1、第二章习 题 解 答西南交大 草上飞1 下列数据作为 的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限.*x( 表示 的近似数,.721534.,.342xx i*x)145926.3解：把近似数 规格化形式后均有 ，首位非零数字为 3),(*ix1k） 11 025.09 有 3 位有效数字，*x 7.32)(1*1xr) 312 4. 有 3 位有效数字，*x 0.)(31*2xr) 215.08.15. 有 2 位有效数字，*3x 7.32)(*3xr) ， 14857. 31*4 025.01.7有 3 位有效数字，*4x 7.32)(*4xr2 证明2.2 中的定理 2.1,
2、定理 2.2.3 已知 的近似数 相对误差为 ，试问 至少有几位有效数字？0%5.0x解：因 的第一位数字为 ，所以 的第一位数字 ，根据定理 2.1，当441anraxe0|)(|1成立时， 有 位有效数字，而 时xn2n,145950%5.)( 22er所以近似数 至少有 位有效数字.24 为尽量避免有效数字的严重损失，当 时应如何加工下列计算公式：1|x（1） （2） （3）x1cos1xe解：（1） ；（2） ；（3）)1(x2sinx432161xx5 序列 满足递推关系ny,21,10nyn若取 做近似计算，问计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？41.20y解： , ,4.*
3、0y2*0|y|*1y|0|010*01*9|yy此递推关系每计算一次误差增长 倍，故算法不稳定.6 设 验证 若取 依,0,10ndxeIn ,10eI.1nnII ,3679.01e次计算 时(不要求具体算出 ),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大 n,1的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法.解: 对 用分部积分法得,10edxeInI1n01xx10|1dxen.1nI设误差 其中 .于是,*nnIe*1*nnI)(1 )(!)*0In0!(en当 增大时 是递增的, 的误差达到 ,是严重失真的.ne*nIe数值稳定的计算方法: 将递推公式 改为1nnI于是在从后
4、往前计算时 , 的误差减少)1(nnII),21,(k 1nI为原来 的 ,若取 足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的.7 可由下列迭代公式计算: ,210),7(210kxxkk若 是 的具有 位有效数字的近似值,求证 是 的具有 位有效数字的近似值.kx7n1kx7n2解 由 1k ,10,)(27)(2kxkk和 ,得到 数列 有下界.又20x,1,7xk 1k)(2)7(kkxx即 ,数列 单调不增. 故 存在.令 ,对迭代公式两边取极限,可kx11klim求得 .7limk现设 是 的具有 位有效数字的近似值,即有xn102|7| nkx于是,得 |7|1kx2)(2k 247
5、n120n可见, 是 的具有 位有效数字的近似值.1kn8 用秦九韶算法计算多项式 在自变量 时的值.53)(2xxp3x解： 3814296故 38)(p补充例题例题 1：试问真值 的近似数 是否为有效数.62.*x258x解： 112040由有效数的定义知近似数 具有两位有效数字，分别是.x2,5由于 不是有效数字，故 不是有效数.858例题 2 为尽量避免有效数字的严重损失，当 时应如何加工下列计算公式1|xx1解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换： xxx121例题 3 设 10,2,10ndexIn（1）证明： .,3I（2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.解:
6、(1) 对 用分部积分法得nI10dxe10xnenx10|1dxe.0,32,1Inn(2) 由（1）得： 若已知 ，设计如下递推算法：1neINI注意到：,),( NeIn,于是 )10(,|1010 nexdnn .11neI取 可得如下递推算法)(2NeI.1,2,)1(21 NneIINn设 ，则 ，nnIe1n)(nI，即 . |1|)(|Ie1每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. 例题 4 已知 试建立一个具有较好数值稳定性的求 的递推,410dxynn ),21(ny公式,并证明算法的稳定性.解: 由 14ny014dxnn110得到求 的递推公式:),21
7、(ny, (*)14nnyy,2而初值 ,由此出发,根据上述递推公式可以求035.|)l(140 xdxy的近似值求 :),2(n*ny, .*14ny,2记 的绝对误差为 ,则有:*ny|ny,)(*1*nny即, .14n,2由此可见, 的误差将缩小 传播到 ,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数*1ny1*y值稳定的. 例题 5 数列 满足递推公式 .若取 位nx10(,2)nx *0021.4(3xx有有效数字),问按此递推算法从 算至 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?解: *2001|ex, ,则计算过程不稳定.0|nnnx|()en计算至 时误差: .10x1281| 0e
