1、2017 年中考数学压轴题训练第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 如图 1，已知抛物线 （b 是实数且21()44yxb2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、 QOA 和QAB
2、中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为D、E ，那么 PDBPEC因此 PDPE设点 P 的坐
3、标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bxx解得 所以点 P 的坐标为( )165x16,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQC QOA当 ，即 时，BQAQOABAQO2BAO所以 解得 所以符合题意的点 Q 为2()14b843b( )1,3如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQAQOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解BOAC14b
4、得 此时 Q(1,4)4图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与OB 4OC 矛盾例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x(2)yx轴交于点 B、C ，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1
5、过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点B、 C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（
6、1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得1(2)yxm124()m4（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2()4x2)所以 SBCE 162BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 34HP323(1,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作FFx 轴于 F由于BCE FBC，所以当 ，即BC时，BCEFBC 设点 F 的坐标为 ，2BCEF 1(,2)(xxm由 ，得 解得 xm2所以 F(m2, 0)O1(2
7、)xm由 ，得 所以 EBF24BF2(4)由 ，得 2C 2()整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCE BEC2BEBFC在 RtBFF中，由 FFBF，得 1()2xmx解得 x2m所以 F 所以(2,0)mBF2m 2， B由 ，得 解得 CE (2)综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 3 直线 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， AOB 绕13yx点 O 按逆时针
8、方向旋转 90后得到COD，抛物线 yax 2bxc 经过 A、 C、 D 三点(1) 写出点 A、B、C、D 的坐标；(2) 求经过 A、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与 COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前提4ABQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位
9、置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3) ，D(1，0) （2）因为抛物线 y ax2bxc 经过 A(3， 0)、C(0，3) 、D( 1，0) 三点，所以 解得 930,.ab,23.abc所以抛物线的解析式为 yx 22x3( x1) 24，顶点G 的坐标为(1 ，4) （3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x1，直线 CD 的解析式为 y3x 3，因此 CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB CD因此 ABBG，即ABQ90因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x1) ，那么2(
10、3)10BxxRtCOD 的两条直角边的比为 13，如果 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况：当 时， 解得 所以 ， A10x1(3,0)2(,8)Q当 时， 解得 所以 ， 3BQ3x,41,03图 2 图 3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二是 2(3)10BQxx我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy 轴， QNy 轴，垂足分别为 H、N通过证明AOB BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG 90在 RtBGH 中， ， 1sin03cos10当 时， 3BQA在 RtBQN 中， ， siNBQ
11、cos9BNQ当 Q 在 B 上方时， ；当 Q 在 B 下方时， 1(3,0) 2(3,8)当 时， 同理得到 ， 1331(,)40例 4 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数 在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m ） ，与(0)kyxAB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2（1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tanA 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表1达式；（3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下，如果AEO 与EFP 相似，求点 P 的坐标图 1思路点拨1探求 m 与 n 的数量
12、关系，用 m 表示点 B、D 、E 的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况满分解答（1）如图 1，因为点 D（4，m） 、E（2，n）在反比例函数的图象上，所以 整理，得 n2m kyx,2.kn（2）如图 2，过点 E 作 EHBC ，垂足为 H在 RtBEH 中，tan BEHtanA ，EH2，所以 BH1因此 D(4，m )，1E(2，2m) ， B(4，2m1)已知BDE 的面积为 2，所以 解得()2BDEm1因此 D(4，1) ， E(2，2) ，B (4，3)因为点 D（
13、4，1）在反比例函数 的图象上，所以 k4因kyx此反比例函数的解析式为 4yx设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2，2)，得解得 ， 34,2.kb12k因此直线 AB 的函数解析式为 12yx图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线 与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D12yx的坐标为（4，1） ，所以 FD/ x 轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当 时， 解得 FP1此时点 P 的EAFOP52P坐标为（1，1） 如图 4，当 时， 解得 FP5此时点 P 的EAFPO25FP坐标为（5，1） 考点伸展本题的题设部分有条
14、件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示” ，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为 ，直线 AB 为 第（3）题 FD 不再与1yx17yxx 轴平行，AEO 与 EFP 也不可能相似图 5例 5 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，
15、得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、
16、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设
17、交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点1x2184yx为 M（ 1， ） 8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，1212()3()6Sx由此得到 由于 ，所以123sx23y整理，得 因22184yx2121()()84xx此得到 217xS当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为214,.x126,8.x（6，3） （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE ，有一个公共角 G在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角
18、，为定值在GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在GQE GAF 的可能，GQEGAF这时GAF GQEPQD由于 ， ，所以 解得3tan4GAFtan5DQtP345t207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 6 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线上ymxn（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点B 的
19、对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C 、 D 为顶点的三角形与 ABC相似图 1 思路点拨1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC 与B CD 相似，根据菱形的性质，BACCB D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论满分解答(1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (
20、1，0) 都在抛物线上，所以 解得 ， 2ymxn44,0.mn43mn(2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB5因为四边形 A ABB 为菱形，所以 A A BB AB5因为，所以原抛物线的对称轴 x1 向438xy163x右平移 5 个单位后，对应的直线为 x4因此平移后的抛物线的解析式为 3642, xy图 2(3) 由点 A (-2，4) 和点 B (6，0)，可得 A B 45如图 2，由 AM/CN，可得 ，即 解得NCM8所以 根据菱形的性质，在ABC 与B CD 中，5BC35CBACCB D如图 3，当 时， ，解得 此时AB53BD3OD3，
21、点 D 的坐标为（3，0） 如图 4，当 时， ，解得 此时C55OD ，点 D 的坐标为（ ，0） 1313图 3 图 4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求BCD 与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论BCD 与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B ，根据对应边成比例，分两种情况计算例 7 2009年临沂市中考第 26题如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC
22、相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标图 1思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得)4(1ay所以抛物线的解析式为 2a 251)4(22x
23、xy（2）设点 P 的坐标为 )1(,x如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4， ， )4(1MAM如果 ，那么 解得 不合题2COA2)4(1x5x意如果 ，那么 解得 21COAPM214)(x2x此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， ，)4(1PM4xA解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(12x5x )2,5(解方程 ，得 不合题意4)(如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， ，)4(12xMxAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 24)(12x3x ),3(解方程 ，得 此时点 P 与点 O 重合，不合)(0题意综上所述，
24、符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或)14,3()2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 1xy设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为)41(，点 E 的坐标为 所以)252,(m)2,()21()251(mDEm2因此 4SDAC 4)2(当 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） m图 5 图 6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 CDN 和ADM 的面积设点 D 的横坐标为（m，n） ，那么)4
25、1(m42(24)2(1 nnS由于 ，所以 5S例 8 2009年上海市闸北区中考模拟第 25题如图 1，ABC 中，AB5，AC3，cosA D 为射线 BA310上的点（点 D 不与点 B 重合） ，作 DE/BC 交射线 CA 于点 E.(1) 若 CEx，BDy，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段 BD，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度；(3) 当点 D 在 AB 边上时， BC 边上是否存在点 F，使ABC 与DEF 相似？若存在，请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由图 1 备用图 备用图思路点拨1先解读背景图，ABC 是等腰三
26、角形，那么第（3）题中符合条件的DEF 也是等腰三角形2用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（ 2）题的先决条件，注意点 E 的位置不同，DE、MN 表示的形式分两种情况3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意4第（3）题按照 DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题满分解答 （1）如图 2，作 BHAC ，垂足为点 H在 RtABH 中，AB 5，cosA ，所以 AH AC所以 BH 垂直平分310AHB321AC， ABC 为等腰三角形，ABCB 5 因为 DE/BC，所以 ，即 于是得到 ，ACDEy
27、x53yx（ ） 0x（2）如图 3，图 4，因为 DE/BC，所以 ， ，DEABCMNC即 ， 因此 ，圆心距 |5DEx1|25xMN5|3xE5|6x图 2 图 3 图 4在M 中， ，在N 中， 156MrBDyx12NrCEx当两圆外切时， 解得 或者 2|30x0如图 5，符合题意的解为 ，此时 301x5()1D当两圆内切时， 56|6当 x6 时，解得 ，如图 6，此时 E 在 CA 的延长线上，7x；5(3)17DE当 x6 时，解得 ，如图 7，此时 E 在 CA 的延长线上，10()图 5 图 6 图 7（3）因为ABC 是等腰三角形，因此当ABC 与DEF 相似时，D
28、EF 也是等腰三角形如图 8，当 D、E、F 为ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形 DEF 的腰，符合题意，此时 BF2.5根据对称性，当 F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时 BF4.1如图 9，当 DE 为等腰三角形 DEF 的底边时，四边形 DECF 是平行四边形，此时 12534B图 8 图 9 图 10 图 11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图 10，如图 11，AH 是ABC 的高，D、E、F 为ABC 的三边的中点，那么四边形 DEHF是等腰梯形例 9 2008年苏州市中考第 29题图 1思路点拨1求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角
29、形POH 求 k、 b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点 E，写出点 E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出 a3当 E 在 x 轴上方时，GNP45，POBPGN，把转化为 PBG 14PON4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到 大于 10 PBG2满分解答（1） ， ， H3k2b（2）由抛物线的解析式 ，得(1)5yax点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 (1,0),0因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0） ，DN 3因为AOB 是等腰直角三角形，如果 DNE 与AOB 相似，那么DNE 也是等腰直角三角形如图 2
30、，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（ 2， 3） 将 E1（ 2，3）代入 ，求得 (1)5yaxa此时抛物线的解析式为 245()33xx将 E2（ 2，3）代入 ，求得 ()y1此时抛物线的解析式为 )5(12xx如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3 或(,1)E4 )21,3(将 E3 代入 ，求得 (,(1)5yax29a此时抛物线的解析式为 22810(1)599yxx将 E4 代入 ，求得 )21,3(aa此时抛物线的解析式为 )(2xxy图 2 图 3对于点 E 为 E1（2，3）和 E3 ，直线 NE 是相同的，1(,)2ENP45又
31、OBP45，PP，所以POBPGN因此 1047NOGB对于点 E 为 E2（2，3）和 E4 ，直线 NE 是相同的)2,3(此时点 G 在直线 的右侧， 5xPG又 ，所以 34PB 2103431B考点伸展在本题情景下，怎样计算 PB 的长？如图 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么OBCOAF，OFOC ，PF ，2323PA ，所以 ()12PF1PB1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 2012年扬州市中考第 27题如图 1，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点
32、P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya( x1)(x3)，代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1所以抛物线的函数关系式是 y(x1)( x3)x 22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落
33、在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ，BOCO，得 PHBH2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2)图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, )、(1, )或(1,0)6考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m)在MAC 中，AC 210，MC 21(m3) 2，MA 24m 2如图 3，当 MAMC 时，MA 2MC 2解方程4m 21( m3) 2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1)如图 4，当 AMAC 时，AM 2AC 2解方程 4m 210，得6此时点 M 的坐标为(1, )或(1,
34、)6如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M的坐标为(1,0)图 3 图 4 图 5例 2 2012年临沂市中考第 26题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点P、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰
35、相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 RtOBC 中，BOC30，OB 4，所以 BC2，23OC所以点 B 的坐标为 (,23)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax( x4) ，代入点 B ， 解得 ,3)(6)a36a所以抛物线的解析式为 234)yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y )当 OPOB4 时，OP 216所以 4+y216解得 23y当 P 在 时，B 、 O、
36、P 三点共线（如图 2） (,)当 BPBO4 时，BP 216所以 解得4(3)1612当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得222yy3y综合、，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示(,3)图 2 图 3考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形由 ，得抛物线的顶点为 23(4)()66yxx23(,)因此 所以DOA30，ODA1202tanDOA例 3 2011年湖州市中考第 24题如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P(0,m )是线段 OC 上一动点（C
37、点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）当APD 是等腰三角形时，求 m 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过的路长（不必写解答过程） 图 1 图 2思路点拨1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解3猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM 的斜边
38、长 OM 是定值，以 OM 为直径的圆过点 H、C满分解答（1）因为 PC/DB，所以 因此1CPMBDPMDM ，CPBD 2m所以 AD4 m于是得到点 D 的坐标为(2 ，4 m)（2）在APD 中， ， ，22()A2A2(PDM当 APAD 时， 解得 （如图 3） 24当 PAPD 时， 解得 （如图 4）或2()m（不合题意，舍去） 4m当 DADP 时， 解得 （如图 5）或2(4)2()23（不合题意，舍去） 2综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为 ， 或 423图 3 图 4 图 5（3）点 H 所经过的路径长为 5考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几
39、何说理的方法，计算更简单：如图 3，当 APAD 时，AM 垂直平分 PD，那么PCM MBA所以 因此 ， 12PCMBA12PC3m如图 4，当 PAPD 时，P 在 AD 的垂直平分线上所以DA 2PO因此 解得 42m43第（2）题的思路是这样的：如图 6，在 RtOHM 中，斜边 OM 为定值，因此以 OM 为直径的G 经过点 H，也就是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7，P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，COH 45 ，CGH90图 6 图 7例 4 2011年盐城市中考第 28题如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交43yx于点 A，
40、且与 x 轴交于点 B （ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 AC y 轴于点 C，过点B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路 线向 点 A 运 动 ； 同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点Q 当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都停 止 运 动 在 运 动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A
41、、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点 A 的坐标是(3 ，4)7,43yx3,4.xy令 ，得 所以点 B 的坐标是(7 ，0)70yx（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时，0t4由，得 整8APRACPO
42、ROSS 梯 形 11+7)(4)(7)822tt（理，得 解得 t2 或 t6（舍去） 如图 3，当 P 在 CA2810t上运动时，APR 的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8图 2 图 3 图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB 中， B45，AOB45，OB7，所以 OBAB因此OAB AOBB4AB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBR RQ，所以PQ/x 轴因此AQP45保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQAQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR2CA6所以BR
43、 1，t 1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7在APQ 中， 为定值， ，3cos5A7APt5203AQOARt如图 5，当 APAQ 时，解方程 ，得 2073t418t如图 6，当 QPQA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2( OROP) 解方程 ，得 72()4tt5t如图 7，当 PAPQ 时，那么 因12cosAP此 解方程 ，得 2cosAQP503()35tt64t综上所述，t1 或 或 5 或 时，APQ 是等腰三角形 4186图 5 图 6 图 7考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用 来求解2cosAPQ例 5 2010年上海市闸
44、北区中考模拟第 25题如图 1，在直角坐标平面内有点 A(6, 0)，B (0, 8)，C (4, 0)，点 M、 N 分别为线段 AC 和射线 AB 上的动点，点 M 以 2 个单位长度/ 秒的速度自 C 向 A 方向作匀速运动，点 N 以 5 个单位长度/秒的速度自 A 向 B 方向作匀速运动，MN 交 OB 于点 P(1)求证： MNNP 为定值；(2)若 BNP 与MNA 相似，求 CM 的长；(3)若 BNP 是等腰三角形，求 CM 的长图 1思路点拨1第（1）题求证 MNNP 的值要根据点 N 的位置分两种情况这个结论为后面的计算提供了方便2第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道
