1、广东省茂名市实验中学 2013 届高三数学文周测 2一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 0,2A， 2,1B，则集合 ()ABA B C 1,0 D 2,102. i为虚数单位，则复数 i()的虚部为A B C D 3. 为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在 7078kg 的人数为A240 B160 C80 D604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A 1xy B y
2、为 无 理 数为 有 理 数d,0)(C 321xy D 2sin3yx 5. tanA. (0,) B. 3(,) C. (1,) D. 3(,0)6 若对任意正数 x，均有 2ax，则实数 a的取值范围是A. 1, B. (,) C. x D. 1x7曲线 ()2y在 0点处的切线方程是 A. lnx B. ln20xy C. 1y D. 178率率率kg率0.90.70.40.20.174706625458第 3 题图8已知命题 p：“ 对任意 ,abN， 都有 lg()lgab”；命题 q：“ 空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”则A. 命题 “ q”为真命题
3、B. 命题“ pq”为假命题 C. 命题“ ()”为真命题 D. 命题“ ()”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为 2cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰） ，俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心） ，则该零件的体积是A 43 3 B 83 3cmC c D 20 10. 线 段 B是 圆 21:6xy的一条直径，离心率为 5的双 曲 线 2C以 ,AB 为 焦 点 若 P是 圆 与 双 曲 线 2C的 一 个 公 共 点 ， 则 PABA. 2 B. 4 C. 43 D. 62二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，
4、满分 20 分（一）必做题：第 11、12 、13 题为必做题11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少要经过_道加工和检验程序，导致废品的产生有_种不同的情形12. 已知递增的等比数列 na中,2837,2a则 130 . 13. 无限循环小数可以化为有理数，如 135.,0.,.1,93 ，请你归纳出 0.17 （表示成最简分数 ,N)mn（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 :coslt（常数 0)t）与曲线第 11 题图PDCBA第 15 题图第 9 题图1 cm1 cm2 cm2 cm:2sinC相切，则
5、 t 15 （几何证明选讲选做题）如图， AB是半圆的直径，弦 A和弦 BD相交于点 P，且 3DC，则siP三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 为锐角,记角 ,ABC所对的边分别为 ,.abc设向量(cos,in)m(cosin)且 m与 的夹角为 3（1 ）求 的值及角 的大小；（2 ）若 7,3a，求 AB的面积 S17 （本小题满分 12 分）设函数 cbxf2)(，其中 ,是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件 A “ 15且 (0)3f”发生的概率.(1) 若随机数 ,4；(2)
6、已知随机函数 Rand产生的随机数的范围为 10x, bc是算法语句4and()b和 ()c的执行结果(注: 符号 “”表示“ 乘号”)18 （本小题满分 14 分）如图，四棱柱 1ABCD的底面 ABCD是平行四边形， ,EF分别在棱1,上，且 FE（1 ）求证： 1；（2 ）若 1平面 ，四边形 1F是边长为 6的正方形，且 1B，2DF，求线段 1C的长, 并证明： 1.ACE19 （本小题满分 14 分）已知二次函数 fx的最小值为 4,且关于 x的不等式 0fx的解集为13,Rx,（1 ）求函数 fx的解析式；（2 ）求函数 ()4lngx的零点个数.20 （本小题满分 14 分）如
7、图， ,MN是抛物线 21:4Cxy上的两动点（ ,MN异于原点 O） ，且 MN的角平分线垂直于 y轴，直线 N与 轴， 轴分别相交于 ,AB.(1) 求实数 ,的值，使得 OB； (2）若中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 2C经过,AM. 求椭圆 2C焦距的最大值及此时 的方程.第 20 题图NMA OBC 1xyC2第 18 题图A1A BCDC1 B1D1FE21 （本小题满分 14 分）定义数列 na： 12,a，且对任意正整数 n，有12()()nn .（1 ）求数列 n的通项公式与前 项和 nS； （2 ）问是否存在正整数 ,m，使得 21？若存在，则求出所有的正整数对(,)；若
8、不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分题号 1 2 3 4 5 6 7
9、 8 9 10答案 C C A D B A B C C D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中第 14、15 两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14 题的得分为最后得分11 4, 3（第一空 3 分，第二空 2 分） 12 2 13. 1790 14 15 23三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 为锐角,记角 ,ABC所对的边分别为 ,.abc设向量(cos,in)m(cosin)且 m与 的夹角为 3（1 ）求 的值
10、及角 的大小；（2 ）若 7,3a，求 AB的面积 S【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力解：（1） 22cosin1,Am22cos(in)1,An=.33 分22csics，1o.A5 分0,2,2.367 分（2 ） (法一) 7,3ac, ,6A及 22cosabA,273b, 即 1b(舍去)或 4.b 10 分故 1sin.ScA12 分(法二) ,a, ,6及 siniacAC,si3in27cC. 7 分a, 0, 25cos1in7A132sini()si()cosin67BCC4iabA.
11、10 分故 1sn32Sc12 分17 （本小题满分 12 分）设函数 cbxf2)(，其中 ,是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件 A “ 15且 (0)3f”发生的概率.(1) 若随机数 ,4；(2) 已知随机函数 Rand产生的随机数的范围为 10x, bc是算法语句4and()b和 ()c的执行结果(注: 符号 “”表示“ 乘号”)【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力解：由 cbxf2)(知，事件 A “ (1)5f且 (0)3f”，即 4.3bc1 分(1) 因为随机数 ,1,34，所以共等可
12、能地产生 16个数对 (,)，列举如下：(1,)2,(),(2),(,3)24,()3,2(),4，434.4 分事件 A ： bc包含了其中 6个数对 (,)bc，即：(1,)2,(3),1(2),3.6 分443 O(1,3)cbEF O1OD1 B1C1D C BAA1所以 63()18PA，即事件 A 发生的概率为 3.8 7 分(2) 由题意， ,bc均是区间 0,4中的随机数，产生的点 (,)bc均匀地分布在边长为 4 的正方形区域 中（如图） ，其面积 16)(S. 8 分事件 A ： 3c所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分） ，其面积为： 115()(4)22S.10 分所
13、以 ()15632APS，即事件 的发生概率为 . 12 分18 （本小题满分 14 分）如图，四棱柱 1ABCD的底面 ABCD是平行四边形， ,EF分别在棱 1,B1上，且 FE（1 ）求证： 1；（2 ）若 1平面 ，四边形 1EF是边长为 6的正方形，且 1，D，求线段 1C的长, 并证明： 1.AC【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问第 18 题图A1A BCDC1 B1D1FE题的意识以及推理论证能力证明：（1） 四棱柱 1ABCD的底面 ABCD是平行四边形，1,.1
14、分平面 1,平面 1,1A平面 AB平面 1,3 分,平面 1,，平面 1B平面 .CD4 分AFE，1,四点共面. 5 分平面 C平面 1ABE,平面 1ACF平面 11DFC,1.AEF7 分（2 ） 设 11,DO四边形 BC,四边形 AEF都是平行四边形，为 A， 的中点， 1为 C， 的中点. 8 分连结 1,O由(1)知 D,从而 11()2OBEDF.BE， 2F，13.C10 分A平面 ,四边形 1AECF是正方形,1， B， D均为直角三角形,得2221193C,65,AE2242.BDFC，即 ACB. 12 分1B平面 ,ACD平面 ,ABC. 1,平面 1,AC平面 .
15、B 13 分1E平面 1, .14 分19 （本小题满分 14 分）已知二次函数 fx的最小值为 4,且关于 x的不等式 0fx的解集为13,Rx,（1 ）求函数 fx的解析式；（2 ）求函数 ()4lngx的零点个数.【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力解：（1） fx是二次函数 , 且关于 x的不等式 0fx的解集为13,R,2()3fxaxax, 且 a. 4 分20,(1)4f,且 14f,min()4,.xa6 分故函数 f的解析式为 23.fx(
16、2) 23()4ln4ln(0)xg x,2234(1)3()1xgx. 8 分,()的取值变化情况如下：11 分当 03x时, 140g； 12 分又 555e2029.13 分故函数 ()gx只有 1 个零点,且零点 50(3,e).x14 分20 （本小题满分 14 分）如图， ,MN是抛物线 21:4Cxy上的两动点（ ,MN异于原点 O） ，且 MN的角平分线垂直于 y轴，直线 N与 轴， 轴分别相交于 ,AB.(1) 求实数 ,的值，使得 OB； (2）若中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 2C经过 ,. 求椭圆 2C焦距的最大值及此时2C的方程.【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物
17、线的切线、两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，考查学生运算能力、推理论证以及分析问x(0,1)(1,3)(3,)g0(x单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加第 20 题图NMA OBC 1xyC2题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想解: (1) 设221112(,)(,)0,.4xMNxx由 O的角平分线垂直于 y轴知，直线 OM与直线 N的倾斜角互补，从而斜率之和等于 0，即2211240,x化简得 21x.3 分由点2211(,)(,)4xMNx知直线 MN的方程为211()4xyx.分别在其中令 0y及 得211(,0)(,)AB.5 分将 ,BMN的坐标代入
18、OMN中得11222()4x,即 24,7 分所以 1,.38 分(2) 设椭圆 2C的方程为21(0)xyab,将 1(,0)Ax,21()4M代入, 得24112,6xx,9 分解得42211,xab, 由 2ab得 21048x. 10 分椭圆 2C的焦距 222221111(48)33(48) 3xcabx（或 22221113(48)()x） 12 分当且仅当 2211,48xx时,上式取等号, 故 max()83c,13 分此时椭圆 2C的方程为2.9648y14 分21 （本小题满分 14 分）定义数列 na： 12,a，且对任意正整数 n，有12()()nn .记数列 a前 项
19、和为 nS.(1) 求数列 n的通项公式与前 项和 nS； （2 ）问是否存在正整数 ,m，使得 21？若存在，则求出所有的正整数对(,)；若不存在，则加以证明.【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识解：（1）对任意正整数 k， 21221 21()()kkk kaaa ，2 2()3k ka. 1 分所以数列 21k是首项 1a,公差为 等差数列；数列 2ka是首项2a,公比为 3的等比数列. 2 分对任意正整数 k, 21a, 123kka. 3 分所以数列 n
20、的通项公式 1,2,.23nknkN或 12,.3Nnnka4 分对任意正整数 k, 21321242()()k kSaa (1)k. 5 分21221331kkkkSa6 分所以数列 n的前 项和为12,3knnkS N. 或 1223,4,n kSn 7 分(2) 212213(3)nnnSmm()(),从而 ,由 N知 12.8 分当 1m时, 23()0()1nmn,即 21nSm； 9 分当 时, 2(),即 213； 10 分当 2m时, 123(1)nn,则存在 1212,Nkk,使得 12,kk从而 2121(),得 1213,kk,10,k，得 n,即 4S. 13 分综上可知,符合条件的正整数对 (,)m只有两对： (2,)与 3,1.14 分
