1、第七章 平面向量1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形向量 概 念 向 量 的 模 相 等 的 向 量单 位 向 量零 向 量运 算 向 量 的 加 法向 量
2、 的 减 法实 数 与 向 量 的 乘 积向 量 的 数 量 积 平 面 向 量 的 坐 标 运 算平 移 公 式线 段 的 定 比 分 点解 三 角 形 余 弦 定 理正 弦 定 理 任 意 三 角 形 的 面 积 公 式向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常
3、常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第 1 课时 向量的概念与几何运算基础过关知识网络考纲导读高考导航1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数 与向量 的积是一个向量，记作 它的长度与方向规定如下：aa | | a 当 0 时， 的方向与 的方向 ；a当 0 时， 的方向与 的方向 ；
4、当 0 时， a ( ) a( ) ( ) b 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 a4 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平1e2面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使得 a 设 、 是一组基底， ， ，则 与 共线的充要条件是 1e2a21eyxb21eyxab例 1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点设 ， ，求 aABbCBE解： ( ) BEAB41ACB43a1b变式训练 1.如图所示，D 是 ABC 边 AB 上的中点，则向量 等于（ ）DA C2B BA1C 2D BA1典型例题
5、ADB C解:A例 2. 已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，求实数 、 ，213ea213eb219ec1e2使 bc解: 2 9 (22) (33) 222，且a1e21e2e339 2，且 1变式训练 2：已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：PODCPBA4证明 2 ， 2 4BDPOABCD例 3. 已知 ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且 AB2CD，M、N 分别是 DC和 AB 的中点，若 ， ，试用 、 表示 和 aAbab解：连 NC，则 ；NCCNABM4141 abBC21变式训练 3：如图所示，OADB 是
6、以向量 ， 为邻边的平行四边形，又 OabM31， ，试用 、 表示 ， ， BC1Dab解: ， ，OM6a5bON32 N21例 4. 设 ， 是两个不共线向量，若 与 起点相同，tR ，t 为何值时， ，t ， ( )abab ab31ab三向量的终点在一条直线上？解：设 ( R)化简整理得：)(31bat 0)31()32(bta ，不 共 线与 ba213032tt故 时， 三向量的向量的终点在一直线上21t )(1,bat变式训练 4：已知 ，设 ，如果,OABCcODdEetR3,2,acbd，那么 为何值时， 三点在一条直线上？()ett解：由题设知， ， 三点在一条23,(3
7、)CDdcbaetatb,CDE直线上的充要条件是存在实数 ，使得 ，即 ，kkk整理得 .(3)()tkat若 共线，则 可为任意实数；,bt若 不共线，则有 ，解之得， .302k65tBO ADC NM综上， 共线时，则 可为任意实数； 不共线时， .,abt,ab65t1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意 与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 ABCD，需证 ，且 AB 与ABCDCD 不共线要证 A、B、C 三点共线，则证 即可ABC4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，
8、特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第 2 课时 平面向量的坐标运算1平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于一个向量 ，有且只有ij a一对实数 x、y，使得 x y 我们把(x 、y)叫做向量 的直角坐标，记作 aij a并且| | a2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若 (x 1、y 1)， (x 2、y 2)， R，则：b ab 已知 A(x1、y 1)，B(x 2、y 2)，则 AB4两个向量 (x 1、y 1)和 (x 2、y 2)共线的充要条件是 ab例 1.已知点 A（2，
9、3） ，B（1，5） ，且 ，求点 C 的坐标AC31B解 (1， )， (1, )，即 C(1, )CO31变式训练 1.若 ， ，则 = . ,8(7,2)3解: 提示：(3,2)9,6AB例 2. 已知向量 (cos ，sin )， (cos ，sin )，| | ，求 cos() 的值a2b2ab52解:| | cos cos()ab552cos(37变式训练 2.已知 2 ( 3，1) ，2 (1，2) ，求 ababab小结归纳典型例题基础过关解 (1，1)， (1 ，0) ， (0，1)abab例 3. 已知向量 (1, 2)， (x, 1) ， 2 ， 2 ，且 ，求 xa1e
10、eab1e2解: (1 2x，4) ， (2x，3)， 3(12x)4(2x) x1e2e变式训练 3.设 (ksin, 1)， (2 cos, 1) (0 f(cd)的解集平面向量章节测试题参考答案一、BCDBA； DDADB；BD二、13.等边三角形；14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 600 ; 15.a2b ; 16.三、17.| |=2| | a, b a , = abABCD221ABDCCMN4118. 5e1+5e2= , 又有公共点 B,A、B、D 共线5/设存在实数 使 ke1+e2=(e1+ke2) k= 且 k=1 k= 19.由 可知 即 ABAC 0A
11、CBACB设 D（x,y）, )2,1(),5(),4,( yxBDyx 5(x-2)+5(y-4)=0 5(x+1)5(y+2)=0 D( )BC/ 257yx25,)23,(A20. 6|),251()23,5(CMM设 P（x,y） 4|2,93APQAPQBCBCSAPB)1,3(2),1(yx),(21. 当 b 与 a+b(R)垂直时，b(a+b)=0,= - 2Aab| a+b |= =22Aab22()()Aab当 = - 时， | a+b |取得最小值.2Aab当 b 与 a+b(R)垂直时，a+b 的模取得最小值.22. (1）ab=2sin 2x+1 1 cd=2cos2
12、x+1 1 （2）f(1-x)=f(1+x) f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m0 时, f(x) 在（ 1， ）内单调递增，由 f(ab)f(cd) ab cd, 即 2sin2x+12cos2x+1 又x0, x 3(,)4当二次项系数 mf(cd) ab cd, 即 2sin2x+10 时不等式的解集为 ;当 m=b cos(90 0)= asin ,即为以 a， 为邻边的平行四边形的面积.23.（2009 重庆卷理）已知 1,6()2Aab，则向量 与向量 b的夹角是（ ）A 6B 4C 3D 2 答案 C解析 因为由条件得 22, cos16cos,ababab所 以1
13、cos23所 以 ， 所 以24.（2009 重庆卷文）已知向量 (1,)2,)x若 +与 42平行，则实数 x的值是 （ ）A-2 B0 C1 D2答案 D解法 1 因为 (,1)2,)abx，所以 (3,)4(6,),abxbax由于 b与 4平行，得 6(1420，解得 2。解法 2 因为 与 平行，则存在常数 ，使 ()，即(1)()a，根据向量共线的条件知，向量 a与 b共线，故 x25.(2009 湖北卷理)函数 cos(2)6yx的图象 F按向量 平移到 F, 的函数解析式为 (,yfx当 ()f为奇函数时，向量 可以等于 ( ).2)6A.,B .(,2)C .,26D答案 B
14、解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 (,)axyv，根据定义cos2()26yx，根据 y 是奇函数，对应求出 x， y26.（2009 湖北卷文）函数 2)6cos(xy的图像 F 按向量 a 平移到 F/，F /的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时，向量 a 可以等于 ( )A. )2,6( B. )2,6( C. ),( D. 2,6答案 D解析 由平面向量平行规律可知，仅当 (,2)6a时，F： ()cos2()6fx= sinx为奇函数，故选 D.26.（ 2009 广 东 卷 理 ） 若平面向量 a， b满足 1， ba平行于 x轴，)1,(b，则 a . 答案
15、(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析 )0,(或 ),1，则 )1,(,2)0,1(a或 3(21a.27.（2009 江苏卷）已知向量和向量 b的夹角为 3o， |,|3ab，则向量 a和向量 b的数量积 b= .答案 3解析 考查数量积的运算。 2a28.（2009 安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量 OA和 B，它们的夹角为 120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB上变动.若 ,xAyB其中 ,xyR,则 xy的最大值是_.答案 2解析 设 ,OCAxyOBAB，即 01cos2()xyA B C P 02cos(12)cos3in2si()26xy 29
16、.（2009 安徽卷文）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或 =+ ，其中 ， R ，则 + = _.答案 4/3解析 设 BCb、 Aa则 12Fba , 12Aba , Cba代入条件得 243u30.（2009 江西卷文）已知向量 (3,1)， (,)， (,)ck，若 ()c 则 k= 答案 0 解析 因为 (3,)ack所以 0.31.（2009 江西卷理）已知向量 (3,1)a， (,)b， (,7)ck，若 ()ac b，则 k= 答案 5解析 3651k32.（2009 湖南卷文）如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxBy
17、C，则 ，. 图 2答案 31,x.2y解析 作 DFAB,设 12CBDE，60E, 6,2由 45BF解得 23,BF故 31,2x.y33.（2009 辽宁卷文）在平面直角坐标系 xoy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8） ，C(8,6),则 D 点的坐标为_.答案 （0，2）解析 平行四边形 ABCD 中, OBAC ODAC(2,0)(8,6)(6,8)(0,2)即 D 点坐标为(0,2)34.(2009 年广东卷文)（已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中 )2,0(（1）求 sin和 co的值（2）若 53)(5
18、， 0,求 的值解 （） abvQ, sin2cosg,即 sin2cos又 2sinco1, 41,即 5, 24i5又 5(0,)si,cos(2) 5co(in)5cos2in35cossin , 222cs1s ,即 1又 0 , o 35.（2009 江苏卷）设向量 (4cs,in),(si,4co),(s,4in)ab （1）若 a与 2bc垂直，求 t的值； （2）求 |的最大值; （3）若 tn16，求证： . 解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。36.（ 2009
19、广 东 卷 理 ） 已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中(,)（1）求 sin和 co的值；（2）若 10(),2，求 cos的值 解 （1） a与 b互相垂直，则 0inba，即 cos2sin，代入1cossin22得 5cos,5in，又 (,)， ,5i .（2） 20， ， 2，则 103)(sin1)cos(，37.（2009 湖南卷文）已知向量 (sin,co2sin),(12).ab（1）若 /ab，求 tn的值； （2）若 |,0,求 的值。 解 （1） 因为 /，所以 2sico2sin,于是 4sinco，故 1tan.4（2）由 |ab知， 22
20、si(csi)5,所以 1si5.从而 n2(cos)4，即 sin2cos1，于是 si()4.又由 0知， 944，所以 52，或 724.因此 ，或 3. 38.(2009 湖南卷理) 在 ABC，已知 2233ABC，求角 A，B，C 的大小.解 设 ,BCabc由 23ABCA得 2cos3bc，所以 3os2A又 (0,)因此 6 由 233得 23bca，于是 23sinsin4CB所以 5sin()64C， 13si(coi)2，因此22ico3sin,is0，既 sin(2)03C由 A= 6知 506，所以 ， 43C，从而,3C或 2,3，既 ,6或 2,故AB或 AB。
21、39.（2009 上海卷文） 已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量(,)mab，sin)BA， (2,)pba.（1） 若 / ，求证： ABC 为等腰三角形； （2） 若 m ，边长 c = 2，角 C = 3，求 ABC 的面积 .证明：（1） /,sini,aAbBuvQ即 2abR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ab ABC为等腰三角形解（2）由题意可知 /0,(2)()0mp即由余弦定理可知， 224()3abab 2()30ab即 1)舍 去1sin4si32SC20052008 年高考题一、选择题1.（2008 全国 I）在 ABC 中，
22、 c， ACb若点 D满足 2BC，则 AD（ ）A 213bcB 523bC 213cD 13bc答案 A2.（2008 安徽）在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2,4)AB， (,)C,则BD（ ）A （2，4） B （3，5） C （3，5） D （2，4）答案 B3.（2008 湖北）设 )2,1(a, )4,(b, ),(c则 cba) （ ）A.(15,2) B. 0 C. 3 D. 1答案 C4.（2008 湖南）设 D、 E、 F 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且 2,DCB2,EA,B则 AC与 B( )A.反向平行 B.同向平行C
23、.互相垂直 D.既不平行也不垂直答案 A5.（2008 广东）在平行四边形 D中， 与 交于点 OE， 是线段 D的中点， AE的延长线与 C交于点 F若 ACa， Bb，则 AF（ ）A 142ab B 213b C 124 D 123ab答案 B6.（2008 浙江）已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足0)(c,则 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. 2 D. 2答案 C7.（2007 北京）已知 O是 ABC 所在平面内一点, D为 BC边中点,且 OABC0，那么 （ ） AD 2O 3AOD 2AOD答案 8.（2007 海南、宁夏）已知平面向量 (1
24、)(1)，ab，则向量 32ab（ ） (21)， 2 0 ()，答案 9.（2007 湖北）设 (43)，a， 在 b上的投影为 52， b在 x轴上的投影为 2，且 |14b，则 b为 （ ）A (214)， B 27， C 27， D (8)，答案 10.（2007 湖南）设 ，ab是非零向量，若函数 ()(fxxAab的图象是一条直线，则必有 （ ）A abB C |abD |答案 A11.（2007 天津）设两个向量 2(cos)，和 sin2m，其中m，为实数若 2ab，则 m的取值范围是 （ ）-6，1 48， （-6，1 -1，6答案 12.（2007 山东）已知向量 (1)(
25、1)nn， ， ，ab，若 2ab与 垂直，则 a（ ）A 1B 2 C 2D4答案 13.（2006四川）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A. 123,PB. 124,PC. 125, D. 126,答案 A35614.（2005 重庆）设向量 a=（1，2） ，b=（2，1） ，则（ ab） （ a+b）等于 14.（ ）A （1，1） B （4，4） C4 D （2，2）答案 B二、填空题15.（2008 陕西）关于平面向量 ， ， c有下列三个命题：若 Aab=c，则 若 (1)(26)k， ， ，ab， ab，则 3k非零向量 和 满足 |b，则 与 的夹角为
26、0其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）答案 16.（2008 上海）若向量 a， 满足 12b， 且 a与 的夹角为 3，则 ab 答案 717.（2008 全国 II）设向量 (12)(3)， ， ，ab，若向量 ab与向量 (47)，c共线，则 答案 218.（2008 北京）已知向量 a与 的夹角为 0，且 4，那么 (2)Aab的值为 答案 019.（2008 天津）已知平面向量 (2,4)， (1,2)b若 ()c，则|c_答案 2820.（2008 江苏） a， b的夹角为 120， a， 3b 则 5ab 答案 721.（2007 安徽）在四面体 OABC中， OBCD，
27、 ， ， c为 B的中点， E为AD的中点，则 E （用 ， ，abc表示） 答案 124abc22.（2007 北京）已知向量 241， ， ，a=b若向量 ()ba+，则实数 的值是 答案 -323.（2007 广东）若向量 、 满足 a与,的夹角为 120，则 ba .答案 2124.(2005 上海)直角坐标平面 xoy中，若定点 )2,1(A与动点 ),(yxP满足 4OA，则点P 的轨迹方程是_.答案 x+2y-4=025.(2005 江苏)在 ABC中，O 为中线 AM 上一个动点，若 AM=2，则 )(CB的最小值是_。答案 2 三、解答题26.（2007 广东）已知 顶点的直角坐标分别为 )0,(,()4,3cA、 .(1）若 5c，求 sin A的值;（2）若 是钝角，求 c的取值范围.解 (1) (3,4)B, (3,4)C当c=5时， (2,4)C61cos,52A进而25sin1cosA(2)若A为钝角，则 AB AC= -3(c-3)+( -4)2 35显然此时有 AB和 AC不共线，故当 A为钝角时， c的取值范围为2，+ )
