1、分式一分式的概念一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式ABBAB整式与分式统称为有理式在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（ ）B分式无意义：分母为 0（ ）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ ）A分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 或 ）B0分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）A分式值为 1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）增根的意义： （1 ）增根是使所给分式方程分母为零
2、的未知数的值。 （ 2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。一、分式的基本概念【例 1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？， ， ， ， ， ， ， ，t(2)3x1x24x5a2m213x3x32a【例 2】 代数式 中分式有（ ）222133xxababmnxyy， ， ， ， ， ， ，A.1 个 B.1 个 C.1 个 D.1 个练习：下列代数式中： ，是分式的有： .yxbayx1,21, 2二、分式有意义的条件【例 3】 求下列分式有意义的条件： 1x32ab21nm2xy218x293x【例 4】 为何值时，分式 有意义？ 要使分式 没有意义，求 的值.1x 4
3、132aa【例 5】 为何值时，分式 有意义？ 为何值时，分式 有意义？x12xx12x【例 6】 若分式 有意义，则 ； 2501xx若分式 无意义，则 ；1250xx【例 7】 若分式 有意义，则 ;216(3)4xx 若分式 无意义，则 ;练习：当 有何值时，下列分式有意义x1、 （1） （2） （3） （4） （5）4x12x3|6xx12、要使分式 有意义，则 x须满足的条件为 23x3、若 有意义，则 ( ).aaA. 无意义 B. 有意义 C. 值为 0 D. 以上答案都不对4、 为何值时，分式 有意义？x2913x三、分式值为零的条件【例 8】 当 为何值时，下列分式的值为 0
4、？x 121x3x237x （7） （8）231x24x4|1|5x23(1)x【例 9】 如果分式 的值是零，那么 的取值是 231xx【例 10】 为何值时，分式 分式值为零？x2913x练习：1、若分式 的值为 0，则 的值为 41xx2、当 取何值时，下列分式的值为 0. （1 ） （2） （3） （4）3x4|x6532x562x（5 ） （6） （7）213x265x2134x（8 ） （9） （10）2x25()x(8)1x4、关于分式方程的增根与无解它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0，它是原
5、方程的增根，从而原方程无解现举例说明如下：【例 11】解方程 2342xx【例 12】解方程 231x【例 13】例 3 若方程 = 无解，则 m=2xm【例 14】（1）当 a 为何值时，关于 x 的方程 会产生增根234ax（2）若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：a 为何值时，关于 x 的方程 无解？234ax练习：1、当 k 为何值时，方程 会出现增根？xk132、已知分式方程 有增根，求 a 的值。12xa3、分式方程 有增根 ，则 m 的值为多少？xmx114、a 为何值时，关于 x 的方程 有解？4121xa()5、关于 x 的方程 -2= 有一个正数解，求 m 的取值范围
6、。3xm6、使分式方程 产生增根的 m 的值为_x327、当 m 为何值时，去分母解方程 0 会产生增根。2x-2 mxx2-48、若方程 会产生增根，则（ ）41212xkxA、 B、k=2 C、k=2 D、k 为任何实数k9、若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ）12xmxA. 1 或2 B. 1 或 2 C. 1 或 2 D. 1 或210、已知关于 的方程 有负数解，求 的取值范围。xx311、当 m 为何值时，关于 x 的方程 无实根21xmx分式二分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质： （M 不为 0）BA2分式的变号法则： baba【例 15】 分式基本性质：（1 ）
7、（2）2ab32xy（3 ） （4 ）2xyx22xy【例 16】 分子、分母的系数化为整数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1） （2） （3） （4）yx432ba04. yx5.08.2ba1053.练习：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数 1.03.25xy32415xy【例 17】 分子、分母的首项的符号变为正号不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）yxbaba练习： ； （2）21a325a【例 18】 未知数同时扩大或缩小相同的倍数1、若 ， 的值扩大为原来的 倍，下列分式的值如何变化？xy3 xy2
8、xy2、若 ， 的值都缩小为原来的 ，下列分式的值如何变化？xy（1 ） （2） （3）3yx542xy练习:1如果 =3，则 =（ ）A B xy C 4 D2如果把 的 x 与 y 都扩大 10 倍，那么这个代数式的值（ ）A 不变 B 扩大 50 倍 C 扩大 10 倍 D 缩小到原来的3若分式 中的 a、b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则分式的值（ ）A 是原来的 20 倍 B 是原来的 10 倍 C 是原来的 D 不变4如果把分式 中的 x 和 y 的值都缩小为原来的 ，那么分式的值（ ）A 扩大 3 倍 B 缩小为原来的 C 缩小为原来的 D 不变5如果把分式 中的 x 和 y
9、 都扩大为原来的 4 倍，那么分式的值（ ）A 扩大为原来的 4 倍 B 缩小为原来的C 扩大为原来的 16 倍 D 不变6若把分式 中的 x 和 y 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值（ ）A 扩大 3 倍 B 缩小 3 倍 C 缩小 6 倍 D 不变7如果把 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值（ ）2A 扩大 5 倍 B 不变 C 缩小 5 倍 D 扩大 4 倍8、若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A、 B、 C、 D、2323yxyx3223yx【例 19】 直接通分化简1、已知： ，求 的值.51yxyx232、已知： ，求 的值.3
10、1baab23、若 3,11baba则 的值是多少？练习：1、已知 ，求7yxxy522、已知 ，求 的值1baba233、已知 ，求 的值 （8 分）51yxyx234、已知： ，求 的值.21x21x5、如果 ，则 .ba1a【例 20】 先化简成 x+ 或 ，再求值x11、若 ，求 x+ ，x 2+ , 的值.032xx2、已知： ，试求 的值.0132a)1(2aa3、已知： ，求 的值.31x124x练习已知： ，求 的值.21-x124x【例 21】 利用非负性求分数的值1、若 ，求 的值.0)32(|1| xyx yx2412、若 ，求 的值.0162baba532练习：若 ，求
11、 的值.0)32(|1| xyx yx241若 ，求 的值.0136422baba53【例 22】 求待定字母的值1、若 ，试求 的值.132xNMx,2、已知： ，试求 、 的值.12)12(45xBAxAB练习：1、已知： ，则 _ _22yxyxMM2、若已知 （其中 A、B 为常数） ，则 A=_，B=_；1312BA【例 23】 较难分式化简求值 )5(31)(1)(1xxx练习：【例 24】 代数式值为整数1、当 为何整数时，代数式 的值是整数，并求出这个整数值.a24a2、当 为何整数时，代数式 的值是整数，并求出这个整数值.a280539a练习：1、当 为何整数时，代数式 的值
12、是整数，并求出这个整数值.a2-318a2、当 为何整数时，代数式 的值是整数，并求出这个整数值.a36519a分式三1.分式的意义及分式的值例题 1、当 =3 时，分式 的值为 0，而当 =2 时，分式无意义，则求 的值时多少？xbxa352xab例题 2、不论 取何值，分式 总有意义，求 的取值范围。xmx212.有条件的分式的化简求值(一)、着眼全局，整体代入例 3、已知 ，求 的值.206abba42132例 4、已知 ，求 的值.31yxyx2二、巧妙变形，构造代入例 5. 已知 不等于 0，且 ，abc， ， 0abc求 的值.)1()1()(例 6.若 b+ =1， c+ =1，
13、求 。 1a1b三、参数辅助，多元归一例 7 、已知 ，求 的值。432zyx22zyx.四、打破常规，倒数代入例 8、已知 ，求 的值.41x124x例 9. 已知 ,求 的值.5,4,31cabca bca(五)活用(完全平方)公式,进行配方.例 10.设实数 满足 ，求 的值。yx, 025682yx yxyx2422(六)大胆消元,解后代入例 11.已知 abc=0，2ab+2c=0(c0),求 的值.cba2353. 无条件的分式的求值计算例 10.计算: 。)1(a)2(a)3(1a)206)(5(1a例题 11、计算 )209)(7()5(32)(12 xxx4.分式方程的无解及
14、增根(1)给出带参数的分式方程求增根例 12.关于 x的方程 有增根则增根是( )23462xA 2 B.-2 C.2 或-2 D. 没有(2)已知分式方程的增根求参数的值例 13. 分式方程 有增根 ，则 m 的值为多少？xmx11(3)已知分式的的有增根求参数值例 14.已知分式方程 有增根，求 a 的值。312xa(4)已知分式方程无解求参数的值例 15（2007 湖北荆门）若方程 = 无解，则 m=32xm例 16.当 a 为何值时，关于 x 的方程 无解？234ax(5)已知分式方程解的情况求参数的范围例 17.已知关于 的方程 有负数解，求 的取值范围。xxm325.阅读理解型问题
15、例 18.阅读下列材料方程 = 的解为 x=1, 方程 = 的解为 x=2,1x2x131x13x4方程 = 的解为 x=3,45(1) 请你观察上述方程与解的特征, 写出能反映上述方程一般规律的方程 ,并求出这个方程的解.(2)根据(1)中所求得的结论 ,写出一个解为 5 的分式方程 .例 19.阅读下列材料:关于 x 的分式方程 x =c 的解是 x1=c，x 2= ;1ccx = c ，即 x =c+ 的解是 x1=c，x 2= ；1x =c 的解是 x1=c，x 2= ；2cx =c 的解是 x1=c，x 2= .3c3(1)请观察上述方程与解的特征,比较关于 x 的方程 x =c (
16、m0)与它的关系,猜想它的解是什么,mc并利用方程解的概念进行验证.(2)由上述的观察,比较,猜想,验证可以的出结论;如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数.那请你利用这个结论解关于 x 的方程:x =a+12xa练一练:1、若方程 有增根，则增根是 。871x2、 取 时，方程 会产生增根；m32xm3、若关于 x 的方程 有解,则必须满足条件( )acbxdA. ab ，cd B. ab ，c-d C.a-b , cd C.a-b , c-d4、 若分式方程 a321有增根，则 a 的值是 5、当 m=_时,方程 会产生增根.3
17、xmx6、若方程 有增根，则增根是 .4x7、关于 x 的分式方程 有增根 x=-2，则 k= .421xkx8、. 关于 x 的方程 无解，m 的值为_。329.若 使分式 没有意义，那么 a 的值是（ ）a41aA、0 B、 或 0 C、2 或 0 D、 或 031510.分式 有意义，那么 a 的取值范围是 1a11.分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）2653xA、 B、 C、 D、或 32或 233212.已知 的值是 ，那么 的值是 1x1413.已知 的值为 2200ababab， ， 那 么14.已知 的值是 2334yxyzxzx， 则15.已知 的值为 502， 那 么1
18、6.已知 1432abab且 ， 那 么17.已知 的值为（ ）3xyxy， 则A、 B、 C、 D、5553518.若 的值是 1247abab， 则19.计算: ()1()1(2)3a1(205)(6)a20.若 x y=4， xy=3，求 + 的值.yx21.已知 ,求 的值. 51yxyx2322.已知 ,求分式 的值x3223.若 ,求 的值1ab221b24.已知 ,求分式 的值23baab2.25. 已知 = ，求 的值.yx34xyxy26. 若 ,求分式 的值.2132x124x27. 若 ，求 x+y+z 的值aczbyax28. 已知 abc=1，求证： 。11cabcab29.关于 x 的方程 -2= 有一个正数解，求 m 的取值范围。3xm30、如果记 xfy21，并且 1f表示当 x=1 时 y 的值，即 f(1)=21；f( )表示当 x=12时 y 的值，即 f( )=2()5；那么 f(1)+f(2)+f( 2)+f(3)+f( 3)+f(n)+f( n)= （结果用含 n 的代数式表示） 。
