1、12009 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1 （5 分） （2009 浙江）设 U=R，A=x|x0 ，B=x|x1，则 AUB=（ ）Ax|0x1 Bx|0 x1 Cx|x0 Dx|x1【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合 CUB，再求它与 A 的交集即可【解答】解：对于 CUB=x|x1，因此 ACUB=x|0x1，故选 B【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列2 （5 分） （2009 浙江）已知 a，b 是实数，则“a 0 且 b0”是“ a+b0
2、 且 ab0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】考虑“a0 且 b0”与“a+b0 且 ab0”的互推性【解答】解：由 a0 且 b0“a+b0 且 ab0”，反过来“a+b0 且 ab0” a0 且 b0，“a0 且 b0” “a+b0 且 ab0”，即“a0 且 b0”是“ a+b0 且 ab0”的充分必要条件，故选 C【点评】本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查3 （5 分） （2009 浙江）设复数 z=1+i（i 是虚
3、数单位） ，则 +z2=（ ）A1 i B1+i C1 i D1+i【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】把复数 z 代入表达式化简整理即可【解答】解：对于 ，故选 D【点评】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度24 （5 分） （2009 浙江）在二项式 的展开式中，含 x4 的项的系数是（ ）A10 B10 C 5 D5【考点】二项式定理菁优网版权所有【专题】二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 4 求得【解答】解：对于 ，对于 103r=4，r=2
4、，则 x4 的项的系数是 C52（ 1） 2=10故选项为 B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具5 （5 分） （2009 浙江）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过 D 点做 BC 的垂线，垂足为 E，则 DE底面 ABC，且 E 为 BC 中点，则 E 为 A 点在平面 BB1C1C
5、 上投影，则ADE 即为所求线面夹角，解三角形即可求解【解答】解：如图，取 BC 中点 E，连接 DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得 AE平面 BB1C1C，故ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角设各棱长为 1，则 AE= ，DE= ，tan ADE= ，ADE=60故选 C3【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系 （2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造 作出或找到斜线与射影所成的角；设定论证所作或找到的角为所求的角；计算 常用解三角形的方法求角；结论 点明斜线和平面所成的角的值6 （5 分） （2009 浙江）某程序框
6、图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D7【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足 S= 100 的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 11 3第四圈 是 2059 4第五圈 否最终输出结果 k=4故答案为 A4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代
7、码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7 （5 分） （2009 浙江）设向量 ， 满足：| |=3，| |=4， =0以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】直线与圆相交的性质；向量的模；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为 1 的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其
8、他的变化，能实现 4 个交点的情况，进而可得出答案【解答】解：向量 ab=0，此三角形为直角三角形，三边长分别为 3，4，5，进而可知其内切圆半径为 1，对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现故选 B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系可采用数形结合结合的方法较为直观8 （5 分） （2009 浙江）已知 a 是实数，则函数 f（x）=1+asinax 的图象不可能是（ ）A B CD【考点】正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】函数 f（x）
9、=1+asinax 的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为 ，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象【解答】解：对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为： ，|a|1，T2，而 D 不符合要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了 25对于选项 A，a1，T2，满足函数与图象的对应关系，故选 D【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键9 （5 分） （2009 浙江）过双曲线 =1（a 0，b0）的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C 若 = ，则双曲线的离心率是（ ）A B C
10、D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，进而根据 =求得 a 和 b 的关系，进而根据 c2a2=b2，求得 a 和 c 的关系，则离心率可得【解答】解：直线 l：y= x+a 与渐近线 l1：bxay=0 交于 B（ ， ） ，l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 C（ ， ） ，A （a， 0） ， =（ ， ） ， =（ ， ） ， = ， = ，b=2a，c2a2=4a2，e2= =5，e= ，故选 C【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有
11、较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用10 （5 分） （2009 浙江）定义 AB=x|xA 且 xB，若 P=1，2，3，4，Q=2，5，则QP=（ ）AP B5 C1，3，4 DQ【考点】集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【专题】集合6【分析】理解新的运算，根据新定义 AB 知道，新的集合 AB 是由所有属于 A 但不属于B 的元素组成【解答】解：QP 是由所有属于 Q 但不属于 P 的元素组成，所以 QP=5故选 B【点评】本题主要考查了集合的运算，是一道创新题，具有一定的新意要求学生对新定义的 AB 有充分的理解才能正确答二、填空题（共 7 小题，每小题
12、4 分，满分 28 分）11 （4 分） （2009 浙江）设等比数列a n的公比 ，前 n 项和为 Sn，则 = 15 【考点】等比数列的性质菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出 S4，得知 a4=a1q3，进而把 a1 和 q 代入 约分化简可得到答案【解答】解：对于 ，【点评】本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用属基础题12 （4 分） （2009 浙江）若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 18 cm 3【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】由图可知，图形由两个体积相同的长方体
13、组成，求出其中一个体积即可【解答】解：由图可知，底下的长方体底面长为 3，宽为 1，底面积为 31=3，高为 3，因此体积为 33=9；7上面的长方体底面是个正方形，边长为 3，高为 1，易知与下面的长方体体积相等，因此易得该几何体的体积为 92=18【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题13 （4 分） （2009 浙江）若实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x+3y 的最小值是 4 【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：如图即为满足不等式组 的可行域，由图
14、易得：当 x=2，y=0 时，2x+3y=4；当 x=1，y=1 时，2x+3y=5；当 x=4，y=4 时，2x+3y=20，因此，当 x=2，y=0 时，2x+3y 有最小值 4故答案为 4【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解14 （4 分） （2009 浙江）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时） 低谷月低谷电价（单8用电量（单位：千瓦时）位
15、：元/千瓦时）50 及以下的部分 0.568 50及以下的部分0.288超过 50 至 200 的部分 0.598 超过50至200的部分0.318超过 200 的部分 0.668 超过200的部分0.388若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4 元（用数字作答）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加【解答】解：高峰时间段用电的电费为 500.568+1500.598=
16、28.4+89.7=118.1 （元） ，低谷时间段用电的电费为 500.288+500.318=14.4+15.9=30.3 （元） ，本月的总电费为 118.1+30.3=148.4 （元） ，故答案为：148.4【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题15 （4 分） （2009 浙江）观察下列等式：观察下列等式：9C +C =232，C +C +C =27+23，C +C +C +C =21125，C +C +C +C +C =215+27，由以上等式推测到一个一般结论：对于 nN*，C +C +C +C = 2 4n1+（1） n22n1 【考点】
17、二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】二项式定理【分析】通过观察类比推理方法结论由二项构成，第二项前有（1） n，二项指数分别为24n1，2 2n1【解答】解：结论由二项构成，第二项前有（1） n，二项指数分别为 24n1，2 2n1，因此对于 nN*，C 4n+11+C4n+15+C4n+19+C4n+14n+1=24n1+（ 1） n22n1故答案为 24n1+（1） n22n1【点评】本题考查观察、类比、归纳的能力16 （4 分） （2009 浙江）甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 336 【考点】排
18、列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】排列组合【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于 7 个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题需要分组解决，对于 7 个台阶上每一个只站一人有 A73 种；若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 C31A72 种，根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A73+C31A72=336 种故答案为：336【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到步骤完整完成了所有步骤，恰好完成任务1017 （4 分） （2
19、009 浙江）如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F为线段 EC（端点除外）上一动点，现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC，在平面 ABD 内过点 D 作 DKAB，K 为垂足，设 AK=t，则 t 的取值范围是 （ ，1） 【考点】平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时与随着 F 点到 C点时，分别求出此两个位置的 t 值即可得到所求的答案【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中
20、点时，可得 t=1，随着 F 点到 C 点时，当 C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有 CD=2因 CBAB，CB DK，CB平面 ADB，即有 CBBD，对于 CD=2，BC=1，在直角三角形 CBD 中，得 BD= ，又 AD=1，AB=2，再由勾股定理可得BDA 是直角，因此有 ADBD再由 DKAB，可得三角形 ADB 和三角形 AKD 相似，可得 t= ，因此 t 的取值的范围是（ ， 1）故答案为（ ，1）【点评】考查空间图形的想象能力，及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力三、解答题（共 5 小题，满分 72 分）18 （14 分） （2009 浙江）在 A
21、BC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且满足= ， =3（）求ABC 的面积；（）若 b+c=6，求 a 的值【考点】二倍角的余弦；平面向量数量积的运算；余弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】 （）利用二倍角公式利用 = 求得 cosA，进而求得 sinA，进而根据求得 bc 的值，进而根据三角形面积公式求得答案（）根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c，进而根据余弦定理求得 a 的值【解答】解：（）因为 ，11又由 ，得 bccosA=3， bc=5，（）对于 bc=5，又 b+c=6，b=5，c=1 或 b=1，c=5，由余弦定理得 a2=b2+c22bcc
22、osA=20，【点评】本题主要考查了解三角形的问题涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，综合性很强19 （14 分） （2009 浙江）在 1，2，3，9，这 9 个自然数中，任取 3 个数（）求这 3 个数中，恰有一个是偶数的概率；（）记 为这三个数中两数相邻的组数， （例如：若取出的数 1、2、3，则有两组相邻的数 1、2 和 2、3，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】 （I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含
23、的所有事件是从 9 个数字中选3 个，而满足条件的事件是 3 个数恰有一个是偶数，即有一个偶数和两个奇数根据概率公式得到结果（2）随机变量 为这三个数中两数相邻的组数，则 的取值为 0，1，2，当变量为 0 时表示不包含相邻的数，结合变量对应的事件写出概率和分布列，算出期望【解答】解：（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是 C93，而满足条件的事件是 3 个数恰有一个是偶数共有 C41C52记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A， ；（II）随机变量 为这三个数中两数相邻的组数，则 的取值为 0，1，2，当变量为 0 时表示不包含相邻的数 P（=0 ）= ，P（=1）=
24、 ，P（=2 ）= 的分布列为 0 1 2p 的数学期望为 12【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大20 （14 分） （2009 浙江）如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC=16，PA=PC=10 （）设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面 BOE；（）证明：在ABO 内存在一点 M，使 FM平面 BOE，并求点 M 到 OA，OB 的距离【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间
25、的距离计算菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】由于 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，O 为 AC 的中点，AC=16，PA=PC=10 ，所以 PO、OB、OC 是两两垂直的三条直线，因此可以考虑用空间向量解决：连接 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，对于（I） ，只需证明向量 FG 与平面 BOE 的一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面的一个法向量可求，从而得证；对于（II） ，在第一问的基础上，课设点 M 的坐标，利用 FM平面
26、BOE 求出 M 的坐标，而其道 OA、OB 的距离就是点 M 横纵坐标的绝对值【解答】证明：（I）如图，连接 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 O（0，0，0） ，A（0，8，0） ，B （8，0，0） ，C（0，8，0） ，P （0，0，6） ，E（0， 4，3） ，F（4，0，3） ， （3 分）由题意得，G（0，4，0） ，因 ，因此平面 BOE 的法向量为 ， ）得 ，又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG平面 BOE （6 分）（II）设点 M 的坐标为（ x0， y0，0） ，则 ，
27、因为 FM平面 BOE，所以有 ，因此有 ，13即点 M 的坐标为 （8 分）在平面直角坐标系 xoy 中，AOB 的内部区域满足不等式组 ，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO 内存在一点 M，使 FM平面 BOE，由点 M 的坐标得点 M 到 OA，OB 的距离为 （12 分）【点评】本题考查直线与平面的平行的判定以及距离问题，建立了空间坐标系，所有问题就转化为向量的运算，使得问题简单，解决此类问题时要注意空间向量的使用21 （15 分） （2009 浙江）已知椭圆 C1： （ab0）的右顶点 A（1，0） ，过C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1（）求椭圆 C1 的方程；（
28、）设点 P 在抛物线 C2：y=x 2+h（hR ）上，C 2 在点 P 处的切线与 C1 交于点M，N当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】 （I）根据题意，求出 a，b 的值，然后得出椭圆的方程（II）设出 M， N，P 的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据判断最值即可【解答】解：（I）由题意得 ， ，所求的椭圆方程为 ，（II）不妨设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，P（t，t 2+h） ，则抛物线 C2 在点 P 处
29、的切线斜率为 y|x=t=2t，直线 MN 的方程为 y=2txt2+h，将上式代入椭圆 C1 的方程中，14得 4x2+（2txt 2+h） 24=0，即 4（1+t 2）x 24t（t 2h）x+ （ t2h） 24=0，因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以有 1=16t4+2（h+2）t 2h2+40，设线段 MN 的中点的横坐标是 x3，则 ，设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 ，由题意得 x3=x4，即有 t2+（1+h）t+1=0，其中的 2=（1+h） 240，h 1 或 h3；当 h3 时有 h+20，4 h20 ，因此不等式 1=16t4+2（h+2）t
30、 2h2+40 不成立；因此 h1，当 h=1 时代入方程 t2+（1+h）t+1=0 得 t=1，将 h=1，t= 1 代入不等式 1=16t4+2（h+2）t 2h2+40 成立，因此 h 的最小值为 1【点评】本题考查圆锥图象的综合利用，椭圆方程的应用，通过构造一元二次方程，利用根的判别式计算，属于中档题22 （15 分） （2009 浙江）已知函数 f（x）=x 3（k 2k+1）x 2+5x2，g（x）=k 2x2+kx+1，其中 kR（）设函数 p（x）=f（x）+g（x） 若 p（x）在区间（0，3）上不单调，求 k 的取值范围；（）设函数 是否存在 k，对任意给定的非零实数 x
31、1，存在惟一的非零实数 x2（x 2x1） ，使得 q（x 2）=q（x 1）？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】 （I）因 P（x）=f（x）+g（x）=x 3+（k1）x 2+（ k+5）x1，先求导数：p（x） ，因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到 p（x）=0 在（0，3）上有实数解，且无重根，再15利用分离参数的方法得出 ，最后再利用导数求出此函数的值域即可；（II）先根据题意得出当 k=0 时不合题意，因此 k0，下面讨论 k0 的情形，分类讨论：（）当 x10 时，
32、 （）当 x10 时，最后综合（） （）即可得出 k 值【解答】解析：（I）因 P（x）=f（x）+g（x）=x 3+（k1）x 2+（k+5）x1，p（x）=3x 2+2（k1）x+（k+5） ，因 p（x）在区间（0，3）上不单调，所以 p（x）=0 在（0，3）上有实数解，且无重根，由 p（x）=0 得 k（2x+1 ）=（3x 22x+5） ， ，令 t=2x+1，有 t（1，7） ，记 ，则 h（t）在（1，3上单调递减，在3，7）上单调递增，所以有 h（t）6，10） ，于是 ，得 k（5， 2，而当 k=2 时有 p（x）=0 在（0，3）上有两个相等的实根 x=1，故舍去，所以
33、 k（5，2） ；（II）当 x0 时有 q（x）=f（x）=3x 22（k 2k+1）x+5；当 x0 时有 q（x）=g（x）=2k 2x+k，因为当 k=0 时不合题意，因此 k0，下面讨论 k0 的情形，记 A=（k，+） ，B=（5，+）（）当 x10 时，q（x）在（0，+）上单调递增，所以要使 q（x 2）=q（x 1）成立，只能 x20 且 AB，因此有 k5，（）当 x10 时，q（x）在（，0）上单调递减，所以要使 q（x 2）=q（x 1）成立，只能 x20 且 AB，因此 k5，综合（ ） （）k=5；当 k=5 时 A=B，则x 10，q（x 1）B=A ，即x 20，使得 q（x 2）=q（x 1）成立，因为 q（x）在（0，+）上单调递增，所以 x2 的值是唯一的；同理，x 10，即存在唯一的非零实数 x2（x 2x1） ，要使 q（x 2）=q（x 1）成立，所以 k=5 满足题意16【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题
