1、12014 年山东省普通高等教育专升本考试2014 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013 年 5 月 17 日星期五 曲天尧 编写2一、求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 =46)(li1)()(li 2121 xxx2分子分母同除求极限例 2：求极限 13lim2x【说明】 型且分子分母都以多
2、项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 3li13li12xxx【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；(2) nmbaxbanmmnnx 0li13分子(母) 有理化求极限例 3：求极限 )13(li22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(lim)(lim222222 xxx013li22xx例 4：求极限 30sintali xx3【解】 xxxxx sin1talimsin1talim3030 4li2sitalistan1li 30300 xxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4应用两个重要
3、极限求极限两个重要极限是 和 ，第一1sinlm0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xx1li【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑指数部分。X1【解】 221lim12li1lim exxx xxx 例 6：(1) ；(2)已知 ，求 。x2li 8lixaa5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的
4、方法中应作为首选。例 7：求极限 0ln()im1cosx【解】 .02llix例 8：求极限 x30tansil4【解】 xx30tansilm 613lim31coslisinl 2102030 xxxxx6用洛必达法则求极限例 9：求极限 220 )sin1l(coslnixx【说明】 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】 220 )sin1l(coslnimxxxx2sin1cosilim203si2li 20 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例 10：设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf【解】 由于 ,于是00 )()(xx
5、xut ufdfdf=xxx ftttf 000 )(li)(lim=xx xfduft0)()(li xxfduft0)()(lim= =)()(lim0xfduftxx.21)(f7用对数恒等式求 极限 )(lixg例 11：极限 xx20)1ln(i【解】 = =xx20)l(im)1ln(20lixxe.2)1ln(2im)1ln(2lim00 eeexxx 5【注】对于 型未定式 的极限，也可用公式1)(limxgf=)(lixgf )(1li(fe因为 )1(ln)(lim)(lnlim)(li xfgxfgxgf )(1lim(xgfe例 12：求极限 .3012cosli1x【
6、解 1】 原式2cosln30imxxe20cosln3ixx20lcoslix（ ） 01sincoimxx（ ）1nl 6【解 2】 原式2cosln301imxxe20cosl3ixx20slix（ ） 20cos1lim36x8利用 Taylor 公式求极限 例 13 求极限 .) 0( ,2lim0axax【解】 ,) (ln2l12ln xeaax ;) (lln22xaxx ). (l22ax6.axaxaxx 22020 ln) (lnimli 例 14 求极限 01li(cot)x.【解】 001sincoslitlxxx3230()()!limxx301()()12!lix
7、.9数列极限转化成函数极限求解例 15：极限21sinlmn【说明】这是 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限 61sin101sin222 limli1sinl eeex yyxxx所以， 612sinlmen10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例 16：极限 222 11limnnn 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 看成0,1定积分。)(xf710)(21l
8、imdxfnffnfn【解】原式 222111li nnn2l102dx例 17：极限 nnn 222 1lim【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成 的形式，nfffn2lim因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】 nnn 222 11lim因为 1122222 n又 nn2li 1lim2所以 nn 2221li 11单调有界数列的极限问题例 18：设数列 满足nx110,si(,)nnxx（）证明 存在，并求该极限；lim（）计算 .21linxn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极
9、限的存在. 8【详解】 （）因为 ，则 .10x210sinx可推得 ，则数列 有界.1sin,x x于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列nn0sinx时 ， 1nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 存在.nx limnx设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即limnl1sinnx s0l.0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，2211sinlilmnnxxn1(使用了洛必达法则)61sin01sin00 32221 llisilm eexxxxxx故 .22116ililnnn 9二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广
10、义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如（其中 ） ； ； ； 等。xkd2sin110kdxsinxe2dxln1这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法
11、分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1. 不定积分的概念定义：在某区间 I 上的函数 ，若存在原函数，则称 为可积函数，并将)(xf )(xf的全体原函数记为)(xf,dxf)(称它是函数 在区间 I 内的不定积分，其中 为积分符号， 称为被积函)(xf )(xf数， 称为积分变量。若 为 的原函数，则：)(xF)(f= +C(C 为积分常数) 。dx(F在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：( ) 和 dxdxfdxf)(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性
12、质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：10完全抵消。d抵消后差一常数。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即： =dxgxf)()( 。dxf)(dxg)(3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：= ( 0) 。kf)(kf)k在这里，给出两个重要定理：(1)导数为 0 的函数是常函数。(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2. 直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非
13、常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法) 。下面先给出基本求导公式：(1) (2) kx)( xx1)(3) (4) 1)(ln 21)(arctn(5) (6) xx21)(arcsiaxaln)(log(7) (8) exx)( cssin(9) (10) sinco xxe)(ta2(11) 。xxc)(t2根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：11(1) (2) )(是 常 数kCxkd )1(1Cxd(3) (4) xln xxarctn12(5) (6) Cxdxarcsin12 Cadxxln(7) (
14、8) ex xxsico(9) (10) Cdcossin Cdtanse2(11) 。xxtc2下面举例子加以说明：例 2.1： 求 dxx)143(2解 原式= 2= dxxdx43= )()2()( 31CC= xx3注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。例 2.2： 求 dx12解 原式= =x)(212xd= Carctn注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加 1 减 1”法，相当于是将多项式拆分成12多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到
15、时具体讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。3. 第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如xdcossin2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分 用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为f)(，)(xgx作变量代换 ，并注意到 ，则可将关于变量 的积)(u)(dx分转化为关于 的积分，于是有 .)()()( ugxxgdxf 如果 可以求出，不定积分 的计算问题就解决了，这
16、就是第一ug)( df)(类换元法(凑微分法)。注：上述公式中，第一个等号表示换元 ，最后一个等号表示回代ux)(.)(xu下面具体举例题加以讨论例 3.1：求 .dx)12(0解 原式= dx)12(0= )()(2110xuCdu1210 12xC)(1对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。13例 3.2：求 .)(25812xdx解 原式 )(9)4(2 )(1)34(122 xdx1)3x(12dC4arctn1例 3.3：求 xd21解 )1(2)1(2 xx12ddxCxx1lnlx1ln2在这里做一个小结，当遇到形如： 的不定积分，可分为以下 3cbxad2中
17、情况：的：cbxa2 大于 0 时。可将原式化为 ，)(21xx其中，x 1、x 2 为 的两个解，则原不定积分为：02c)(21xd14)()()(1212 xdxdxCxx2112ln)( 等于 0 时。可利用完全平方公式，然后可化成 。然后根据)()(2kxdk基本微分公式(2)便可求解。 小于 0 时。形如例 4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。例 3.4： 求 xdsec解 原式 xdxsin1osos 22)in1)(i(d)si()si(21xdxCxsin1l该题也可利用三角函数之间的关系求解：原式 dxxtansec2)tan(sect1.Cxans
18、ecln虽然两种解法的结果不同，但经验证均为 的原函数，这也就体现了不定积分的sec解法以及结果的不唯一性。例 3.5：求 .xdcos215解 xdcos2 )2cos(212cos1xddxx)(s4xC2sin例 3.6：求 .xdsec6解 6xdsec)s2(2)(tan)tan21(xdx)(t)tant1(42Cxxxt51t3tan注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。例 3.7：求 .dxx)1(02解 原式 )(102dxxx)
19、1()1( 09xxx)()(2109 )1()1()1()1( 09898 xdxxx16Cxxx )1(9)1(49)1(97 9897注：这里也就是类似例 2 所说的方法，此处是“减 1 加 1”法。4. 第二类换元法如果不定积分 用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量dxf)(替换 后，所得到的关于新积分变量 的不定积分)(txtdttf)(可以求得，则可解决 的计算问题，这就是所谓的第二类换元 (积分)法。xf设 是单调、可导函数，且 ，又设 具有)(tx0)(t )ttf原函数 ，则F，dxf)(dttf)(CtF)( CxF)(其中 是 的反函数。)(t注：由此可见，
20、第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例 4.1：求不定积分 .)0(2adxa解 令 ，则 ， ，所以txsintcos)2,(da2 dtatcs dtacos12Ctta)2in1(2 Ctt)in(为将变量 还原回原来的积分变量 ，由 作直角三角形，可知t xtasi，代入上式，得axt2cosa xa2xt17dxa2 Cxaxa222rcsin注：对本题，若令 ，同样可计算。to例 4.2：求不定积分 .)0(12adx解 令 ，则 ， ，所以taxntsec)2,(dx21 tdtdat secs12Ctt1neclnax2l例 4.3：求不定积分 .)0
21、(12dax解 令 ，则 ， ，所以taxsectdtansec)2,0(tdx21 tttasecnCtt1seclnax2l注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有 时，可令 ， ；如果被积a2tsin)2,(函数中含有 ，可令 ， ；如果被积函数中含x2txa),2(18有 ；可令 ， .ax2taxsec)2,0(例 4.4：求不定积分 edxx解 令 ，则 ，所以， 。)0(tetx txlntdxedxdtt1dt21Ctarcn.ex例 4.5：求不定积分 .xd23解 (变形).xd2321令 ， .)0(2tt 322tx
22、tddx32原式 )3(12tdtdt31C21关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。5. 分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如、 等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法dxedxcos分部积分法.设函数 和 具有连续导数，则 移项得到)(u)(v udvuvd)(19，所以有vduudv)(，vdu或 .xv上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分化成 的形式，使它更容易计算 .所采用的主要方法就是凑微分法，例如，dxf)
23、(uv CexCexdexe xxxex )1(利用分部积分法计算不定积分，选择好 u,v 非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。例 5.1：求不定积分 .dxcos解 令 ， ，则xuvin Cxxdxd cossinsissicos有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。例 5.2：求不定积分 .dex2解 令 和 ，则xu2dv.xe dxeedx2对后面的不定积分再用分部积分法，xe Cexex(运算熟练后，式子中不再指出 u 和 v 了)，代入前式即得.dxe2 exx)2(2注：若被积函数是幂函数(指数为正整数 )与指数函数或正 (余
24、)弦函数的乘积，可设幂函数为 u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次( 幂指相碰幂为 u)。20例 5.3：求不定积分 .xdarctn解 令 ， ,则xuarctn2dxrt )(arctnarctn22 xdxxx)1(2rt22Cx)arctn(arctn注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为 u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失( 幂对角(反三角函数) ，对角 u).例 5.4：求不定积分 .dxexsin解 (取三角函数为 u)dexsinxi)(sinsi
25、deexxxxcoin(再取三角函数为 u)edexxssi)cosco(inxxxx deexx in)s(si解得 dxexsinCxx )cos(sin221注：若被积函数是指数函数与正(余) 弦函数的乘积时，u,dv 可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的 u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分(指正余，随意选).下面将分部积分法关于 u,dv 的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：分类 不定积分类型 和 的选择uIIIIIIxdpnsi)(codxepn)(lxnarcsi)(dpoxnarct)(xdesicoxpnsi),(coxnepu),(ln)
26、(,arcsixopun)(,arctx或xeu,sinxuxsin,或coco6. 结论上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。 曲天尧2013 年 5 月 17 日于济22南山东财经大学（燕山校区）
