1、第 6 节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法 题号用正、余弦定理解三角形 1、5、8、9、11与三角形面积有关的问题 2、4判断三角形的形状 3、10实际应用问题 7、15综合应用 6、12、13、14、16A 组一、选择题1.(2013 广东湛江十校联考)在ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b=2,B=30,C=15,则 a 等于( A )(A)2 (B)2 (C) - (D)42 3 6 2解析:A=180-30-15=135,由正弦定理 = ,得 = , 22 212即 a=2 .故选 A.22.(2013 潮州二
2、模)在ABC 中,A= ,AB=2,且 ABC 的面积为 ,则边3 32AC 的长为( A )(A)1 (B) (C)2 (D)3 2解析:S ABC = ABACsin A12= 2ACsin = ,12 3 32AC=1.故选 A.3.(2013 湛江高考测试(二)若三条线段的长分别为 3,5,7,则用这三条线段( C )(A)能组成直角三角形 (B)能组成锐角三角形(C)能组成钝角三角形 (D)不能组成三角形解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为 7 的边所对的内角的余弦等于 0,故 cos A= .12答案:1210.在ABC 中,内角 A、B
3、、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则ABC 的形状为 . 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0 或 sin A=sin B.0A、B,A= 或 A=B,2ABC 为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题11.(2013 广东六校第二次质检)如图,四边形 ABCD 中,AB=5,AD=3,cos A= ,BCD 是等边三角形.45(1)求四边形 ABCD 的面积;(2)求 sin ABD.解:(1)由
4、题意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=10,cos A= ,45sin A= .35四边形 ABCD 的面积S=SABD +SBCD= ABADsin BAD+ BD2sin DBC12 12= .9+532(2)由正弦定理得 = ,sin ABD= sin A= . 9105012.(2013 深圳市二调)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,b=5,c=7.(1)求角 C 的大小;(2)求 sin(B+ )的值.3解:(1)由余弦定理可得cos C= = =- ,2+222 32+5272235 120C,C= .23(2)由正弦定理
5、可得 = , sin B= = = , 5 237 5314C= ,23B 为锐角,cos B= = = ,121(5314) 21114sin(B+ )=sin Bcos +cos Bsin 3 3 3= + 5314 121114 32= .437B 组13.(2013 年高考新课标全国卷)已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由题意知,23cos 2A+2cos2A-1=0,即 cos2A= ,125又因为ABC 为锐角三角形,所以 cos A=
6、.15在ABC 中,由余弦定理知 72=b2+62-2b6 ,15即 b2- b-13=0,125即 b=5 或 b=- (舍去),故选 D.13514.在ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且 ab,则 B= . 解析:由 ab,得 ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为 sin A0,故 cos
7、 B= ,因此 B= .12 3答案:315.如图所示,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75,30,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60,AC=0.1 km.(1)试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求 B、D 的距离.解:(1)如图所示,在ADC 中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,CD=AC=0.1 km,又BCD=180-60-60=60,CED=90,CB 是CAD 底边 AD 的中垂线,BD=BA.(2)在ABC 中,ABC=75-6
8、0=15,由正弦定理得 = ,AB= = (km),0.16015 32+620BD= (km).32+620故 B、D 间的距离是 km.32+62016.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c 成等比数列;(2)若 a=1,c=2,求ABC 的面积 S.(1)证明:在ABC 中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin B = ,(+) sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin 2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b 2=ac,a,b,c 成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b 2=ac=2,b= ,2cos B= = = ,2+222 12+222212 340B,sin B= = = .121(34)2 74ABC 的面积 S= acsin B= 12 = .12 12 74 74
