1、高数第十一章常数项级数的概念和性质一、计算题1.根据级数收敛的定义求下列级数的和1）2）（3） 答案： 13/6，1/3）3）解： 原式=2.判别下列级数的收敛性 （1） 解： ，发散 （2） +解： 原式，而 收敛，发散所以原级数发散3） ，发散二、证明题1. 已知级数收敛,且 , 证明也收敛 解： 令 则 有上界. 令 则 也有上界 故 收敛,也即收敛 常数项级数的审敛法高数第十一章一 判别题1.用比较审敛法或比较审敛法的极限审敛法判别下列级数的敛散性 1）2）3） 解： 1） 由 发散 故 也发散 2） 故所给级数收敛 3）由 知 所给级数收敛1.用比值审敛法判别下列级数的敛散性（1）2
2、）3） 2）解： 解：解法一: 所给级数收敛收敛.解法二:由 知所给级数收敛收敛 1）故级数发散3）解：而 当 即 时,级数发散； 当 ,即 时,级数收敛； 当 时,因为，所以 发散高数第十一章3.用根值审敛法判别下列级数的敛散性 1） 2） （3）1）收敛 2）解： ，所以级数收敛而级数 发散,故该级数发散.4.用适当的方法判别下列级数的敛散性1） ( 为常数)（2） 3）（4）（5）（6）答案：1）而 收敛，所以收敛 2）解： 故级4） ，收敛5）高数第十一章3） ，收敛 6) 当 时,级数收敛;当 时,级数发散;当 时, 故此时级数发散.4.判别下列级数是否收敛?若收敛时,是绝对收敛还是
3、条件收敛 1） 2） 答案：1）解：由 ，且 ，故原级数绝对收敛2）解：故级数 发散.但 单调减趋于 0.故级数条件收敛.二、证明题1. 已知 及 都收敛 ,且 ,证明 收敛 2. 证明:若正项级数 收敛 ,则级数 也收敛 3.若 条件收敛 , 绝对收敛,证明 条件收敛答案：1）证明: 由已知得 而 收敛.所以 也收敛,且 收敛.故 收敛高数第十一章2）证明:依题意有 , . 时，因此此时有, 故 收敛，因而 收敛3）证明: 收敛, 收敛. 也收敛，假设 绝对收敛,即 收敛 ， 收敛.收敛,即 绝对收敛,与 条件收敛矛盾，故 条件收敛幂级数 1. 确定下列幂级数的收敛区间1）（-1 ，1）2）
4、（3） 4）（5）( 为常数)2）解: 其中 C 为尤拉常数, R= =1,当 时,一般项不趋于 0, 收敛区间为(-1,1)高数第十一章3）解： 当 时,级数收敛;当时, 收敛.所以收敛区间为-2,25）: , ,并且 当 时, 收敛; 发散.当 时, 收敛; 发散. 时,收敛区间为(-1,1); 时, 收敛区间为 ; 时, 收敛区间为-1,12.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数在收敛区间内的和函数 1） , 2） （3） ,并求 的和.答案：2） 则 ， 3）解：令 高数第十一章函数展开成幂级数 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并指出展开式成立的区间（1）2）3） （4）（5）答案：1）： ， 2）解： , 3）解：设 而4）解： 5）解：设 2. 将函数 展开成 的幂级数，并指明成立展开式的区间 3. 将函数 展开成 的幂级数，并指明展开式成立的区间 高数第十一章4.将函数 展开成 的幂级数，并指明展开式成立的区间 5. 将函数 展开成 的幂级数，并指明展开式的区间6. 展开 为 的幂级数。并证明答案：2.解： ，成立区间为：3.解：，成立区间为：4. 解： 而 成立区间为： 5.解： 成立区间为：高数第十一章6. 解： 从而又取
