1、一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（|F 1F2|）的点的轨迹（ 为常数） ） 。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之2aPF差的绝对值。 （2）2a|F 1F2|。当|MF 1| |MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支；当|MF 1| MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F 2 为端点向外的两条射线； 用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当 2a|F 1F2|时，动点轨迹不存在。2、 第 二 定 义 ： 动 点 到 一 定 点 F
2、的 距 离 与 它 到 一 条 定 直 线 l（ 准 线 ） 的 距 离 之 比 是 常 数 e(e 1)时 ， 这 个 动2ca点 的 轨 迹 是 双 曲 线 。 这 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 定 直 线 l 叫 做 双 曲 线 的 准 线 。二、双曲线的标准方程（ ，其中| |=2c）22acb1F2焦点在 x 轴上： （a0，b0）12y焦点在 y 轴上： （a0，b0）2x（ 1） 如 果 项 的 系 数 是 正 数 ， 则 焦 点 在 x 轴 上 ； 如 果 项 的 系 数 是 正 数 ， 则 焦 点 在 y 轴 上 。 a 不 一 定 大2 2y于 b。 判 定
3、焦 点 在 哪 条 坐 标 轴 上 ， 不 像 椭 圆 似 的 比 较 x2、 y2 的 分 母 的 大 小 ， 而 是 x2、 y2 的 系数 的 符 号 ， 焦 点 在 系 数 正 的 那 条 轴 上（2）与双曲线 共焦点的双曲线系方程是12byax 122kbyax（3）双曲线方程也可设为：21(0)xymn三、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在 轴）x)0,(12bayx 标准方程（焦点在 轴）y)0,(12baxy第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）1F2 12F的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMF2121第二定义：
4、平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ，当 时，Fle1动点的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 （ ）叫做双曲线的离心率。e1定义范围 ，xayR，yaxR对称轴 轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为2ab对称中心 原点 (0,)O1Fc2(, 1(0,)Fc2(,)焦点坐标焦点在实轴上， ；焦距：2ab2顶点坐标 （ ,0） ( ,0)a(0, ,) (0， )axyP12xyP 1F2xyP 1F2PxyP1F2FP离心率 1)， ， e 越大则双曲线开口的开阔度越大eac(22abx2cay2准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离
5、： 2顶点到准线的距离顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为1A21l2ca2顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为 焦点到准线的距离焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为1F21l22bc焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为 a( )，和xaby实虚 2,bca2, ( )yx实虚渐近线方程将右边的常数设为 0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程（ ）kbyax2（ ）kbxay20直线和双曲线的位置双曲线 与直线 的位置关系：12ykx利用 转化为一元二次方程用判别式确定。2xyabk二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长 2211()4ABkxx通径： 与
6、椭圆一样21bya过双曲线上一点的切线或利用导数20bax 或利用导数021yxab四、双曲线的参数方程：椭圆为sectanxybcosinxayb五、 弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 A（x 1,y1）B （x 2,y2）两点，则k 为直线斜率2212121221122=+k4k+4ABxxyy提醒解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点，则弦长 。abAB2|3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦
7、半径公式双曲线 （a0，b0）上有一动点12yx 0(,)Mxy左焦半径：r=ex+a右焦半径：r=ex-a当 在左支上时 ,0(,)Mxy10|Fexa20|Fexa当 在右支上时 ,|M|左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） aexMF021 构成满足 aMF21 注：焦半径公式是关于 的一次函数，具有单调性，当 在左支端点时 ，0(,)xy1|MFca，当 在左支端点时 ，2|Fca0(,)xy1|ca2|ca七、等轴双曲线（a0，b0）当 时称双曲线为等轴双曲线12yxab1。 ；2。
8、离心率 ；e yxMF12 yx1F23。两渐近线互相垂直，分别为 y= ；x4。等轴双曲线的方程 ， ； 2yx0八、共轭双曲线以 已 知 双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 ， 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 叫 做 原 双 曲 线 的 共 轭 双 曲 线 ， 通 常 称 它 们互 为 共 轭 双 曲 线 。2byax与 2byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02byax.九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、 点 与 双 曲 线点 在 双 曲 线 的 内 部 代 值 验 证 ， 如0(,)Pxy21(0,)xyab201xyab21xy点 在 双 曲 线 的
9、 外 部0(,)2(,)20点 在 双 曲 线 上0(,)Pxy21(0,)xyab20-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线 ，双曲线 联立解得:lykxm)0,(12bayx2)(2aab（1） 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ；0bk， ，或 k 不存在时，直线与双曲线没有交点；ka（2） 时，m存在时，若 ， ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；02abab相交若 ，2k2222()4()()mkkamb224()ambak时， ，直线与双曲线相交于两点；00b时， ，直线与双曲线相离，没有交点；22k时 ， 直线与双曲线有一个交点；相0220
10、mbak2mba切不存在， 时，直线与双曲线没有交点；ka直线与双曲线相交于两点；m或十、双曲线与渐近线的关系1、 若 双 曲 线 方 程 为 渐 近 线 方 程 ：21(0,)xyab20xyabxab2、 若 双 曲 线 方 程 为 （ a 0， b 0） 渐 近 线 方 程 ： 22y3、 若 渐 近 线 方 程 为 双 曲 线 可 设 为 , 。xbyy2byax04、 若 双 曲 线 与 有 公 共 渐 近 线 ， 则 双 曲 线 的 方 程 可 设 为 （ ， 焦 点 在 x 轴 上 ，12a 2， 焦 点 在 y 轴 上 ）0十一、双曲线与切线方程1、 双 曲 线 上 一 点 处
11、 的 切 线 方 程 是 。21(0,)xab0(,)Pxy021xyab2、 过 双 曲 线 外 一 点 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 。2(,)y0(,) 021xyab3、 双 曲 线 与 直 线 相 切 的 条 件 是 。21(0,)xabAxByC22ABc椭 圆 与 双 曲 线 共 同 点 归 纳十二、顶点连线斜率双 曲 线 一 点 与 两 顶 点 连 线 的 斜 率 之 积 为 K 时 得 到 不 同 的 曲 线 。椭 圆 参 照 选 修 2-1P41， 双 曲 线 参 照 选 修 2-1P55。1、 A、 B 两 点 在 X 轴 上 时2、 A、 B 两
12、点 在 Y 轴 上 时十三、面积公式双曲线上一点 P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角形，12cotPFSb面积公式推导：解：在 中，设 ， ， ，由余弦定理得1212F1Pr2Fr12cosP21()rc图 3F1 xyOPF22211()4rrc221()4arc21()ar21br 2121cos即 ，212br = 1221sinsincoPFbSr2si1cob2tb椭圆上一点与椭圆的两个焦点 构成的三角形 称之为椭圆焦点三角形12,F12PF12tanPFSb面积公式推导解：在 中，设 ， ， ，由余弦定理得1212P1r2r12cosF21()rc211()
13、4rrc21()4ar2214()ar21b 22cosr即 ，12br = 1221sinsincoPFbSr2si1cob2tanb十四、(双曲线中点弦的斜率公式)：设 为双曲线 弦 （ 不平行 轴）的中点，则有 0,)Mxy21xyabABy2ABOMbka图 1F1 xyO P F2证明：设 ， ，则有 ， 两式相减得：1(,)Axy2(,)By12ABykx212yab整理得： ，即 ，因为 是弦22110ab221bxa2121()yyxxa0(,)Mxy的中点，所以 ，所以AB012OMyk2ABOMbk椭圆中线弦斜率公式2ABba双曲线基础题1 双曲线 2x2y 28 的实轴长
14、是( )A2 B2 C4 D42 22 设集合 PError!，Q (x，y)|x2y10，记 APQ ，则集合 A 中元素的个数是( )A3 B1 C2 D43 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为( )x216 y29A2 B3 C4 D54双曲线 1 的共轭双曲线的离心率是_y27 x29能 力 提 升5 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2) ，则它的离心率为( )A. B. C. D.6 562 526 设双曲线 1( a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为( )x2a2 y29A4 B3 C2 D17 从 1(其中 m， n 1,2,3)所表示的圆
15、锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线) 方程中任取一x2m y2n个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( )A. B. C. D.12 47 23 348双曲线 1 的渐近线与圆(x3) 2y 2r 2(r0)相切，则 r( )y26 x23A. B3 C4 D66图 K5119 如图 K511，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD 且 AB2AD，设DAB ， ，以(0，2)A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，则e1e2_.10 已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的x
16、2a2 y2b2右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_11 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 y x，它的一个焦点为 F(6,0)，则x2a2 y2b2 3双曲线的方程为_12(13 分) 双曲线 C 与椭圆 1 有相同焦点，且经过点( ，4)x227 y236 15(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 F1，F 2 是双曲线 C 的两个焦点，点 P 在双曲线 C 上，且F 1PF2120，求F 1PF2 的面积难 点 突 破13(1)(6 分) 已知双曲线 1 和椭圆 1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以x2a2 y2b2 x2m2 y2b2a，b，m 为边
17、长的三角形是( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形(2)(6 分 ) 已知 F1、F 2 为双曲线 C：x 2y 2 1 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且F 1PF260，则|PF 1|PF2|( )A2 B4 C6 D8双曲线综合训练一、选择题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分）1动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（ ）P)0,1(M),3(N2PA双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 2设双曲线的半焦距为 ，两条准线间的距离为 ，且 ，那么双曲线的离心率 等于（ ）cdceA B C D 33过双曲线的一个焦点
18、 作垂直于实轴的弦 ， 是另一焦点，若 ，则双曲线的离2FPQ1F21QPF心率 等于（ ）eA B C D12124双曲线 的虚轴长是 实轴长的 2 倍，则 （ ）2mxymA B C D445双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为该双曲线在第一象限的点，)0,(12baPF1F2 面积为 1，且 则该双曲线的方程为（ ）,tan,2tn121PFPA B 352yx 1352yxC D1226若 、 为双曲线 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 在双曲线的左支上，点 在1F22byax PM双曲线的右准线上 ，且满足 ，则该双曲线的离心率为（ ）)(,11OMFPMF0(A B
19、 C D32327如果方程 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）2xypqA B 2121xyqpC D 2xypq2二、填空题：（本大题共 3 小题， 每小题 5 分，满分 15 分）8双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_。20xy19若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 。214xykk10若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点坐标是_2mxy23三、解答题：（本 大题共 2 小题，满分 30 分）11. （本小题满分 10 分）双曲线与椭圆有共同的焦 点 ，点 是双曲线的渐近12(0,5)(,F(3,4)P线与椭圆的一个交点，求渐近线与 椭圆的方程。12
20、 （本小题满分 20 分）已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） 。1F2F（1）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；1F2（2）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称 点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点P121F2的双曲线的标准方程 .【基础热身】1C 解析 双曲线方程可化为 1，所以 a24，得 a2，所以 2a4.故实轴长为 4.x24 y282B 解析 由于直线 x2y10 与双曲线 y 21 的渐近线 y x 平行，所以直线与双曲线x24 12只有一个交点，所以集合 A 中只有一个元素故选 B.3B 解析 双曲线 1 的一个焦点是(5,0)，一条渐近
21、线是 3x4y 0，由点到直线的距离x216 y29公式可得 d 3. 故选 B.|35 0|54. 解析 双曲线 1 的共轭双曲线是 1，所以 a3，b ，所以 c4，所以离43 y27 x29 x29 y27 7心率 e .43【能力提升】5D 解析 设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，所以其渐近线方程为 y x，因为点x2a2 y2b2 ba(4，2)在渐近线上，所以 .根据 c2a 2b 2，可得 ，解得 e2 ，所以 e ，故选 D.ba 12 c2 a2a2 14 54 526C 解析 根据双曲线 1 的渐近线方程得：y x，即 ay3x0.又已知双曲线的渐近x2a2 y29
22、3a线方程为 3x2y0 且 a0，所以有 a2，故选 C.7B 解析 若方程表示圆锥曲线，则数组( m，n)只有 7 种：(2，1)，(3 ，1)，(1，1) ，(2,2)，(3,3)，(2,3) ，(3,2)，其中后 4 种对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，所以概率为 P .故选47B.8A 解析 双曲线的渐近线为 y x，圆心为(3,0) ，所以半径 r .故选 A.2| 23 0|3 691 解析 作 DMAB 于 M，连接 BD，设 AB2，则 DMsin，在 RtBMD 中，由勾股定理得 BD ，所以5 4cose1 ，|AB|BD| |AD| 25 4cos 1e2 ，所以
23、 e1e21.|CD|AC| |AD| 2 2cos5 4cos 1102，) 解析 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是 60，90)，所以 tan60 ba， 即 b23a 2，c 24a 2，所以 e2.311. 1 解析 ，即 b a，而 c6，所以 b23a 23(36b 2)，得 b227，a 29，x29 y227 ba 3 3所以双曲线的方程为 1.x29 y22712解答 (1)椭圆的焦点为 F1(0，3) ，F 2(0,3)设双曲线的方程为 1，则 a2b 23 29.y2a2 x2b2又双曲线经过点( ，4)，所以 1，1516a2 15b2解得 a24，b 25 或
24、 a236，b 227(舍去) ，所以所求双曲线 C 的方程为 1.y24 x25(2)由双曲线 C 的方程，知 a2，b ，c3.5设|PF 1| m，| PF2|n，则|mn|2a4，平方得 m22mnn 216.在F 1PF2 中，由余弦定理得(2c) 2m 2n 22mn cos120m 2n 2mn36.由得 mn ，203所以F 1PF2 的面积为 S mnsin120 .12 533【难点突破】13(1)B (2)B 解析 (1)依题意有 1，化简整理得 a2b 2m 2，故选 B.a2 b2a m2 b2m(2)在F 1PF2 中，由余弦定理得，cos60 ，|PF1|2 |P
25、F2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ，|PF1| |PF2|2 |F1F2|2 2|PF1|PF2|2|PF1|PF2| 1 1.4a2 4c22|PF1|PF2| 4b22|PF1|PF2|因为 b1，所以|PF 1|PF2|4.故选 B.一、选择题 1D ， 在线段 的延长线上 2,PMN而 PMN2C 22,acceea3C 是等腰直角三角形，12PF211,2PFcPFc12,cacae4A.5 A【思路分析】：设 ，则 ，),(0yxp 1,2,1000 cyxc32,65,2300c【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算6 C【思路分析】：由 知四边形 是平行四边形，又PM
26、OF1OPF1 1(OFP知 平分 ，即 是菱形，设 ，则 . )OMP11c1cF1又 ， ，由双曲线的第二定义知： ,且 ，aF212ca2 12eae，故选 .eC【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.7D由题意知, .若 ,则双曲线的焦点在 轴上,而在选择支 A,C 中,椭 圆的焦点都在0pq0qy轴上,而选择支 B,D 不表示椭圆;x若 ,选择支 A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方 ,双曲线的焦点在 轴 上, 2cpqx选择支 D 的方程符合题意 .二、填空题8 设双曲线的方程为 ，焦距 2105xy24,(0)xy210,5c当 时， ；02
27、1,5,24当 时，021,()25,044yx9 . (,4)(1,)()0,(),14kkk或10 渐近线方程为 ，得 ，且焦点在 轴上.7,02myx3,7cx三、解答题11解：由共同的焦点 ，可设椭 圆方程为 ；12(,5)(0,F215ya双曲线方程为 ，点 在椭圆上，22yxb(3,4)P22169,40双曲线的过点 的渐近线为 ，即(3,4)P25byx23,165b所以椭圆方程为 ；双曲线方程为2105yx16912 （1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 。2axby)0(6c， ，|221PFa 512 a53，故所求椭圆的标准方程 为 + ；93645cb 42x19y（2）点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0）关于直线 yx 的对称点分别为：12F、 （0，-6） 、 （0，6）),(设所求双曲线的标准方程为 - ，由题意知半焦距 ，21axby)0,(1b61c， ，|2211Fa 542a52，故所求双曲线的标准方程为 - . 603211cb 02y16x
