1、相离的两圆的公切线的做法摘要：我们知道，相离的两个定圆(O 1 半径为 r、 O 2半径为 R)具有两条内公切线和两条外公切线。那么，我们该如何运用尺规作图，作出这些公切线呢？在这里，将介绍几种做公切线的作法，分别运用了位似的性质、相似三角形的性质、构造矩形和结合位似和相似三角形。其中最主要的原理是直径所对的角是直角。一、运用位似的性质。我们知道任意的两个圆都会位似且最多存在两个位似中心（即位似点） ，而由位似的定义我们知道，在两个位似的图形中，所有具有相同性质的点会交于一个点，就是位似点。那么，由位似点引出的一条直线，它与两个位似图形的交点应该也具有相同的性质。所以运用位似的这一性质，我们可
2、以先找出两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，找出了两个具有相同性质的点，这两点所在的直线与连心线的交点，就是位似中心。此时，我们以位似点和某一圆的圆心为直径作圆,由直径所对的角为直角，那么我们可以得到该圆的一条切线，又由位似的性质知，该切线与另一圆也相切。作法：1.连结 O1O2，并延长。2.过 O1、O 2作 O1O2的垂线，分别交O 1、O 2于点 A1A2。（注：当作外公切线的时候 A1A2取在 O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在 O1O2的不同侧） 3.连结 A1A2并延长，交 O1O2于点 O。4.以 OO1为直径作圆，交O 1于点 B1、 B3。5.连结 OB1并延长交
3、O 2于点 B2，连结 OB3并延长交O 2于点 B46则 B1B2、 B3B4为两圆的公切线位似点 O B3 A2 B1 A1 O1 O2 B4 B2 O2 O1 1A2 B1 B2 A 1 B4 B3 位似点 O 证明：在位似的O 1、O 2中，已知 A1O1、A 2O2 都垂直于 O1O2，则垂线 A1O1和垂线 A2O2的性质相同，它们两端点的连线交于位似点 O又 OO1为直径，OB 1O1 =90OB 1B2在同一直线上 B 1B2两点的性质相同OB 1O1 =OB 2O2 =90B 1B2为两圆的公切线，同理 B3B4也为两圆的公切线。二、运用相似三角形的性质我们知道两个相似的三角
4、形，它们的对应角都相等，所以我们可以尝试构造两个相似的直角三角形。而我们要确定两个直角三角形相似，只需满足一条直角边与斜边的比例相等即可。我们在找比例线段的时候，可以从相似三角形入手，当我们连接两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，会与圆交于两B2 点，这两点所在的直线与垂线和连心线就会形成两个相似三角形。并且它们的相似比就是半径比，我们再以两个三角形在在连心线上的边为直径作圆，由直径所对的角为直角，我们可以得到两个直角三角形，且它们有两条边的比都为半径比，即两个直角三角形相似，它们的顶角相等，则它们有一对直角边在同一条直线上，那条直线即为两圆的公切线。作法：1. 连结 O1、O 2，并延
5、长。2.过 O1、O 2作 O1O2的垂线，分别交O 1、O 2于点 A1A2。（注：当作外公切线的时候 A1A2取在 O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在 O1O2的不同侧） 3.连结 A1A2并延长，交 O1O2于点 O。4.以 OO1为直径作圆，交O 1于点 B1B3，以 OO2为直径作圆，交O 1于点B1B4。5.连结 OB1 、OB 2，连结 OB3 、OB 4。6则 B1B2、 B3B4为两圆的公切线。B3 A2 B1 B2 A1 O1 O2 B41 O O2 O1 A2 B1 B2 A1 B4 B3 O 证明：已知 A1O1、A 2O2 都垂直于 O1O2，则OA 1O1=O
6、A 2O2=90又A 1OO1=A 2OO2，则OA 1O1OA 2O2，且 OO1：OO 2=A1O1：A 2O2= r：R由 OO1 、 OO2是直径 有OB 1O1=90、OO 2B2=90又 OO1：OO 2= O1B1：O 2B2= r：RRtOB 1O1RtOB 2O2，OB 1O1 =OB 2O2 （HL） OB 1B2在同一直线上B 1B2为两圆的公切线，同理 B3B4也为两圆的公切线三、构造矩形我们知道，公切线会垂直于两切点到圆心的连线，如果把公切线沿小圆切点到圆心的方向平移，就会得到一个矩形，还会得到一个直角三角形，该直角三角形有一条直角边为公切线的平行线，另一条为大圆与小
7、圆的半径差（和） ，斜边为连心线。所以，我们可以先在大圆圆心以半径差（和）作圆 ,再以连心线为直径作圆，交点连结得到直角三角形，接着作出平行四边形即可得到公切线。作法： 1. 1.连结 O1O2，并延长。2.以 O2为圆心，O 1、O 2的半径差(和)为半径作O 3。（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和） 3.以 O1O2为直径作圆，交O 3 于点 A1、 A2 。4.连结 O2A1、O 2A2 并延长交O 2于点 B2、B 4, 连结 O1A1、O 1A15. 过点 B2取 B2B1=O1A1 交O 1于点 B1，连结 O1B1。6B 1B2为两圆的公切线，同理 B3B4也为
8、两圆的公切线B1 A2 A1 O2 O1 B4 B3 B2 B1 A2 A1 O2 O1 B2 B3 B4 O 证明：已知 O1B1=r、O 2B2=R、O 2A1=R-r，A 1B2=r=O1B1，又 O1A1=B2B1四边形 O1A1B2B1 为平行四边形又 O1O2为O 1O2A1直径，O 1A1O2 =90 O1A1B2B1 为矩形，O 1B1B2=A 1B1B2=90B 1B2为两圆的公切线 ，同理 B3B4也为两圆的公切线四、结合位似与相似三角形的由上述证明中，我们知道，公切线与连心线和切点到圆心的连线会组成两个相似的直角三角形，并且相似比就为半径比。我们要作的是公切线，那么我们只
9、要在连心线上找到两段线段等于半径比，再以这两段线段为直径作圆，就可以作出两个相似的直角三角形，那两条直角边同时所在的直线即为公切线。而连心线上的两段线段等于半径比，我们可以通过位似的性质，运用已知的两半径长度构造平行线，找出位似中心从而得到。作法：1.连结 O1O2，并延长。2.作一条线段平行于 O1O2，并在线段上截取长度 R和 r，把 O1O2 连结到R和 r的和（差）线段 A1A2的端点，两线会交与点 O3。（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3. 把 O3 与 r的两端点 A2A1相连并延长，会交连心线 O1O2于 O1、 O。4.以 OO1为直径作圆，交O 1于点
10、B1B3，以 OO2为直径作圆，交O 1于点B1B4。5.连结 OB1 、OB 2，连结 OB3 、OB 4。6则 B1B2、 B3B4为两圆的公切线。O2 O1 A2 B1 B2 O3 B4 B3 r R A1 A O O3 B3 r B1 B2 R O1 O2 B4 O A2 A1 A 证明： AA 2O 1O2，线段 AA2与 O1O2位似OO 1：OO 2= AA1:AA2=r：R由 OO1 、 OO2是直径,有OB 1O1=90、OO 2B2=90RtOB 1O1RtOB 2O2，OB 1O1 =OB 2O2 （HL） OB 1B2在同一直线上B 1B2为两圆的公切线，同理 B3B4也为两圆的公切线
