1、直线的一般式方程及综合【学习目标】1掌握直线的一般式方程；2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为 Ax+By+C=0，这个方程(其中 A、B 不全为零) 叫做直线方程的一般式要点诠释：1A、B 不全为零才能表示一条直线，若 A、B 全为零则不能表示一条直线.当 B0 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线Cyx0,CB当 B=0，A0 时，方程可变形为 Ax+C=0，即 ，它表示一条与
2、x 轴垂直的直线A由上可知，关于 x、y 的二元一次方程，它都表示一条直线2在平面直角坐标系中，一个关于 x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x、y 的一次方程（如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程可以是2xy+1=0，也可以是 ，还可以是 4x2y+2=0 等 ）102要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围点斜式 yy 1=k(xx 1) （x 1，y 1）是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于 x 轴斜截式 y=kx+b k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截
3、距 不垂直于 x 轴两点式 1122yx（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）是直线上两定点 不垂直于 x 轴和 y 轴截距式 aba 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直线在 y 轴上的非零截距不垂直于 x 轴和 y 轴，且不过原点一般式 Ax+By+C=0（A 2+B20） A、B、C 为系数 任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1x2，y 1y2） ，应用时若采用(y 2y 1)(xx 1)(x 2x 1)(yy 1)=0 的形式，即可消除局限性截距
4、式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“ 直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同要点三：直线方程的综合应用1已知所求曲线是直线时，用待定系数法求2根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同（1）从斜截式考虑已知直线 , , 11:bxkyl22:bxkyl；2 1/ ()121212112tancotl kk于是与直线 平行的直线可以设为 ；垂直的直线可以设为 ykxb1yxb
5、21yxbk（2）从一般式考虑：1122:0,:0lABClABC1且 或 ，记忆式（ ）122/l1211210BC1122ABC与 重合， ， ，120202于是与直线 平行的直线可以设为 ；垂直的直线可以设为AxByCAxyD.0D【典型例题】类型一：直线的一般式方程例 1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程（1）斜率是 ，经过点 A（8，2） ；2（2）经过点 B（4，2） ，平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ，3；32（4）经过两点 P1（3，2） ，P 2（5，4） 【答案】 （1）x+2y4=0（2）y2=0（3）2xy3=0（4） 10xy【
6、解析】 （1）由点斜式方程得 ，化成一般式得 x+2y4=01()(8)2y（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y2=0（3）由截距式得 ，化成一般式得 2xy3=0132x（4）由两点式得 ，化成一般式方程为 34()5yx10xy【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、y 项、常数项顺序排列求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式举一反三：【变式 1】已知直线 经过点 ，且倾斜角是 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.l(3
7、,1)B30【答案】 (yxy【解析】因为直线倾斜角是 ，所以直线的斜率 ，所以直线的点斜式方0 3tant0k程为： ，化成一般式方程为： .31()yx3xy例 2 的一个顶点为 ， 、 的平分线在直线ABC(1,4)ABC和 上，求直线 BC 的方程. 10y10xy【答案】 3【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于 的平分线的对称点 在 BC 上，B 点关于 的平分线BAC的对称点 也在 BC 上写出直线 的方程，即为直线 BC 的方程. 例 3求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（1，2）的直线 的方程l【答案】3x+4y11=0
8、【解析】解法一：设直线 的斜率为 k， 与直线 3x+4y+1=0 平行， ll 34k又 经过点（1，2） ，可得所求直线方程为 ，即 3x+4y11=0l 32(1)4yx解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 的方程为 3x+4y+m=0，l 经过点（1，2） ，31+42+m=0，解得 m=11 l所求直线方程为 3x+4y11=0【总结升华】 （1）一般地，直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧我们称 Ax+By+m=0 是与直线Ax+By+C=0 平行的直线系方程
9、参数 m 可以取 mC 的任意实数，这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0平行的直线当 m=C 时，Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合（2）一般地，经过点 A（x 0，y 0） ，且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(xx 0)+B(yy 0)=0（3）类似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 BxAy+m=0（A，B 不同时为零） 举一反三：【变式 1】已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时:1l 2l（1） 与 平行（2） 与 垂直. l2【答案】 （1） （2）3m0【解析】当 时， ：8y-
10、10=0； ：x-4=0，01l2l12l当 时， ： ； ：0m1l3108myx2l146yxm由 ，得 ，由 得38623483或而 无解()综上所述（1） ， 与 平行 （2） ， 与 垂直3m1l01l2【变式 2】 求经过点 A（2， 1） ，且与直线 2x+y10=0 垂直的直线 的方程l【答案】x2y=0【解析】因为直线 与直线 2x+y10=0 垂直，可设直线 的方程为 ，把点 A（2，1）l l 0xym代入直线 的方程得： ，所以直线 的方程为：x2y=0l0l类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4已知直线 的倾斜角的正弦值为 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求
11、直线 的方程l35 l【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数直线在 y 轴上的截距 b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，便可求出 b也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，设截距式直线方程，从而得出 ，再根据它的斜率已知，从而得到关于 a，b 的方程组，解之即可1|2ab【答案】 或34yx34yx【解析】解法一：设 的倾斜角为 ，由 ，得 lsin53tan4设 的方程为 ，令 y=0，得 l34yxbxb直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 ， （0，b） l 4,3 ，即 b2=9，b=3214|623Sb故所求的直线方程分别为 或 34yx34yx解
12、法二：设直线 的方程为 ，倾斜角为 ，由 ，得 l1ab3sin53tan4 ，解得 1|6234ab43故所求的直线方程为 或 1xy4xy【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式在求直线方程
13、的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏举一反三：【变式 1】 （2015 春 启东市期中）已知直线 m：2xy3=0，n：x +y3=0 （1）求过两直线 m，n 交点且与直线 l：x+2y1=0 平行的直线方程；（2）求过两直线 m，n 交点且与两坐标轴围成面积为 4 的直线方程【思路点拨】 （1）求过两直线 m，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l：x+2y1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可【答案】 （1）x+2y 4=0；（2）【解析】 （1）由 ，解得 ，30
14、21xy即两直线 m，n 交点坐标为（ 2，1） ，设与直线 l：x+2y1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0，则 2+21+c=0，解得 c=4，则对应的直线方程为 x+2y4=0；（2）设过（2，1）的直线斜率为 k， （k0 ） ，则对应的直线方程为 y1=k(x2)，令 x=0，y=12k ，即与 y 轴的交点坐标为 A（0，12k）令 y=0，则 ，即与 x 轴的交点坐标为 ，1221(,0)kB则AOB 的面积 ，|1|4kS即 ，2(1)8k即 ，40若 k0，则方程等价为 ，2410k解得 或 ，323若 k0，则方程等价为 ，2410k解得 12综上直线的方程为 ，或
15、，或(2)yx321()yx321()yx即 ，或 ，或12yx322yx322yx类型三：直线方程的实际应用例 6 （2015 春 湖北期末）光线从点 A（2，3）射出，若镜面的位置在直线 l：x+y+1=0 上，反射光线经过 B（ 1，1） ，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从 A 到 B 所走过的路线长【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从 A 到 B 所走过的路线长【答案】 4【解析】设点 A 关于 l 的对称点 A（x 0，y 0） ，AA被 l 垂直平分， ，解得00231yx043
16、xy点 A（4，3） ，B（1，1）在反射光线所在直线上，反射光线的方程为 ，即 4x5y+1=0 ，3解方程组 得入射点的坐标为 4501xy21(,)3由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 ，即 5x4y+2=0，123y光线从 A 到 B 所走过的路线长为 |(4)()41AB【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分举一反三：【变式 1】 （2016 春 福建厦门期中）一条光线从点 A（4，2）射出，到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点
17、 D（1，6） 求 BC 所在直线的方程【答案】10x3y +8=0【解析】如图，A（4，2） ，D （1，6） ，由对称性求得 A（4，2）关于直线 y=x 的对称点 A（2，4） ，D 关于 y 轴的对称点 D（1 ，6） ，则由入射光线和反射光线的性质可得：过 AD 的直线方程即为 BC 所在直线的方程由直线方程的两点式得： 2y整理得：10x3y +8=0例 7如图，某房地产公司要在荒地 ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢 8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积 （精确到 1 m2）【答案】6017【解析】 建立坐标系，则 B（30，0） ，A（0，20） 由直线的截距方程得到线段 AB 的方程为（0x30） 1302xy设点 P 的坐标为（x，y） ，则有 203yx公寓的占地面积为（0x30） (10)(8)(1)(8)S2063x当 x=5， 时，S 取最大值，最大值为 53y 25017(m)S即当点 P 的坐标为 时，公寓占地面积最大，最大面积为 6017 m20(,)【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 P 的位置由两个条件确定，一是 A、P、B 三点共线，二是矩形的面积最大借三点共线寻求 x 与 y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法
