1、第 1 页（共 18 页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2017新课标） =（ ）A1 +2i B12i C2+i D2 i【解答】解： = = =2i，故选 D 2 （5 分） （2017新课标）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若AB=1，则 B=（ ）A1 ， 3 B1，0 C1，3 D1，5【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1B，可得 14+m=0，
2、解得 m=3，即有 B=x|x24x+3=0=1，3故选：C 3 （5 分） （2017新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，第 2 页（共 18 页）则这个
3、塔顶层有 3 盏灯，故选 B4 （5 分） （2017新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90 B63 C42 D36【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选：B5 （5 分） （2017新课标）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A 15 B9 C1 D9第 3 页（共 18 页）【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解
4、得 A（ 6，3） ，则 z=2x+y 的最小值是：15故选：A6 （5 分） （2017新课标）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6 =36 种故选：D 7 （5 分） （2017新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩
5、看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良， （若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知第 4 页（共 18 页）道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D8 （5 分） （2017新课标）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：执行程序框图，有 S=0，k=1，a=1，代入循环
6、，第一次满足循环，S=1，a=1，k=2 ；满足条件，第二次满足循环，S=1，a= 1，k=3 ；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，k=4 ；满足条件，第四次满足循环，S=2，a= 1，k=5 ；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，k=6 ；满足条件，第六次满足循环，S=3，a= 1，k=7 ；第 5 页（共 18 页）76 不成立，退出循环输出，S=3 ；故选：B 9 （5 分） （2017新课标）若双曲线 C： =1（a 0，b0）的一条渐近线被圆（x2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）A2 B C D【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b0）的
7、一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2） 2+y2=4 的圆心（2，0） ，半径为：2，双曲线 C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得 e2=4，即 e=2故选：A 10 （5 分） （2017新课标）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，则 AB1、BC 1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面
8、直线所成角为（0， ） ，可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；第 6 页（共 18 页）作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+1221（ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP 中， MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB 1 与 BC1 所成角的余弦值为 11 （5 分） （2017新课标）若 x=2 是函数 f（x）= （x 2+ax1）e x1 的极值点，则 f（x）的极小值为（ ）A 1 B2e 3 C5e
9、3 D1第 7 页（共 18 页）【解答】解：函数 f（x） =（x 2+ax1）e x1，可得 f（x）=（2x+a）e x1+（x 2+ax1）e x1，x=2 是函数 f（x）= （x 2+ax1）e x1 的极值点，可得：4+a +（ 32a）=0 解得 a=1可得 f（x）=（2x1）e x1+（x 2x1）e x1，=（ x2+x2）e x1，函数的极值点为： x=2，x=1 ，当 x2 或 x1 时，f （x）0 函数是增函数，x （2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1 211）e 11=1故选：A 12 （5 分） （2017新课标）已知ABC
10、是边长为 2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 （ + ）的最小值是（ ）A 2 B C D 1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0， ） ，B（1，0） ，C（1，0） ，设 P（ x，y） ，则 =（x， y） ， =（1 x， y） ， =（1x，y） ，则 （ + ）=2x 22 y+2y2=2x2+（y ） 2 当 x=0，y= 时，取得最小值 2（ ）= ，故选：B第 8 页（共 18 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分） （2017新课标）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取
11、一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 1.96 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=1000.020.98=1.96 故答案为：1.96 14 （5 分） （2017新课标）函数 f（x）=sin 2x+ cosx （x 0， ）的最大值是 1 【解答】解：f（x）=sin 2x+ cosx =1cos2x+ cosx ，令 cosx=t 且 t0，1，则 f（t）=t 2+ t+ =（t ） 2+1，当 t= 时，f （t ） max=1，即 f（x）的最大值为 1
12、，故答案为：1 15 （5 分） （2017新课标）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，S 4=2（a 2+a3）=10 ，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，第 9 页（共 18 页）Sn= ， = ，则 =21 + + =2（1 ）= 故答案为： 16 （5 分） （2017新课标）已知 F 是抛物线 C：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，则|FN |= 6 【解答】解：抛物线 C： y2=8x 的焦点
13、F（2，0） ，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中点，可知 M 的横坐标为： 1，则 M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6故答案为：6 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分） （2017新课标）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin 2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 面积为 2，求 b【解答】解：（1）sin（A+
14、C ）=8sin 2 ，sinB=4（1 cosB） ，sin 2B+cos2B=1，16（1 cosB） 2+cos2B=1，（17cosB15） （cosB1） =0，cosB= ；（2）由（1）可知 sinB= ，第 10 页（共 18 页）S ABC = acsinB=2，ac= ，b 2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c ） 22ac15=361715=4，b=218 （12 分） （2017新课标）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：（
15、1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（ K2k） 0.050 0.010 0.001 第 11 页（共 18 页）K 3.841 6.635 10.828 K2= 【解答】解：（1）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量
16、不低于 50kg”，由 P（ A）=P（BC）=P （B ）P （C ） ，则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034 +0.040）5=0.62 ，故 P（ B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008 ）5=0.66 ，故 P（ C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A ）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A 发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量50kg 箱产量 50kg 总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96
17、104 200则 K2= 15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5（37.5 0.004+42.50.020+47.50.044+52.50.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008） ，=510.47，=52.35（kg） 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积：第 12 页（共 18 页）（0.004 +0.020+0.044）5=0.034，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004 +0.
18、020+0.044+0.068）5=0.680.5 ，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ 52.35（kg） ，新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg） 19 （12 分） （2017新课标）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值【解答】 （1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD，
19、AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CF 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2）解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则AB=BC=1，OP= ，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，第 13 页（共 18 页）可得：BN=MN，CN= MN，BC=1 ，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作
20、 NQAB 于 Q，连接 MQ，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ= ，二面角 MABD 的余弦值为： = 20 （12 分） （2017新课标）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且 =1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C 的左焦点 F【解答】解：（1）设 M（ x0，y 0） ，由题意可得 N（x 0，0） ，设 P（ x，y） ，由点 P 满足 = 可得（xx 0，y）= （0，y 0） ，可得 xx0=0，y= y0，
21、第 14 页（共 18 页）即有 x0=x，y 0= ，代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m） ，P（ cos， sin） ， （0 2） ， =1，可得（ cos， sin）（3 cos，m sin）=1，即为3 cos2cos2+ msin2sin2=1，解得 m= ，即有 Q（3 ， ） ，椭圆 +y2=1 的左焦点 F（1，0） ，由 kOQ= ，kPF= ，由 kOQkPF=1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F21 （12 分） （2017新课标）已知函数 f（x）=ax 2ax
22、xlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2【解答】 （1）解：因为 f（x ）=ax 2axxlnx=x（ax alnx） （x0） ，则 f（x）0 等价于 h（x ）=ax alnx0，因为 h（x ）=a ，且当 0x 时 h（x ）0、当 x 时 h（x ）0，所以 h（x） min=h（ ） ，又因为 h（1）=aaln1=0，第 15 页（共 18 页）所以 =1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（x ）=x 2xxlnx，f（x）=2x2 lnx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=
23、2x 2lnx，则 t（x）=2 ，令 t（x ）=0 ，解得： x= ，所以 t（x）在区间（ 0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，所以 t（x） min=t（ ）=ln2 10，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根x0， x2，且不妨设 f（ x）在（0 ，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+）上为正，所以 f（ x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（ x0）= x0x0lnx0= x0+2x02 =x0 ，由 x0 可知 f（x 0）（x 0 ） max= + = ；由 f（ ） 0 可知 x0 ，所以 f（ x）
24、在（0，x 0）上单调递增，在（x 0， ）上单调递减，所以 f（ x0）f （ ）= ；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（22 （10 分） （2017新课标）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（
25、2， ） ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值第 16 页（共 18 页）【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4 ，设 P（ x，y） ，M （4，y 0） ，则 ，y 0= ，|OM|OP |=16， =16，即（x 2+y2） （1+ ）=16，x 4+2x2y2+y4=16x2，即（x 2+y2） 2=16x2，两边开方得：x 2+y2=4x，整理得：（x2） 2+y2=4（x0） ，点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（ x2） 2+y2=4（ x0） （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ） ，显然点 A 在曲线 C2 上，|OA|=2，曲线 C2 的
26、圆心（2，0 ）到弦 OA 的距离 d= = ，AOB 的最大面积 S= |OA|（2+ ）=2 + 选修 4-5：不等式选讲23 （2017新课标）已知 a0，b 0，a 3+b3=2，证明：（1） （a+b ） （ a5+b5）4 ；（2）a+b 2 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b） （a 5+b5）（ + ）2=（a 3+b3） 24，当且仅当 = ，即 a=b=1 时取等号，（2）a 3+b3=2，（a +b） （a 2ab+b2）=2 ，（a +b）（a+b） 23ab=2，（a +b） 33ab（a+b）=2，第 17 页（共 18 页） =ab，由均值不等式可得： =ab（ ） 2，（a +b） 32 ， （a+b） 32，a +b2 ，当且仅当 a=b=1 时等号成立第 18 页（共 18 页）参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss； 742048；maths；sxs123；cst ；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017 年 6 月 12 日
