1、一、青蛙爬井问题公式解法爬到井口天数= （总距离变前距离）变后距离+1（注意：结果为小数：去小数后再加 1）若为复合形式：变前距离=每一次上爬距离变后距离=每一次上爬和下滑的差每一次上爬和下滑的天数和特别注意：（若休息时间单独占天数，保持既不上爬也不下滑的状态）变后距离=每一次上爬和下滑的差每一次上爬、休息和下滑的天数和二、店主损失问题店主损失商品进价+ 找给顾客钱数 其他都是扰乱题的因素！思维发散：如果问题问的是，买商品的人得到多少钱？就应该是 85 加售价 15 元的汽水，100 元。顾客收益商品售价+ 找给顾客钱数三、鸡兔同笼问题鸡数(兔脚数总头数总脚数 ) (兔脚数鸡脚数)兔数(总脚数
2、鸡脚数总头数 ) (兔脚数鸡脚数)史上最简单最牛的鸡兔同笼的新解法题目：鸡兔同笼 ，头 15、脚 40，问几鸡几兔？我们家的鸡和兔都是经过严格训练的，当我吹哨，所有的鸡兔都抬起两只脚。鸡只有 2 脚，只能一屁股坐在地上。现在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用 2 条腿站着的。现在还剩 10 条腿，可以算出兔子有 5 只了！40 15=25 25 15 =10 10 2 = 5兔数=（总脚数 2 倍总头数） 2鸡数=总头数 兔数四、行程问题基本公式：路程= 速度时间；路程时间= 速度；路程速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程 相遇路程速度和相遇时
3、间相遇路程相遇时间速度和追及问题：追及时间追及路程速度差 追及路程速度差追及时间 速度差追及路程追及时间（时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为 12 大格，按“分”分为 60小格。每小时，时针走 1 大格合 5 小格，分针走 12 大格合 60 小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。 ）流水问题：顺水行程= （船速+ 水速）顺水时间 逆水行程=（船速 -水速）逆水时间 顺水速度=船速 +水速 逆水速度=船速 -水速 水速度=（顺水速度 +逆水速度） 2 水 速=（顺水速度 -逆水速度）2 火车问题：基本数量关系是火车速度时间=车长+ 桥长1）超车
4、问题 （同向运动，追及问题） 路程差车身长的和 超车时间车身长的和速度差 2）错车问题 （反向运动，相遇问题）路程和车身长的和 错车时间车身长的和速度和3）过人（人看作是车身长度是 0 的火车）4）过桥、隧道（桥、隧道看作是有车身长度，速度是 0 的火车）【一般行程问题公式】平均速度时间= 路程；路程时间= 平均速度；路程平均速度= 时间。【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题” （二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程相遇（离）
5、时间=速度和。【同向行程问题公式】追及（拉开）路程（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程追及（拉开）时间=速度差；（速度差）追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。【列车过桥问题公式】（桥长+列车长） 速度= 过桥时间；（桥长+列车长） 过桥时间= 速度；速度过桥时间= 桥、车长度之和。【行船问题公式】（1）一般公式：静水速度（船速）+ 水流速度（水速）= 顺水速度；船速-水速=逆水速度；（顺水速度+ 逆水速度）2=船速；（顺水速度-逆水速度）2= 水速。（2）两船相向航行的公式：甲船顺水速度+ 乙船逆水速度= 甲船静水速度+乙船静水速度（3）两船同向航行的公式：后（前）船静水速度-前（后
6、）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目） 。五、牛吃草问题设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数 吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数） ；2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度 吃的天数； 3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度） ；4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草。六、工程问题【工
7、程问题公式】（1）一般公式：工效工时= 工作总量；工作总量工时= 工效；工作总量工效= 工时。（2）用假设工作总量为 “1”的方法解工程问题的公式：1工作时间= 单位时间内完成工作总量的几分之几；1单位时间能完成的几分之几 =工作时间。（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为 2、3 、4、5。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。 ）（从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是
8、工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同）七、植树问题（1）不封闭线路的植树问题：间隔数+1=棵数；（两端植树）路长间隔长+1=棵数。或 间隔数-1=棵数；（两端不植）路长间隔长-1=棵数；路长间隔数= 每个间隔长；每个间隔长间隔数= 路长。（2）封闭线路的植树问题：路长间隔数= 棵数；路长间隔数= 路长棵数= 每个间隔长；每个间隔长间隔数= 每个间隔长棵数= 路长。（3）平面植树问题：占地总面积每棵占地面积=棵数（4 在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数1）边数封闭的圆形道路上植树是属于一端种树，一端不种树的情况。敲时钟和上下楼梯属于两端都种树的
9、情况。锯木头和剪绳子也属于植树问题，是属于两端都“不种树”的情况。木头或绳子的总长是总距离；锯木头或剪绳子的次数是种树棵数；锯下或剪下的每段木头或绳子的长度是间隔距离；锯成或剪成了多少段是间隔数。 锯的次数段数1 段数锯的次数1在正多边形周围摆花盆：（1）每个角上都摆的情况：总盆数（每边数1 ） 边数每边数总盆数边数1 边数总盆数（每边数 1）（2 ）每个角上都不摆的情况：每边数边数总盆数总盆数边数每边数 总盆数每边数边数八、剪绳问题：一根绳对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成了（2N M1）段九、年龄问题：年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的
10、；两个人的年龄的倍数是发生变化的； 几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十、盈亏问题基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。(盈亏) 两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈) 两次分配量之差参加分配的份数(大亏小亏) 两次分配量之差参加分配的份数十一、浓度问题：溶质的重量+ 溶剂的重量= 溶液的重量溶质的重量溶液的重量10
11、0%=浓度溶液的重量浓度= 溶质的重量溶质的重量浓度= 溶液的重量溶液稀释与溶液混合在浓溶液里加入水将它稀释为稀溶液，称为溶液的稀释。在浓溶液里加入含有相同溶质的稀溶液，称为溶液的混合。在溶液稀释与溶液混合的过程中，溶液中溶质的质量分数变了，但稀释前浓溶液里所含溶质的质量与稀释后稀溶液里所含溶质的质量相等；混合溶液中溶质的质量等于浓溶液中溶质质量与稀溶液中溶质质量之和。抓住这一点，就抓住了这类计算的关键。其实溶液的稀释也可以看作是溶液的混合，即把水看作是溶质质量分数为 0的稀溶液。这样就可以合并成为一个问题来讨论了。有关溶液混合的计算公式是：m(浓 )c( 浓 )+m(稀) c(稀)= m(混
12、)c( 混)由于 m(混)=m(浓)+m(稀)，上式也可以写成：m(浓 )c( 浓 )+m(稀) c(稀)= m(浓)+m( 稀)c(混)此式经整理可得： m(浓)c(浓)-c( 混)=m(稀)c( 混)-c ( 稀)十二、和差倍问题（和差问题 和倍问题 差倍问题）已知条件：几个数的和与差;几个数的和与倍数;几个数的差与倍数。公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系【和差问题公式】(和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数 (和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数【和倍问题公式】和(倍数1)=小数 和(倍数1)=小数 小数倍数=大数 和小数 =大数【差倍问题公式】差
13、(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数【平均数问题公式】总数量总份数= 平均数。关键问题求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式(和差) 2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差) 2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数十三、方阵问题： 1方阵总人数= 最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2方阵最外层每边人数= （
14、方阵最外层总人数4）13方阵外一层总人数比内一层总人数多 8（每边多 2）4去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数2 1 5 方阵最外层总人数= （最外层每边人数1）4十四、 【求分率、百分率问题的公式】比较数标准数= 比较数的对应分（百分）率；增长数标准数= 增长率；减少数标准数= 减少率。或者是两数差较小数= 多几（百）分之几（增） ；两数差较大数= 少几（百）分之几（减） 。十五、 【增减分（百分）率互求公式】增长率（1+增长率）=减少率；减少率（1-减少率） =增长率。十六、 【求比较数应用题公式】标准数分（百分）率=与分率对应的比较数；标准数增长率= 增长数；标准数减少率= 减少数；标
15、准数（两分率之和）=两个数之和；标准数（两分率之差）=两个数之差。十七、 【求标准数应用题公式】比较数与比较数对应的分（百分）率=标准数；增长数增长率= 标准数；减少数减少率= 标准数；两数和两率和= 标准数；两数差两率差= 标准数；十八、 【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。（1）单利问题：本金利率时期= 利息；本金（1+利率时期）=本利和；本利和（1+利率时期）=本金。年利率12=月利率；月利率12=年利率。（2）复利问题：本金（1+利率）存期期数=本利和。例如， “某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 102 （即月利 1 分零 2
16、 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？”解（1）用月利率求。3 年=12 月3=36 个月2400 （1+10 236）=24001 3672=328128 （元）（2）用年利率求。先把月利率变成年利率：10 212=1224再求本利和：2400 （1+12 243）=24001 3672=328128 （元）十九、 、利润与折扣问题利润售出价成本利润率利润成本100% (售出价成本1)100%涨跌金额本金涨跌百分比折扣实际售价原售价100%(折扣1)利息本金利率时间税后利息本金利率时间(15%)小学数学利润应用题解题公式一、名词解释进价：指商店做买卖买进来是多少钱。又叫进货成本价、拿货批发
17、价。进价包括每件商品的进价，进货数量每件单价=总进价。售价：每件商品的售出价，商店又习惯叫定价。每件商品明码标出的零售价叫单位售价，一批卖出很多可以计算总售价。利润：又叫进销差价，售价- 进价= 利润。销售一件商品叫单位利润（指每件零售价 -每件进货价） ，销售很多件商品叫总利润，指（每件零售价-每件进货价）销售数量 利润率： 利润进价100% 二、基本公式（标注为红色）不要记那么多公式，都是变形的。只记最主要的基本公式。 （如每件 1 元买进来，1.20 元卖出去，每件的利润则为 0.20）售价-进价=利润 1.20-1.00=0.20进价+利润=售价 1.00+0.20=1.20 售价=进
18、价（1+利润率） 1.00（ 1+20%）=1.20利润=进价利润率 1.0020% =0.20总进价=销售数量 单位进价 1001.00=100 元总售价=销售数量单位售价 1001.20=120 元总利润=销售数量单位利润 1000.20= 20 元利润率=利润/进价=（售价-进价）进价=0.201.00=20%说明：利润率中的“率” 字，是比率的意思，用% 号表示。在日常计算中，为图简便，习惯用百位或十位小数如 0.1，0.01 等表示，最后得出结果再变成百分数%。利润率是利润与进价的比率。三、打折公式 商店为了促销，调整商品的单位售价叫打折。一般进了货之后，把售价先定得高一些，过一段时
19、间滞销不好卖了再打折，以迎合顾客的心理。 （折扣率如 75%即七五折）原售价折扣率=打折后的售价打几折（新售价原售价）100% 折扣1 折扣率=(1+打折后的新利润率)(1+打折前的老利率）四、商品损耗公式购进商品（运输）损耗=购进总价购进损耗率商品销售损耗 = 销售总价销售损耗率五、运费公式 每千克运费=路程（千米）（每吨每千米运费）1000六、涨跌金额公式 ：商品涨跌总金额（售价变动前的销售单价涨跌百分比）销售数量七、销售单件商品利润率（同前述“利润率” ）八、销售多件商品利润率= （销售数量单位利润）（销售数量单位进价）=总利润总进价总进价（销售数量单位单价）1001001.00=100
20、 元总售价（销售数量单位单价）1201001.20=120 元总利润（即总进销差价）（销售数量单位利润）201000.20= 20 元利润率（进销差价率）20%20100100%=20%九、举例：某商场按每台 5000 元的价格进了 80 台电脑，第一个月按 20%的利润定价出售，共卖出50 台；第二个月按第一个月定价的 75%全部售完。这批电脑共赢利多少元？已知条件：单位单价 5000/台；进货总数量 80 台；分两批销售共 80 台第一个月每件零售定价：5000 元/台（1+20%）=6000 元/台第一个月总售价： 506000/台=300 000 元第二个月每件零售定价：6000/台7
21、5%=4500 元/台第二个月总售价：（80-50 ）4500/ 台=1=35000两个月卖出的总售价： 300000+135000=435000 元总进价 805000/台=400 000 元总利润： 435 000-400 000=35 000 元二十、比例应用题公式比例尺=图上距离 实际距离图上距离=实际距离 *比例尺实际距离=图上距离 比例尺积一定，两个相关联的量成反比例；商一定，两个相关联的量成正比例时间一定，速度之比= 路程之比速度一定，时间之比= 路程之比路程一定，速度之比= 时间之比在反比二十一、容斥原理1关键提示：容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可
22、全面应对此类题型。另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。2核心公式：（1 ）两个集合的容斥关系公式：ABABA B（2 ）三个集合的容斥关系公式：ABC ABCA BBCCAA BC例题 1：2004 年真题某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是 ( )。A22 B18 C28 D26解析：设 A第一次考试中及格的人（26） ，B第二次考试中及格的人（24）显然，AB 262450 ；AB32428，则根据公式 AB ABA B502822所以，答案为 A。例
23、题 2：2004 年山东真题某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人A.57 B.73 C.130 D.69解析：设 A会骑自行车的人（68） ，B会游泳的人（62）显然，AB 6862130；AB8512 73，则根据公式 AB ABA B1307357所以，答案为 A。例题 3：电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看过 8频道，11 人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？解析：设 A看过 2 频道的人（62） ，B看过 8 频道的人（34 ）
24、显然，AB 623496 ；AB两个频道都看过的人（11）则根据公式 AB ABA B961185所以，两个频道都没有看过的人数1008515所以，答案为 15。例题 4：2005 年真题对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有：A22 人 B28 人 C30 人 D36 人解析：设 A喜欢看球赛的人（58） ，B喜欢看戏剧的人（38） ，C喜欢看电影的人（52 ）AB 既
25、喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）BC 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）AB C三种都喜欢看的人（12 ）AB C看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100 ）根据公式：AB CAB CABBCCAA BCC AABC（A BCABBCA BC）148（1001816 12）26所以，只喜欢看电影的人CBCCAA BC52 16261222二十二、抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+
26、0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。 理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数。 例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。二十三、握手问题假设有 n 个人去握手第 1 个人需要握手 n-
27、1 次第 2 个人需要握手 n-2 次第 3 个人需要握手 n-3 次。 。 。 。第 n-2 个人需要握手 2 次第 n-1 个人需要握手 1 次最后一个不需要握手共需要(n-1)+(n-2)+(n-3)+.+2+1+0=n(n-1)/2二十四、装卸工问题一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要 7、9 、4、10 、6名装卸工，共计 36 名。如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要（ ）名装卸工才能保证各厂的装卸需求。A.26 B.27 C.28 D.29解析 典型装卸工问题，将最大的三个数相加 79 1026 即可。选择 A。“装卸工问题核心公式”：如果有 M 辆车和 N（NM ）个工厂，所需最少装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的 M 个工厂所需的装卸工人数之和。六年级数学难题两袋大米共重 120 千克，从甲袋取出 20%，乙袋取出 3 分之 1，这时甲袋剩下的大米是原来两袋重量的 2 分之 1.从乙袋取出大米多少千克？解:这时甲袋剩下的大米是原来两袋重量的 2 分之 1
