1、1.（本小题满分 14 分）已知数列 中， ，且当 时， ， .,nab1ab2n10na12nnb记 的阶乘 ！ n(1)23n（1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 为等差数列；n nb（3）若 ，求 的前 n 项和.2nacbnc解：（1） , ，101a23()()2nnna！ 2 分13又 ， ！ 3 分!1ana（2）由 两边同时除以 得 即 4 分12nb2n12nb12nb数列 是以 为首项，公差为 的等差数列 5 分，故 6 分1()122n n(1)2nb（3）因为 8 分12 ,() nnna 记 =A313452na10 分111()()()()2 2n n记 的前
2、 n 项和为bnB则 01213nnB 2()2由-得： 0121nnn 2(1)nn13 分 = 14 分123nnScc()nnAB2 （本小题共 13 分）定义：如果数列 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 为“三角形”数na na列对于“三角形”数列 ，如果函数 使得 仍为一个“三角形”数列，则称()yfx()nbfa是数列 的“保三角形函数” ()yfxn *N（）已知 是首项为 ，公差为 的等差数列，若 是数列 的na21()1)xfkna“保三角形函数” ，求 的取值范围；k（）已知数列 的首项为 ， 是数列 的前 n 项和，且满足 ，证明nc03nSc+143805
3、2nS是“三角形”数列；n（）若 是（）中数列 的“保三角形函数” ，问数列 最多有多少项?()lgxncnc(解题中可用以下数据 : )l20.31,lg0.47,lg213.04（）显然 对任意正整数都成立，即 是三角形数列1,nnnaana因为 ，显然有 ，1k12()()nfffa由 得2()nnnffnk解得 .1-50412lglgnncc由得 ，解得 ,3-l4（ ） 27.由得 ，解得 .g201n6n即数列 最多有 26 项. 13 分b3.（本小题满分 14 分）已知数列 中， ， ，且 na123a112nna（1）设 ，是否存在实数 ，使数列 为等比数列若存在，求出 的
4、值，若不存nbb在，请说明理由；（2）求数列 的前 项和 Ks5uKs5unanS（1）方法 1：假设存在实数 ，使数列 为等比数列，nb则有 1 分23b由 ， ，且 ，得 ， 1a2112nna35a4所以 ， ， ，2 分13b335ba所以 ，2535解得 或 3 分当 时， ， ，且 ，11nnba11nba214ba有 4 分1112nnn当 时， ， ，且 ，2ba12nba21ba有 5 分112nn n所以存在实数 ，使数列 为等比数列b当 时，数列 为首项是 、公比是 的等比数列；1n42当 时，数列 为首项是 、公比是 的等比数列6 分21（2）解：由（1）知 ，7 分1
5、142nna当 为偶数时， 8 分n3561nSaa9 分246n10 分2143nn当 为奇数时， 11 分n 12451n nSaaa12 分35n13 分122854n故数列 的前 项和 14 分na21,35,nnS为 偶 数 ，为 奇 数 .注：若将上述和式合并，即得 21143nnn4. （本小题满分 14 分）已知数列 na满足： 123,(1,23)nnaa （1）求 123,的值；（2）求证：数列 1na是等比数列； （3）令 ()nb（ ,23.） ，如果对任意 *nN，都有 214nbt，求实数 t的取值范围.4、 （I） 1237,48aa 3 分（II）由题可知： 1
6、231nnaa 11na 5 分-可得 1n 即： 1()2nnaa，又 12 7 分数列 1na是以 2为首项，以 12为公比的等比数列 8 分（）由（II）可得 ()nn， nb9 分由 11 1122()30nnnnnb可得 3n 11 分由 10n可得 3,所以 12345nbbb 故 b有最大值 348b 所以，对任意 *nN，有 n 12 分如果对任意 ，都有 214bt，即 214nbt成立，则 2max1()4nbt，故有： 8， 解得 或 t 实数 的取值范围是 (,2， ） 14 分5.（本小题满分 14 分）已知二次函数 ()fxabx的图像过点 (4,0)n，且 ()2
7、fn， N（1）若数列 na满足 1nn0，且 14，求数列 a的通项公式；（2）若数列 满足: , ,当 时, b2nb*3,N求证: *212nnN1221nbb【 解 析 】 （1） ()fxab，有题意知 n， 640a ,2n，则 2(),*fxx (2 分)数列 na满足 1()nnfa又 n， 12n， 12n，21246(1)n na224() (N*)()()nnaa当 时, 1a也符合 (6 分) （2）由 得 , 由 得1b2311nnba123nb即 n124n21n由 及 , 可得: ,213nbb213215437nbA 2174159nnbA(10 分)214n由
8、 得 相减得 11nnba121,3nnbb由 知: 12nn1n所以 1331421nbbbb (14 分)121n1n121n6.（本题满分 14 分）己知数列 满足： ，na.1为 偶 数为 奇 数nan,21(1) 求 ，23(2) 设 ，求证 是等比数列，并求其通项公式；*,Nnabnnb(3) 在(2)条件下，求数列 前 100 项中的所有偶数项的和 S。a. 解：(1) ， 4 分25,32(2) 6 分21)4(1212221 nnnn aaab8 分2n9 分11ab数列 是等比数列，且 l0 分n nnnb)21()(2（3）由()得； l2 分503,2 n14 分502
9、1042aS 505050219121)(7(本小题满分 14 分)已知数列 的前 n 项和为 ，对任意 ，都有 且 ,令nS*Nna12nn(a)S。1nlab(1)求数列 的通项公式；n(2)使乘积 为整数的 叫“龙数”，求区间1，2012内的所有“龙数”之和；12kb.A*(kN)(3)判断 与 的大小关系，并说明理由n8、 （满分 14 分）已知函数 满足 且 ，)(xf )()(yfxyf)R、 21(f（1）当 时，求 的表达式；Nnn（2）设 ，若 ，求证fa),( nnaaS321 nS（3）设 ， 的前 n 项和，求)(1nfbn nbT为 nTT1132.解：（1） 满足x
10、 ),(Ryxfy令 则 2 分1,y1)Nnf由 2)(f 2)(nf )( 是以 为首项，公比为 的等比数列4 分nf1f 1则 5 分n2)()(（2）由 6 分nfa)(N nS143121432n两式相减： 1432 nn9 分11221)(nn 10 分)(22NnnSn 时 11 分N0n 2nS即（3）由 12 分2)(1fbn 14 分)(4)13 NnnTn则 )1(4321132 Tn)1()1()(4 n16 分41n9 （本小题满分 14 分）已知一非零向量列 满足： ， . na1,11,2nnnnaxyxy 2（1）证明： 是等比数列；（2）设 是 的夹角 ， =
11、 ， ，求 ；n1,n2nb112nnSbb S（3）设 ，问数列 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明c2logac理由. 解：（1） 3 分22211112nnnnnaxyxyxya 2数列 是以公比为 ，首项为 的等比数列；4 分n 1a（2） ，1naA1,nxy221111,2nnnnxyxyaA = ，6 分4 = ，7 分nb。9 分221124n nS n （3）假设存在最小项，设为 ，nc ，10 分122nnna ，11 分2nnc由 得当 时， ；1n567c 由 得当 时， ；13 分c41c 故存在最小项为。 14 分325c10、 （本题 14 分
12、，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分）已知数列 ，记 , ,na123()nAaa2341()nBaa, ，并且对于任意 ，恒有 成立3452()nCn,.)N0n（1）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数列 的12,aN(,)(AnBCna通项公式；（2）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数nq nN组成公比为 的等比数列(),()ABC解：（1） =+，所以 为等差数列。*+212-4,nNnana*43,（2） （必 要性）若数列 是公比为 q 的等比数列，则 ，na23+11(n)=naBqA ，所以 A(n)、B(n)、C(n) 组成公比为 q 的等比数列。34+221(n)=naCB （充分性）：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，N(),()AnBC则 ，(),()nqAnqB于是 得 即(),C21(),nnaqa由 有 即 ，从而 .来源:学科网 ZXXK2121.naa 1(),A21210nqa因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。0na21naqna1q综上，数列 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 ，都有 A(n)、B(n)、C(n)组成n *nN公比为 q 的等比数列。
