1、辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学 2018 届高三上学期第一次联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合,则故选2. “ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】复数 （ ）为纯虚数，则 所以“ ”是“复数 （ ）为纯虚数”的 充要条件。本题选择 A 选项.3. 已知 是第二象限角，且 ，则 的值为（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 是第二象限角，且 ，所以考点：两角和的正切公式4. 函数 的图象（ ）A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称【答案】B【解析】由 为偶函数可得. 函数 的图象关于 y 轴对称,选 B.5. 某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星” ，期中考试之前一周“迟到之星”任选揭晓之前，小马说：“两个人应该是在小赵、小宋和小谭之中产生” ，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋” ，小宋说：“小马、小谭二人有且仅有一人是迟到之星” ，小谭说：“小赵说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（
3、）A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋【答案】A【解析】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话；小谭说：“小赵说的对” ，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭，故选 A.6. 已知函数 （ 为常数， ）的图像关于直线 对称，则函数的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点
4、 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】C【解析】因为函数 （ 为常数， ）的图像关于直线 对称，所以 ，可得 ， ，函数 的对称轴方程为，当 时，对称轴为 ，数 的图象关于关于直线 对称,故选 C.7. 设 是定义在 上的奇函数，且其图象关于 对称，当 时，则 的值为（ ）A. -1, B. 0 C. 1 D. 不能确定【答案】C【解析】定义在 上的奇函数 的图象是关于直线 对称，,即故函数 的周期为则故选8. 不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】B【解析】 不等式 的解集为 ,的两根为 ， ，且 ，即 ,解得则不等式可化为解得故
5、选9. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意 可得：, ,故答案选点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。10. 已知 ，则 的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】D【解析】因 ，故，又因为，所以 ，当且仅当 ，即 取等号，应选答案 D。点睛：解答本题的关键是变形 ，也是解答这个问题的难点所在。通过这一巧妙变形从而将原式化为 ，然后巧妙运用分组组合，借助基本不等式求出其最小值为 。11. 直线 分别为与半径为 1 的圆
6、 相切于点 ， ，若点 在圆 的内部（不包括边界） ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，由切线长定理知 ，又，因此 ，解得点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量 ，再根据向量的平方运算，求出 ，令其小于半径即可求出12. 函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则 的极值情况为（ ）A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】将 代入可得：则 =令 则 ，当 时， ，当时， ，故当 时， 取最大值 0，故 恒成立，故恒成立，故既无极大值也无
7、极小值，故选点睛：根据已知条件要先构造出 的解析式的形式，再根据 求出 ，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设 满足不等式组 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：如下图，画出可行域， 表示可行域内的点与定点 连线的斜率，所以如图可得直线 为斜率的最小值， ,所以 ,所以的最小值是： .考点：线性规划【方法点睛】线性规划中求最值的几种题型包含（1） 的最值，可转化为的形式，斜率 当 时， ，那么可将 的最值问题转化为直线的纵截距的最值问题
8、；（2） 表示可行域内的点与点 间距离平方的最值；（3） 表示可行域内的点与点 连线斜率的最值；（4）可先变形为 ,而 表示可行域内的点到直线 距离的最值.14. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】在 中，由 ，则化简得 ，由余弦定理得即 ，当且仅当 时成立 则 的最小值为15. 已知三个向量 共面，且均为单位向量， ，则 的取值范围为_.【答案】【解析】三个向量 共面，且均为单位向量， ,可设 ,则它表示单位圆上的点到定点 的距离，其最大值是最小值是的取值范围是点睛：由本题题意均为单位向量， ，采用建立平面直角坐标系，给出点坐标，用点坐标来表示向量后给出其
9、几何意义，转化为点点距，继而求出范围。本题化归转化的思想，将向量题目转化为平面几何问题，借助距离问题来求范围。16. 函数 ， ，若 使得 ，则_.【答案】【解析】令 ，令，故 在 上是减函数，在 上是增函数，当 时 有最小值 ，而 当且仅当 ，即故 ，当且仅当等号成立时成立，故即点睛：根据题目意思给出 的解析式，运用导数求出 的最小值，运用基本不等式求出 的最小值，从而说明 ，由等号成立的条件计算出三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题 ：指数函数 在 上单调递减，命题 ：关于 的方程的两个实根均大于 3.若 或 为真，
10、且 为假，求实数 的取值范围.【答案】 或 .【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求出命题 p 为真命题时 a 的范围，利用二次方程的实根分布求出命题 q 为真命题时 a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或 q 为真，p 且 q 为假”转化为 p， q 的真假，列出不等式组解得试题解析：若 p 真，则 在 R 上单调递减，02a-61，3a 若 q 真，令 f（x）=x 2-3ax+2a2+1，则应满足，又由已知“ 或 ”为真， “ 且 ”为假；应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真若 p 真 q 假，则 ， a 无解若 p 假 q 真，则 综上知实数 的取值范
11、围为 .考点：复合命题的真假与简单命题真假的关系；二次方程实根分布18. 已知函数 将 的图象向右平移两个单位，得到函数的图象.（1）求函数 的解析式；（2）若方程 在 上有且仅有一个实根，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)借助平移的知识可以直接求出函数解析式（2）先换元 将问题转化为 有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解。法 1：设 ，对称轴 ，则 .或 由得 ，即 ， .由得 无解，则 .法 2：由 ， ，得 ， ，设 ，则 ，.记 ，则 在 上是单调函数，因为故要使题设成立，只须.即 .从而 .点睛：在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法
12、，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论。19. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且.（1）若 ，求 的面积；（2）记边 的中点为 ，求 的最大值.【答案】 （1） 或 （2）【解析】试题分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出 ，将得出的等式代入计算求出的值，即可确定出角 。由 ,又 ,即可求出 的最大值。解析：(1) 由余弦定理可得：由（1）可得， 且当 且 ， ， 的面积 ，当 时， 为等边三角形， ；（2）由于 边的中点为 ，故因为 且 ，故由余弦定理知， ，于是 ，而故，最大值为 （当且仅当 时取等）.点睛：在遇到中点时可以考虑采用向
13、量的方法，如 那么这一步骤将会把题目转化出来，然后再根据题目条件求解。20. 已知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；凸四边形 中， 为 的内角 的对边，且满足 .（）证明： ；（）若 ，设 . ，求四边形 面积的最大值.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析: （1）由题意知 ，解得 ，代入已知条件化简可得:,再由正弦定理可得 ；(2)由条件和(1)的结论可得为等边三角形，可得 ,化简为，由 求得最大值.试题解析:（1）由题意知： ，解得： ， ， ， ， . .（2）因为 ， ，所以 ，所以 为等边三角形， ， ，当且仅当 ，即 时取最大值， 的最大值为 .21. 已知
14、函数 且 .（）若 为定义域上增函数，求实数的取值范围；（）令 ，设函数 ，且 ，求证：.【答案】() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()利用导函数研究函数的单调性，将原问题转化为恒成立的问题，讨论可得实数 的取值范围是 ；()由题意结合函数的单调性讨论函数 g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.试题解析：（） ，由 为增函数可得， 恒成立，则由，设 ，则，若由 和 可知在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，当 时，易知 ，当 时，则 ，这与 矛盾，从而不能使 恒成立，所以 （） ，因为，所以 ，所以，所以 ，令 ， ， ， 在 上增，在 上减，所以 ，整理得，
15、解得 或 （舍） ，所以 得证请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 的参数方程为（ 为参数） ，直线 与曲线 相交于 两点.（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1）直角坐标方程为 ，普通方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据 将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程 ：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程 （2）根据直线参数方程几何意义将条件 转化为 ，即，再联立直线参数方程与抛物线方程
16、，利用韦达定理代入化简得试题解析：（1）由 得： ，曲线 的直角坐标方程为： ，由 消去 得： ，直线 的普通方程为：（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 ，得到设 对应的参数分别为 ，则 是方程的两个解，由韦达定理得： ，因为 ，所以 ，解得 考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 对任意 恒成立，求 的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）写出分段函数 ，再分段讨论解不等式。（2）即求 f(x)的最小值，由（1）中分段函数可知最小值为 ，即 ，由于 ，所以，再由重要不等式 ，可解。试题解析：（1） ， 或或 解得 或的解集为 或 .（2）由图知 . ，即 ，当且仅当 时等号成立，解得 ，当且仅当 时等号成立故 的最小值为 .
