2013年全国高考理科数学试题分类汇编 立体几何.doc

1、12013 年全国高考理科数学试题分类汇编 立体几何一、选择题1. （2013 年高考新课标 1（理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A B C D350cm386c3172cm32048cm【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）设 是两条,n不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）A若 , , ,则mnmnB若 , , ,则 / /C若 , , ,则nD若 , , ,则m/【答

2、案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为 ,则这1:4两个球的体积之比为 （ ）A B C D1:21:4:8:62【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦1ABDC12ABCD1B值等于 （ ）A B C D23333【答案】A 5. （2013 年高考新课标 1（理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A B C D168816816【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个

3、简单几何体组成,其体积分别记为 , , , ,上面两个1V234简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ）A B1243V1324C D 21V3【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ）A B C D 22-2+1【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （ ）121正视图俯视图侧视图第 5 题图A B C D4141664【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招

4、生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）已知nm,为异面直线, m平面 ,n平面 .直线 l满足,则 （ ）,llA /,且 /B ,且 lC 与 相交 ,且交线垂直于 lD 与 相交,且交线平行于 l【答案】D 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知三棱柱1ABC的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为 3的正三角形.若 P为底面 1ABC的中心,则 PA与平面 BC所成角的大小为 （ ）A512B 3C 4D 6【答案】B 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题 5图所示,则该几

5、何体的体积为 （ ）A 603B 5803C 20D 240【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）已知三棱柱5的 6 个顶点都在球 的球面上,若 ,1ABCO34ABC，, ,则球 的半径为 （ ）2A B C D 3710132310【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交ABD的平面个数分别记为 ,那么mnn（ ）A8 B9 C10 D11【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WO

6、RD 版含答案）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是(1,0),(1)0,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （ ）A B C D6【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）在下列命题中,不是公理的是 （ ）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考

7、试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）在空间中,过点作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对B)(Af空间任意一点 , ,恒有 ,则 （ ）P)(21 PQf 21PQA平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的(锐)二面角为 045C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为 06【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 7【答案】D 二、填空题18. （2013 年高考上海卷（理）在 平面上,将两个半圆弧xOy和 、两条直线 和 围2(1)(1)xy2(3)1(3)x1y成的封闭图形记为 D,如图

8、中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ,过 作 的水平截面,所得截面面积为(0,)|y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得2418y出 的体积值为_【答案】 . 21619. （2013 年高考陕西卷（理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_ _.38112 1【答案】 320. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知圆和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径, ,且OKO32K圆 与圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则球 的表面积等60于_.【答案】 1621. （2013 年高考北京卷（理）如图,在

9、棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_.1D1BPACEBAA【答案】 2522. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,设ABC1FED， 1ACB，三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则DEFVA12V9_.21:VABC1DEF1【答案】 1:2423. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等

10、于_ .2cm43233正视图 侧视图俯视图（第 12 题图）【答案】24 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）如图,正方体的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 上的动点,1ABCD 1C过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当 时,S 为四边形;当 时,S 为等腰梯形;当102CQ12CQ10时,S 与 的交点 R 满足 ;当 时,S 为六34CQ1CD13C14CQ边形;当 时,S 的面积为 .62【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试

11、题（WORD 版）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 1626. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_【答案】 1227. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体中,异面直线 与 所成角的大小为_1ABCD1ABC11D1 C1B1A1 D CA B【答案】 3三、解答题28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）如图,AB 是圆的

12、直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证: PACB平 面 平 面 ；(II) 2 .BCPBA若 ， 1， ， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值【答案】121329. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如图,四棱锥PABCD中, ABCD底 面 , 2,4,3ACBACD,F为 的中点, FP.(1)求 的长; (2)求二面角 F的正弦值.【答案】141530. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）如图,圆锥顶点为 .底面圆心为 ,其母线与底面所成的角为 22.5. 和 是po ABCD底面圆 上的

13、两条平行的弦,轴 与平面 所成的角为 60.OOPCD()证明:平面 与平面 的交线平行于底面; ()求PABCD.cosCOD【答案】解: () PAB,/ /mABCDPABPCD设 面 面 直 线 且 面 面. /直 线 面直 线面 /所以, . 的 公 共 交 线 平 行 底 面与 面面() . rPOOPFCDr 5.2tan.60, 由 题 知， 则的 中 点 为线 段设 底 面 半 径 为. t14,2cos5.2tan60t60tan, CDrPOF )23(),-2(3s,1-.ta12coscos CD. 27cos.-17OD所 以法二: 1631. （2013 年普通高

14、等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）如图,在四面体中, 平面 , . 是 的中BCDABCD2,BDAMA点, 是 的中点,点 在线段 上,且 .PMQQC3(1)证明: 平面 ;(2)若二面角 的大小为 ,求/ 06的大小.BDCABCDPQM（第 20 题图）【答案】解:证明()方法一:如图 6,取 的中点 ,且 是 中MDFAD17点,所以 .因为 是 中点,所以 ;又因为()3AFDPBM/PFBD且 ,所以 ,所以面 面 ,且QC/QFQC面 ,所以 面 ; PB/C方法二:如图 7 所示,取 中点 ,且 是 中点,所以BDOPBM;取 的三等分点 ,使 ,且 ,

15、所以1/2POMDCH3C3AQC,所以 ,且 ,所以/4QHA/PQHD面 ; /B()如图 8 所示,由已知得到面 面 ,过 作 于ADBCGB,所以 ,过 作 于 ,连接 ,所以 就GCMDGHMH是 的二面角;由已知得到 ,设 ,B 813D所以 , cos,in2cos,2cosin,2sinBCGBCDD在 中, ,所以在RTBCG 2sinsiB中, ,所以在 中 H221sin33siHGRTCHG182cosintantan6033CGCHGH; t(,9)6060BD32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥 中,1ABC,异面直线 与 所成角

16、的大小为 ,求该三棱柱的体积.16A1BCA6B1A1C1A CB【答案】解因为 . 1A所以 为异面直线 与 .所成的角,即 = . 11B1BC6在 Rt 中, , 1BC113tan62C从而 , 234ABCS因此该三棱柱的体积为 . 1368ABCVS33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分 14 分.19如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过ABCSSABCBAAS作 ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.AFFGE，S，求证:(1)平面 平面 ; (2) ./ABCSGFE【答案】证明:(1) , F 分别

17、是 SB 的中点 ABSSFE.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF 平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EF FG=F, EF.FG 平面 ABC平面 平面 /EFGABC(2)平面 平面 SABC平面 平面 =BC AF 平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB BC平面 SAB 又BCASA 平面 SABBCSA 34. （2013 年高考上海卷（理）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1平行于

18、平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离.20D1 C1B1A1DCBA【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故 , 11/,ABCD故 ABC1D1为平行四边形,故 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于1/是直线 BC1平行于平面 DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得(2)33V而 中, ,故 1AC115,2A132ADCS所以, ,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 . 2h2335. （2013 年高考湖北卷（理）如图, 是圆 的直径,点 是

19、圆 上异于BOO的点,直线 平面 , , 分别是 , 的中点.ABPCAEFPAC(I)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面EFll的位置关系 ,并加以证明 ;P(II)设(I)中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足lODQ.记直线 与平面 所成的角为 ,异面直线 与12DQCPQABCP所成的角为 ,二面角 的大小为 ,求证:EFEl.sinsi21第 19 题图【答案】解:(I) , , EFACABC平 面 EFABC平 面EFBA平 面又 平 面lPAC平 面(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便

20、的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 222336. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版）如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点,ABC906BCDEACB, 为 的中点.将 沿 折起,得到如图 2 所示的2CDEOA四棱锥 ,其中 .3() 证明: 平面 ; () 求二面角 的D平面角的余弦值.C OBD EACD O BEA图 1 图 2【答案】() 在图 1 中,易得 3,OA24CD OxEA向量法图yzBCD O BEAH连结 ,在 中,由余弦定理可得 ECD2cos45O由翻折不变性可知

21、 , 2A所以 ,所以 , 2AD OD理可证 , 又 ,所以 平面 . OEABCDE() 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , HCHA因为 平面 ,所以 , ABDD所以 为二面角 的平面角. OAB结合图 1 可知, 为 中点,故 ,从而HC32OH230AA所以 ,所以二面角 的平面角的余弦15cosOH ADB值为 . 15向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, Oyz则 , , 0,3A0C12,0D所以 , 3A设 为平面 的法向量,则 ,nxyz25,即 ,解得 ,令 ,得0nCAD302yzx3yxz11,由() 知, 为平面 的一个法向量, 0,3OA

22、CDB所以 ,即二面角 的平面15cos,n ACDB角的余弦值为 . 1537. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, AB AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1的中点. () 证明 B1C1 CE; () 求二面角 B1-CE-C1的正弦值. () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段 AM 的长. 26【答案】262738. （2013 年高考新课标 1（理）如图,三棱柱

23、ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A 1=60.28()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1AB, E, AB= 1A, 1B= 06, 1BA是正三角形, EAB, CA=CB, CEAB, 1CEA=E,AB面 1C, AB 1AC; ()由()知 ECAB, 1EAAB, 又面 ABC面 B,面 ABC面 1B=AB,EC面 1AB,EC 1EA, EA,EC, 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, E的方向为 x轴正方向,|

24、|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 Oyz, 有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),则BC=(1,0, 3),B= =(-1,0, ), 1AC=(0,- , ), 29设 n=(,)xyz是平面 1CB的法向量, 则 10B,即 30xzy,可取 n=( 3,1,-1), cos,An= 1|C|5, 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 39. （2013 年高考陕西卷（理）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O平面 ABCD, . 2() 证明:

25、A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. OD1B1C1DACBA1【答案】解:() ;又因为,在BDOACBDA11 ,面且面正方形 AB CD 中,. CCOABDC 11111, ， 故面且面所 以； 且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .11OART中 ，在. ECOCEAEDB111 为 正 方 形 ， 所 以， 则 四 边 形的 中 点 为设 ， 所 以 由 以 上 三 点 得且，面面又 BD1.,.(证毕) CA11面() 建立直角坐标系统,使用向量解题. 30以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . )1,0()1(0(),1(01 CABACB，）（由()知, 平面 BB1D1D 的一个法向量.,),(),(11 ）（On设平面 OCB1的法向量为，则 0,22CnOB).1-,(向为解 得 其 中 一 个. 2|,cos| 211 nn所以,平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 为 340. （2013 年高考江西卷（理）如图,四棱锥 中,PABC,ABCDE平 面 为 的 中 点 G为 的 中 点 ，,连接 并延长交 于 .3,12， EADF(1) 求证: ;F平 面(2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.BCPDCPOD1B1C1DACBA1