 11)若 满足约束条件 ，目标函数 仅在点（1，0）处取,xy12xy2zaxy得最小值，则 的取值范围是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m aA.

19、（ ，2 ） B.（ ，2 ） C. D.14(4,0(,4)答案：B解析：根据图像判断，目标函数需要和 ， 平行，1xy2xy由图像知函数 a 的取值范围是（ ，2 ）4I1321-2 -1SR31 20 xyGI 44B1C1D1F1G1H1高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 13 页4. (2014 年安徽卷理 5) 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，yx,02yxaxyz则实数 的值为（ ）aA. B. C.2 或 1 D.12或 21或 12或5. （2014 年山东卷文 10） 已知 满足约束条件 ，当目标函数,xy1

20、023xyzaxby在该约束条件下取到最小值 时， 的最小值为（ ）(0,)ab52abA.5 B.4 C. D.2【答案】 B【解析】画出可行域（如图所示） ，由于 ，所以， 经过直线 与直0,abaxbyz230xy线高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 14 页6.（2007 年北京卷理 6）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围20xya， ， a是（ ）A B C D 或43a141301a43解析：不等式组 ，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，( ，20xya ， ， ， 2)，第四个不

21、等式 ，表示的是斜率为1 的直线的下方， 当 0a1 时，表示的平面区域32xy是一个三角形，当 a 时，表示的平面区域也是一个三角形，选 D。347. (2010 年浙江卷理 7)若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，xy30,21,xymxy则实数 （ ）mA. B. C.1 D.221解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 15 页8.（2012 年福建卷理 9

22、）若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数 m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D2考点：线性规划.难度：中.分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.解答：可行域如下：所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则 m3，即 1.9. (2013 年北京卷理 8)设关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 ，,xy210,xym 0,Pxy满足 ，求得 的取值范围是( )02xymA. B. C. D. 4,31,32,35,3）（ 30）（ ,），（ 3-0),(高一预科班培优资料 编写：颜家其 审核：数学教研组 2015 年 4 月 10 日 第 16 页7.（2012 年福建卷理 9）若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数 m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D2