1、微专题“函数的零点”教学环节第一环节：一题多变 数形结合探零点高考中，大多数的零点问题基本都要用到数形结合的思想来求解，而直接运用数形结合的思想来探究零点问题多以小题的形式呈现，而且以分段函数的形式居多，为了贴近高考，此环节设置的例题和变式题的函数形式都为分段函数例题 1（解析式与分段点均确定的零点问题）：设函数 ，则函数 的零点为21()4)( xf ()fx_变式 1：【2014 福建，文 15】函数 的零点个数是_21, ()6lnxfx设计意图：此问题由学生课前预习完成，帮助学生回顾函数零点问题的处理方法：一个原理、两种方法、三种转换让学生意识到对于分段函数来说，还得根据每一段的定义域
2、来求零点为后面变式探究打下基础小结：在师生的共同探讨下，收获如下：解析式确定的零点问题，不管是不是分段函数，零点问题概括起来就是一个原理零点存在性定理，两种方法解出来或画出来；三种转化转化为 型，()0fx型或者 型而分段函数的零点在此基础上还要结合各段的定义域去确定零点所蕴含的()fxc()fxg思想方法有：函数与方程、数形结合、转化与化归变式 2（解析式确定，分段点不定的零点问题）：设函数 ，若函数 有两21()4)( xafx ()fx个零点，则 的取值范围是_a设计意图：在例题 1 解析式的基础上将分段点改为不确定的情况去探求零点该题由学生先思考后展示，经教师补充后共同提炼出两种解法：
3、一是先分别作出两段函数在 R 上的图象，再通过分段点的左、右移动来取舍左、右两段函数的图象，进而确定满足条件的分段点的位置二是通过解方程计算两段函数零点的取值为 ，找到讨论的标准，对 分类讨论来求解0,12a变式 3（解析式不定，分段点确定的零点问题）：【2015 北京，文 14】设函数 若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是21()4)(xf ()fxa_设计意图：在例题 1 的基础上将解析式改为不确定的情况，图象不定，难度较大可让学生先思考然后说出自己的解题方法再计算，最后请代表展示，教师点评师生共同整理出对于含参的分段函数零点的最优解法：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系
4、找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件通过此变式让学生体会如何从复杂的情境中准确的找到问题的切入点，同时复习数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想在例 1 以及 3 道变式题的基础上，挑选练习题，进一步巩固如何运用数形结合的思想来求解零点问题练习 1：【2015 天津，文 8】已知函数 ，函数 ，则函数2|,()xf ()3(2)gxfx的零点个数为（ ） A2 B3 C4 D5()yfxg设计意图：分段函数中加绝对值，目标函数也变得复杂，但是求解的方法却更加灵活、多样通过此题进一步巩固变 1 知识，同时训练学生的解题思维具体有三种做法：一是利用图
5、象的对称变换、平移变换等知识，分别作出 与 的草图，从图象中发现两个函数的图象有两个交点；二是求出函数()fxg的解析式，在每一段中按照例 1 或变 1 的方法求零点；三是构造函数 ，()yfxg ()(2)hxfx将此问题转化为求 与 的交点个数h3y练习 2：【2016 天津，文 14】已知函数 在 R 上单调递减，且关2(43),0() (1)logaxxf a且于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是_x|()|23xf设计意图：设置练习 2 的目的为：巩固分段点不定零点问题的求法，让学生感受获得知识的喜悦，考查学生对此类问题的掌握和理解情况练习 2 难度较大，命制中增加了
6、 2 个限制条件，一是由函数的单调性限制了参数的范围，二是目标函数中增加了绝对值符号，即解题中需结合函数的翻折变换，利用数形结合的思想找限制条件通过此题让学生体会解决此类零点问题的难点并不是零点问题的转化，而是如何通过画图、通过图象的变换，找到 的限制条件同时还要注意解题细节，直线 与曲线a 2yx相切也符合题意 2(43)yxax第二环节：拾级而上 借用导数探零点函数的图象有时并不能直接画出，或分情况画出，必须通过求导讨论单调性才能画出，进而探究零点所以导数在探究零点问题中的工具作用不容小觑，而且这是新课标文科卷近年来考查的热点，通常以解答题的形式呈现，考查的都是非分段函数的零点，并未涉及到
7、分段函数例题 2：（必修 1，88 页例 1 改编）判断函数 的零点个数()ln2fx方法一：因为 ，所以 ，所以 在()ln2fx1f ()fx上单调递减，在 上单调递增，所以 ，又因为当 接近(0,1),min()()f时函数值为正数，同时 ，结合 的图象（图 1）可知 的零点有2(e)0ffx()f2 个 方法二：判断函数 的零点个数，即判断方程 根lnxln20x的个数，即判断函数 与函数 的交点个数，由图 2 可知，它们的交yly点有两个，所以 的零点有 2 个()f设计意图：通过例题 2 进一步巩固第一环节中解决零点问题的方法，即一个原理，两种方法，三种转化同时指出不同之处为：不再
8、是分段函数，函数的单调性必须借助于求导才能判断由学生课前完成变式 1：判断函数 的零点个数()ln2fxa方法一：因为参数在常数项的位置，它是例 2 中的函数经过上下平移得到的，由图象易得： 当时，无零点；当 时，有一个零点；当 时，有两个零点a1a1方法二：由题意，原问题即判断函数 与函数 的交点个数，在例 2 的方法二的基础上，yxlnyx求出函数 的斜率为 的切线方程为 ，通过平移函数 易得同样结论lnyx 2方法三：运用分离参数法 转化为判断函数 与 的交点个数问题 由例 2 中方法一la的图象易得同样结论设计意图：添加参数，参数在常数项的位置变式 2：若函数 在区间 上有一个零点，求
9、 的取值范围()ln2fxa21,e设计意图：添加区间后，变式 1 下的三种方法均可行，帮助学生实现方法的自然迁移变式 3：若函数 有一个零点，求 的取值范围lf a设计意图：改变参数位置，将参数置于一次项系数位置，增加问题难度，让学生面对新目标方法一：因为 ，所以 ，所以当 时， 在 上单调()ln2fxa1()xfx0a ()fx0,)递减，又因为当 接近 时函数值为正数，同时 ，所以函数必定有一个零点020a当 时，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以a()f1,)(,)min1()()ffa即可，解得 综上所述： 或 0e0a e方法二：由题意可知，函数 与函数 有一个交点，而函
10、数2yxlnyx是过定点 的直线，由图 3，当 或直线与 相切时满足题2yx(0,2) lnyx意，相切时可设切点为 ，由 可知切点坐标为 ，又因为 点0,Px011(,)PaP在直线 上，解得 综上所述： 或 aea0a e方法三：分离参数可得即函数 与 有一个交点因为yln2()()xq，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以2ln1()xq ()qx10,e1,e，又因为当 接近 时函数值是负的，当 趋向正无穷时函数值是正min()e x的，由图 4 可知， 的取值范围是 或 a0a e变式 4：当 时，若函数 有两个零点，求 的取值范围0()lnfxxa答案为： e练习：【2015
11、 新课标 1，文 21】设函数 2()lnxf讨论 的导函数 的零点的个数()fx()f第三环节：顺藤摸瓜 解题规律及时找解题规律：零点问题概括起来就是一个原理零点存在性定理，两种方法解出来或画出来；三种转化转化为 型， 型或者 型()0f()fxc()fxg数形结合探究含参的分段函数零点具体做法为：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件不仅要用到等价转化的数学思想、还需用到分类讨论和数形结合的思想借用导数探究一般函数零点具体做法为：1、 型求导，对参数分类讨论进而讨论函数的单调()0fx性，确定函数图
12、象的特征，找参数的限制条件；2、 型将函数变形，把参数置于一边，对新构造c的确定函数求导，讨论函数单调性，确定图象的特征，最后平移直线 ，找到参数 的限制条件；3、ycc型将函数变形，把函数零点问题转化为一条直线和一个一般曲线的交点问题，利用导数求曲()fxg线的切线，通过图象找到参数的限制条件我们应将具体问题转化为三种类型的某一类，有时还要通过分析、比较找出最优解，也即最佳策略设计意图：让学生对所学的知识有比较全面的认识，引导学生归纳总结解决不同零点问题的处理方法、思想方法和解题步骤，从解决问题的方法、规律、思维策略等方面反思自己的做法，总结解题的经验教训，提高解题能力及时反馈课堂的教学效果
13、，让复习课更加深刻、细致和精准，从而实现微专题复习课的终极目标第四环节：回归梳理，下一轮会更精彩布置学生课后在函数零点的课本习题中，在以前做过和考过的题目中，把与本课相类似的零点问题找出来再做，总结和归纳解题的经验、感悟、困惑和教训同时布置课后练习，为二轮复习打下扎实的基础课后练习：1 【2016 山东，文 15】已知函数 ，其中 若存在实数 ，使得关于 的2|, ()4, xmf x 0mbx方程 有三个不同的根，则 的取值范围是_()fxb (3,)2 【2015 江苏，13】已知函数 ， ，则方程 ，实根的个数为 ()|lnfx20, 1()|, gx |()|1fxg3已知函数 （ R
14、） ，若函数 在 R 上有两个零点，则 的取值范围是 , 0()21xeaf ()f a4已知实数 若方程 有且仅有两个不等实根，且较大实根大于 2，12, 0,()logxaf 23()4fxa则实数 的取值范围是_5 【2016 新课标 1，文 21】已知函数 2()(1)xfxe（I）讨论 的单调性；()fx（II）若 有两个零点，求 的取值范围a6 【2014 新课标 1，文 12】已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取32()1fxa()fx0x0a值范围是_7 【2014 陕西，文 21】设函数 Rln,mf（）讨论函数 零点的个数()3xgx设计意图：进一步巩固所学，让
15、学生学会独立识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律， “以不变应万变” 体会函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想教学反思：本课复习了解决与零点相关问题的两种基本思路：数形结合；导数法两类题型：求零点的个数；已知零点的个数求参数内容设计层层深入，分段进行，又环环相扣，使学生在接受知识、探究问题的过程中能有一个逐步积累深入、螺旋上升的发展但本课主要涉及的是数形结合解决分段函数中的零点问题，以及借用导数画图象来解决非分段函数的零点问题，对于非分段函数直接画图或者通过图象的变换再画图去求解零点的问题，限于课时不能展开直接解方程求解函数的零点，因为考
16、得较少故而直接忽略掉了近五年与零点有关的真题搜集如下：1、 【2016 山东，文 15】已知函数 ，其中 若存在实数 ，使得关于 的2|, ()4, xmf x 0mbx方程 有三个不同的根，则 的取值范围是_ ()fxb2、 【2016 天津，文 14】已知函数 在 R 上单调递减，且关于 的2(3),() (1)log10axf ax且 x方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是_|()|23xf3、 【2015 天津，文 8】已知函数 ，函数 ，则函数 的零2|,()xf ()3(2)gxfx()yfxg点的个数为（ ）A2 B3 C4 D54、 【2015 安徽，文 4】下列函数
17、中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A B C Dlnyx21yxsinyxcosyx5、 【2015 安徽，文 14】在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图像只有一个交点，O2a|1a则 的值为 a6、 【2015 湖南，文 14】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是_ ()|xfbb7、 【2015 陕西，文 9】 设 ，则 （ ）sin()fA既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数8、 【2015 湖北，文 13】函数 的零点个数为_2()2si()fxx9、 【2015 江苏，13】已知函数 ， ，则方程 ，实根的个数 |ln20,
18、 1|4|, gx |()|1fxg10、 【2014 新课标 1，文 12】已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的3()fxa()f 00xa取值范围是（ ）A B C D(2,)(1,(,2)(,1)11、 【2014 湖北，文 9】已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则函数)f 0x 23fx的零点的集合为（ ） )3gxfA B C D1,37,137,12、 【2014 福建，文 15】函数 的零点个数是_ 2,0()6ln xfx13、 【2013 天津，文 8】设函数 若实数 满足 , 则（ 2,()lge,ab()0, ()fgb）A B C D ()0()ga
19、fb()0fba0()afa14、 【2013 湖南，文 6】函数 的图象与函数 的图象的交点个数（ ）lnx24xA B C D1 315、 【2013 上海，文】方程 的实数解为_ 913xx16、 【2013 湖北，文 12】已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）()ln)faxaA B C D(,0)0,2(0,1(0,)17、 【2013 安徽，文 10】已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于32()fxbc12,x12fx的方程 的不同实根个数为（ ）x23()()fxafbA3 B4 C5 D618、 【2012 湖北，文】函数 在区间 上的零点的个数为( )cos0
20、,A2 B3 C4 D519【2012 北京，文】函数 的零点个数为( )12()xfxA0 B1 C2 D320、 【2012 湖南，文】设定义在 R 上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 是 的导函数当f 2()fxf时， ；当 且 时， 则函数,x()fx(0,)x()(0xf在 上的零点个数为( )()sinyf2,A2 B4 C5 D821、 【2012 天津文】已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是2|1|xyykxk_22、 【2016 新课标 1，文 21】已知函数 2()2)(1)xfea（I）讨论 的单调性；()fx（II）若 有两个零点，求 的取
21、值范围a23、 【2016 北京，文 20】设函数 32()fxbxc（I）求曲线 在点 处的切线方程；()yfx0,（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 的取值范围；4abf（III）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件23()x24、 【2016 江苏，文 19】已知函数 (0,1,)xfabab（I）设 1,ab求方程 的根； ()2fx若对任意 R，不等式 式恒成立，求实数 的最大值；(2)()6fxmf m（II）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 的值01,ab gab25、 【2015 新课标 1，文 21】设函数 2()lnxfea（I）讨论 的导函数 的零点的个
22、数；()fx()fx（II）证明：当 时 0ala26、 【2015 北京，文 19】设函数 ， 2lnxfk0（I）求 的单调区间和极值；()fx（II）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点f()f(1,e27、 【2015 广东，文 21】设 为实数，函数 a2)(1)fxaxa（）若 ，求 的取值范围；(0)1f（）讨论 的单调性；x（）当 时，讨论 在区间 内的零点个数2a 4()fx(0,)28、 【2015 山东，文 20】设函数 ， . 已知曲线 在点 处的切线与lnxa2(exg()yfx(1)f，直线 平行.0xy（）求 的值；a（）是否存在自然数 ，使得方程 在
23、内存在唯一的根？如果存在，求出 ；如果不k()fx(1)k， k存在，请说明理由；（III）设函数 （ 表示 中的较小值） ，求 的最大值.()min()xfxg， inpq， ， ()mx29、 【2015 四川，文 21】已知函数 ，其中 22lf ax0a（）设 为 的导函数，讨论 的单调性；gf ()x（）证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一解(0,1)a0f ()f(1,)30、 【2015 浙江，文 20】设函数 （ R） 2,ab（）当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式；24b()fx1,()ga（）已知函数 在 上存在零点， ，求 的取值范围()fx1,01 b
24、31、 【2014 湖南，文 21】已知函数 ()cosin(0)fxx（）求 的单调区间；f（）记 为 的从小到大的第 个零点，证明：对一切 ，有 ix()()iNnN22113nxx32、 【2014 陕西，文 21】设函数 Rln,mfx（）当 ( 为自然对数的底数 )时，求 的极小值；em()fx（）讨论函数 零点的个数；)(3gxf（）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围0ba)(1bfa33、 【2014 四川，文 21】已知函数 ，其中 R， 为自然对数的底数2e1xb,abe2.718（）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值； ()gx()fx()g0,（）若 ，函
25、数 在区间 内有零点，证明： 10f(0,1)e234、 【2013 江苏，文】设函数 ， ，其中 为实数lnfxa()xa（）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；()fx,)g1,a（）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论g1f35【2013 陕西，文】已知函数 ，其中 R()exf（）求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；（）证明：曲线 y = f (x) 与曲线 21y有唯一公共点 （）设 ab, 比较 2ab与 ()fa的大小, 并说明理由 36、 【2013 北京，文】已知函数 2sincofxx（）若曲线 在点 )处
26、与直线 相切，求 与 的值；()yfx(,ybab（）若曲线 与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围/yb37、 【2013 福建，文】已知函数 ( R， 为自然对数的底数)()1exafxe（）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；()yfx1, a（）求函数 的极值；()fx（）当 的值时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值1a:1lykx()yfxk38、 【2012 天津，文】已知函数 ， R，其中 32()af0a（）求函数 的单调区间；()fx（）若函数 在区间 内恰有两个零点，求 的取值范围；(2,0)（）当 时，设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，记 ，1afx,3t ()Mt()mt()()gtMtm求函数 在区间 上的最小值()gt3,39、 【2012 福建，文】已知函数 （ R） ，且在 上的最大值为 ()sin2fxaa0,232（）求函数 的解析式；()fx（）判断函数 在 内的零点个数，并加以证明(0,)1、 ；2、；3、A ；4、D ；5、 ；6、 ；7、B；8、2 个；9、4 个；10、A；11、D ；(3,)1, 120b12、2 个；13、A；14、C；15、 ；16、B；17、A ； 18、D ；19、B ；20、B；21、3log (0,1),2
