2015上海新知杯预选赛试题.doc

1、2015 上海新知杯预选赛试题 2015.10一、填空题（每题 5 分）1. 在三角形 ABC 中， 是大于 1 的整数， 其 中， aCABbA2122b,则 。ab2. 一个平行四边形可以被分成 92 个边长为 1 的正三角形，它的周长可能是 。3. 已知关于 的方程 有实根，并且所有实根x 02)()3(224 kxkx的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。4. 如图，直角三角形 中 ， ， 为斜边ABC12BP上一动点。 , ，则线段 长的最小ABPEFEF值为 。5. 设 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 01682xdc， 01862x则的值为 。dbc6. 在平面直角

2、坐标系中有两点 ， ,函数 的图像与线段 延1,P2Q1kxyPQ长线相交（交点不包括 ） ，则实数 的取值范围是 。 k7. 如图，四边形 中 , , 。设ABCDC78AB62CD延长线交于 ，则 _.,E EDCBAFEDCBA8. 如图，在直角梯形 中， ,90A,点 在 上，使得 是正三角10AMBM形，则 与 的面积和是D_。FECBAPDA BCM二、 （本题 15 分）如图， 中， ,点 在 上，使得ABC90DCA并且 求 的长。， 31DC，3B DC ABEDC AB三、 （本题 15 分）若两个实数 使得 都是有理数，称数对 是和谐ba, 22ba与 ba,的。 试找出

3、一对无理数，使得 是和谐的；, 证明：若 是和谐的，且 是不等于 1 的有理数，则 都是有理数；ba,baba, 证明：若 是和谐的，且 是有理数，则 都是有理数。ba,四. （本题 15 分）求证：存在整数 x，y，满足 。21342yx是否存在整数 x，y，满足 ， 请证明你的结论。015422五、 （本题 15 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 M、N 分别在BC、CD 上，使得 CMN 的周长为 2。求（1）MAN 的大小；（2）MAN 面积的最小值。MND CBA新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第 1-5 小题每题 8 分，第 6-10 题每题 10 分，共 90

4、分）1. 对于任意实数 ，定义 = ，已知 ，则实数 的值是ba,ba)( 5.28.aa_。【答案】4 或 213【解析】 ， ， ，5.8.a26.2a0522a，所以 或01324a132. 在三角形 ABC 中， 是大于 1 的整数， 其 中， CABbA22 b,则 。ab【答案】0【解析 1】若 ，即 矛盾aa21)(,22则 .CAB若 ，则 ，即 矛盾，abb)(, 0【解析 2】 是大于 1 的整数，所以 ，此时 ，, 2a022a，即 ，CABABCab12，即 ， ，即22ba b3. 一个平行四边形可以被分成 92 个边长为 1 的正三角形，它的周长可能是 。【答案】5

5、0，94【解析】设两边长分别为 和 ，则 ， ，所以周长为xy92x2346y或9461250324. 已知关于 的方程 有实根，并且所有实根x 0)()(2kxkx的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。【答案】5【解析】原方程可化为 ，2,0)(2( xkxx02kx， ， ，即2k02x1,21x5142x5. 如图，直角三角形 中 ， ， 为斜边 上一动点。 ,ABCBPABBCPE，则线段 长的最小值为 。PFEF FECBAP【答案】 52【解析】设 ， ，则 ，所以 ， ，xFyECBCEAP21yxx2，当 ，54485)2(222 x 时， 最小。5y54EF6. 设 是方程

6、的两个根， 是方程 的两个根，ba, 01682xdc， 01862x则的值为 。dbc【答案】2772【解析】 ， ， ， ，68a1a86c1cddbac2222 681)()(bb754cdc7. 在平面直角坐标系中有两点 ， ,函数 的图像与线段 延长1,P2QkxyPQ线相交（交点不包括 ） ，则实数 的取值范围是 。 k【答案】 312k【解析】 ，31132102kk8. 方程 的所有整数解有 组。209xyz【答案】72【解析】 4197209178 正整数解 6+3+3+6=18 组，非正整数解 183=54 组，共 72 组9. 如图，四边形 中 , , 。设ABCDC8A

7、B62CD延长线交于 ，则 _.,E EDCBA FEDCBA【答案】21 【解析】作 ， ，易知，四边形 为平行四边形，AFAABF， ，102180 6012是等边三角形，即 为等腰三角形， ,CDD387D2EB10. 如图，在直角梯形 中， , ,点 在A9BCBCAM上，使得 是正三角形，则 与 的面积和是MM_。 DA BCMDA BH CM【答案】 3150【解析】将图补成正方形，易知 ，令 ，则AHDx，由勾股定理得 ，解得xCD2221010x，3102x 353012 S二、 （本题 15 分）如图， 中， ,点 在 上，使得AB9CA并且 求 的长。， C，D3BDC ABEDC AB【答案】 。14B【解析】设 ，则 作 的平分线交 于点x ， 16122xABxBAC， BE，则 ,所以EDCAD2 DE，由角平分线定理可知，EB32因此。BAEBA 3解得，1691222xx 14xC三. 【解析】(1)不难验证 是和谐的。2,),(ba(2)由已知 是有理数， 是有理数，所以122bat sba，解得 是有理数，所以 也是有理数。1ba）（ sta(3)若 ，则 是有理数，因此 也是有理数。若 ，02b202ba由已知 是有理数， 也是有理数，因此 ，故1)(22ax bay12xy是有理数，因此 也是有理数。xyb212)