1、- - 1 - -立体几何基础题题库（有详细答案）1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为1 和2，则l BA， AB、（A）1+2=90 0 （B）1+ 290 0 （C）1+290 0 （D ）1+ 290 0解析：C21BA如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和2 分别为直线 AB 与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平,面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2ABO90290AO2. 下列各图是正方体或正四面体，P ， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PQRSPQRS（A） （B） （C
2、） （D）D解析： A 项： 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形PSB 项： 如图SRQPCDCDBBAAC 项：是个平行四边形- - 2 - -D 项：是异面直线。3. 有三个平面 ， ， ，下列命题中正确的是（A）若 ， ， 两两相交，则有三条交线 （B）若 ， ，则 （C）若 ， =a， =b，则 ab （D）若 ， = ，则 =D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C 项：如图4. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1
3、 的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为1O11OAD1C解析： 平面 AB1 ， 如图：P CDCDBBAAP 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的1B,BCP距离相等，建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是（A）4 条 （B）6 条 （C）8 条 （D）10 条C- - 3 - -解析：如图D CCDBBAA这样的直线有 4 条，另外，这样的D CCDBBAA直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B ，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则BCD0CAB0 0
4、A是（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设 AB 为 a，AD 为 b，AC 为 c，且 则， BD= ，CD= ，BC=abc2ab2cb如图c baDCBA则 BD 为最长边，根据余弦定理2ac最大角为锐角。所以222os 0acbabDc DCBBCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）若 若/,b则aa则,/ a则 则若 ,b其中正确的命题的个数是 （ ）A0 个 B 1 个 C2 个 D3 个B 解析：注意中 b 可能在 上；中 a 可能在 上；中 b/，或 均有 ，b故只有一个正确命题
5、- - 4 - -8.如图所示，已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为 ，底2面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC3所成角的大小为 （ ）A90 B 60C45 D 30B 解析：平移 SC 到 ，运用余弦定理可算得BS .2BSE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q; M内不共线的三点到 N 的距离相等 ; l, M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是 （ ）A1 B
6、2 C3 D4只有、能判定 M/N，选 B10. 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1BCB 1，则 A1B 与 AC1所成的角为（A）45 0 （ B）60 0（C）90 0 （ D）120 0C 解析：作 CDAB 于 D，作 C1D1A 1B1 于 D1，连 B1D、AD 1，易知 ADB1D1 是平行四边形，由三垂线定理得 A1BAC 1，选 C。 1 唱唱- - 5 - -11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A. B. C. D.332325解析：正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。 （可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线 、m 都在平面
7、 内，并且都不在平面 内；乙：直线 、ml l中至少有一条与平面 相交；丙：平面 与平面 相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若“ 、m 中至l l少有一条与平面 相交” ，则“平面 与平面 相交 ”成立；若“平面 与平面 相交” ，则“、 m 中至少有一条与平面 相交”也成立选（C） l13. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平
8、面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是解析：（1）成立，如 m、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面 的同一侧，且它们到 的距离相等，则平面 为所求， （4）成立，当 m、n 所在的平面与平面 垂直时，平面内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3 B 1 或 2 C1 或 3 D2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若 为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 （ ）ba、A相交 B异面 C平行 D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1AB
9、CD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为 （ ）- - 6 - -A B64C D32解析：D B1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点 P、Q、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图：SRQPCDCDBBAA18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC 等于 （ ）A45 B60C90 D120解析：B 如图CBA右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题
10、：AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行- - 7 - -AB 与 MN 所在直线成 60角； MN 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是 （ ）A B C D解析：DNMFEDCBA19线段 OA， OB， OC 不共面， AOB= BOC= COA=60 ， OA=1， OB=2， OC=3，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B 非等边的等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：B 设 AC=x， AB=y， BC=z，由余弦定理知： x2=12+32-3=7， y2=12+22-2=3， z2=22+32-6=7。 ABC 是不等边的等腰三角形，选（ B） 2
11、0若 a， b， l 是两两异面的直线， a 与 b 所成的角是 ， l 与 a、 l 与 b 所成的角都是 ，3则 的取值范围是 （ ）A B C D 65,2,365,32,6解析：D解 当 l 与异面直线 a， b 所成角的平分线平行或重合时， a 取得最小值 ，当 l 与 a、 b 的公垂线平6- - 8 - -行时， a 取得最大值 ，故选（ D） 221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时 , 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2
12、m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42 米解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高， CE= 米，树影长1.2,09CDE1.8BE= 米，树高.71083. AB= 10.9BE= 米。4222如图,正四面体 ABCD（空间四边形的四条边长 及两对角线的长都相等）中, 分,EF别是棱 的中点, 则ADBC和 所成的角的大小是_.EF解析：设各棱长为 2，则 EF= ，取 AB 的中点为 M， 2cos.MFE即 .423OX，OY ，OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线，点 P 到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则 OP 长 为_.解析：在
13、长方体 OXAYZBPC 中，OX 、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又ABCDEFAB EDC- - 9 - -PZ OZ，PY OY，PX OX，有 OX2+OZ2=49，OY 2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37， OP= 3724设直线 a 上有 6 个点，直线 b 上有 9 个点，则这 15 个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面； 当直线 a，b 异面时，直线 a 与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面，直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面，所以一点可以确定 15 个不同的平面2
14、5. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点求证： EF 和 AD 为异面直线.解析：假设 EF 和 AD 在同一平面 内，（2 分） ，则 A，B，E，F ；（4 分）又A，E AB，AB ，B ，（6 分）同理 C （8 分）故 A，B，C ，D ，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点， F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 .2GF解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分） 2EGFH=2 =2()EF2211()(
15、)ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一 点，PBAB，M 是 PA 的中点，ABMC ，求异面直 MC 与 PB 间的距离.解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N （2 分） PBAB，PBMN。 （4 分）又 ABMC，MNMC （8 分）MN 即 为异面直线MC 与 PB 的公垂线段， （10 分）其长度就是 MC 与 PB 之间 的距离， 则得 MN= AB=122.ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中, A 1A=AB， E、F 分别是 BD1 和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的
16、角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.（1）解析：在平行四边形 中，E 也是 的中点， ， （2 分）BA1AC1/EFCDABCDE GPA BCM FB - - 10 - -两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形1,ABDC，D 1C CD1 异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D 1F= EFBD 1 （9 分）,42BFA.由平行四边形 ，知 E 也是 的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1 的对称中心， （
17、121BAC1分）EA=ED，EFAD，又 EFBD 1，EF 是异面直线 BD1 与AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平 面外有一点 P，PB=PC= ，PA= ，延长 BP 至 D，使73BD=，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小和7 这两条直线间的距离.解析：分别连接 PE 和 CD，可证 PE/CD， （2 分）则PEA 即是 AE 和 CD 所成角 （4 分）在 RtPBE 中，PB= ，BE=1，PE= 。在AEP 中，AE= ，72323 cosAEP= 3941AEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60
18、 （7 分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段， （12 分）它们之间的距离为 1 （14 分）FE C B ADACBD- - 11 - -30. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F ，G，H，M，N 分别是正方体的棱 AB，BC ，1,A的中点，试证：E，F，G ，H，M，N 六点共面1,CD1解析：EN/MF，EN 与 MF 共面 ， （2 分）又EF/MH，EF 和 MH 共面 （4 分）不共线的三点 E，F，M 确定一个平面， （6 分）平面 与 重合，点 H 。 （8 分）同理点G （10 分）故 E，F，G，H ，M
19、，N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）A1 条 B2 条 C3 条 D1 条或 2 条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选 D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 （ ）A4 个 B5 个 C6 个 D8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面， 个。246C33.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG交于点 M，则 （ ）AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在
20、 BD 上DM 不在 AC 上，也不在 BD 上解析：平面 ABC平面 ACD=AC，先证 M平面 ABC，M平面 ACD，从而 MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .- - 12 - -解析：6 条35. 已知： ./, aPQbAaba)12.(:分求 证 PQ本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ 与 a 确定一个平面 .,Pa点直 线pbp,PQ重 合与又36. 已 知 ABC 三 边 所 在 直 线 分 别 与 平 面 交 于 P、 Q、 R 三 点 ， 求 证 ： P、 Q、 R 三 点 共 线 。 （
21、12 分 ）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面 又 P且,.,lp则设内内 又 在既 在点 .,:三 点 共 线同 理 可 证RQPl37. 已知：平面 ,/, acAab且平 面 求证：b、c 是异面直线解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交., ,)2(/./1是 异 面 直 线 矛 盾这 与即 又则相 交 于若 矛 盾这 与若 cbAABaa38. 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2 ，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF= ，求 AD 与 BC 所3成角的大小（
22、本题考查中位线法求异面二直线所成角）- - 13 - -解析：取 BD 中点 M，连结 EM、MF ，则60,120 2132cos,3, ,1/1/ 2所 成 角 的 大 小 为异 面 直 线 由 余 弦 定 理 得中在 且且 BCADEFMFEBCF 39. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，求异面直线 CM与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取 DD1 中点 G，连结 BG，MG ，MB，GC 得矩形 MBCG，记 MCBG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与
23、 D1N 所成的角.954sin91cos )()232BOCBaCaaAM设 正 方 体 的 棱 长 为而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为40. 如图，P 是正角形 ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是 AB 和 PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN 是 AB 和 PC 的公垂线（2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析：（1）连结 AN，BN，APC 与BPC 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AN=BN又M 是 AB 的中点，MNAB同理可证 MNPC- - 14 - -又MNAB=M，MNPC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）
24、在等腰在角形 ANB 中， aABNMaABN2)1(,232即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为 .41 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有 3 个，也可能有 2 个 B可能有 4 个，也可能有 3 个C可能有 3 个，也可能有 1 个 D可能有 4 个，也可能有 1 个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有 4 个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1 个 B2 个 C3 个
25、 D4 个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1 个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它
26、们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论 2，推论 3 确定平面的条件。- - 15 - -45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3 个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1 个或 3 个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定 3 个。
27、47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图 1-8-甲，1-8-乙48.经过平面 外两点 A，B 和平面 垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面 时，只有一个。当 A，B 垂直于平面 时，有无数多个。 49. 设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若 AB12 ，CD4 ，2且四边形 EFGH 的面积为 12 ，求 AB 和 CD 所成的角. 3解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG 就是 异面直线 AB 和 CD 所成的角.H GFEDCBA- -
28、16 - - EFGH 是平行四边形，HG AB6 ，21HE ，CD2 ，13 SEFGHHGHEsin EHG12 sinEHG, 12 sinEHG12 .663 sinEHG ,故EHG45.2 AB 和 CD 所成的角为 45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且 EF= AD，求异面直线2AD 和 BC 所成的角。 （如图） 解析：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG。因 D、F 分别是AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG= BC，FGAD，且21 FG= 21AD，由
29、异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角 为异面直线 AD、BC 所成角，即EGF 为所求。由 BC=AD 知EG=GF= AD，又 EF=AD， 由余弦定理可得 cosEGF=0，即21EGF=90。注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。51. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。 求：AM 与 CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接 DM,过 N 作 NE
30、AM 交 DM 于 E，则CNE 为 AM 与 CN 所成的角。 N 为 AD 的中点, NE AM 省 NE= AM 且 E 为 MD 的中点。21设正四面体的棱长为 1， 则 NC= = 且 ME= MD=3421ABCGFED- - 17 - -43在 RtMEC 中，CE 2=ME2+CM2= + = 16347cosCNE= ,3243216)(2222 NEC又CNE (0, ) 异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .3注：1、本题的平移点是 N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN 外计算CE、CN、EN 长，再回到CEN 中求角。2、作出的角可能是异面直线
31、所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角） 。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. .如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7 ， 。求异面直线 AB 与 CD 所成的角。 31CBFDA解析：在 BD 上取一点 G，使得 ，连结 EG、FG 在 BCD 中， ，故 EG/CD，并且BEC 41BCEDG， 所以，EG=5；类似地，可证 FG/AB，且 3AF， 故 FG=3，在 EFG
32、 中，利用余弦定理可得 cosFGE= 2153272GFE，故FGE=120 。 ABCDEFGED1 C1 B1A1A BD CO- - 18 - -另一方面，由前所得 EG/CD，FG/AB ，所以 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角，于是 AB 与 CD 所成的角等于 60。53. 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1=c，AB=a，AD=b，且 ab求 AC1与 BD 所成的角的余弦解一：连 AC，设 ACBD=0，则 O 为 AC 中点，取 C1C 的中点 F，连 OF，则 OFAC1 且 OF= AC1，21所以FOB 即为 AC1 与 DB 所
33、成的角。在FOB 中，OB= ，OF= ，BE= ，由余弦定理得21ba221cba24cbcosOB= 222241)41()()( cbaba = )222)(cba解二：取 AC1中点 O1，B 1B 中点 G在C 1O1G 中，C 1O1G 即 AC1 与 DB 所成的角。解三：延长 CD 到 E，使 ED=DC则 ABDE 为平行四边形AEBD，所以EAC 1即为 AC1与 BD 所成的角连 EC1，在AEC1中，AE= ，AC1= ，C1E= 由余弦定理，得2ba22cba24cacosEAC 1= = 0222 )()()()222)(cba所以EAC 1为钝角根据异面直线所成角
34、的定义，AC 1 与 BD 所成的角的余弦为 )(222cba54. 已知 AO 是平面 的斜线，A 是斜足，OB 垂直 ， B 为垂足，则直线 AB 是斜线在平面 内的射影，设 AC 是 内的任一条直线，D1A1 B1C1O1A BD C GFO- - 19 - -解析：设 AO 与 AB 所成角为 ，AB 与 AC 所成角为 ，12AO 与 AC 所成角为 ，则有 。2coscos在三棱锥 SABC 中，SAB= SAC=ACB= ， ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 （略去了该题的909,3,2SBCA1,2 问）由 SA平面 ABC 知，AC 为 SC 在平面 ABC 内的
35、射影，设异面直线 SC 与 AB 所成角为 ，则 ，BACScossco由 得29,3,2BCA 2,3,17SCA ， ，1cosScos ， 即异面直线 SC 与 AB 所成角为 。17s 17arcos55. 已知平行六面体 的底面 ABCD 是菱形，且1DCBA，证明 。6011 CBB（略去了该题的 2，3 问）解析： 设 在平面 ABCD 内射影为 H，则 CH 为 在平面 ABCD 内的射影，1 1 ，DCCDcoscscos1 ，BBo1A C BOCAACSBB AHC DD1B1 A1C1- - 20 - -由题意 ， 。CBD11BCHDcoscos又 ),0,H ， 从
36、而 CH 为 的平分线，又四边形 ABCD 是菱形， BC 与 BD 所成角为 ， 即C190D156 在正四面体 ABCD 中，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求异面直线 AE 与 CF 所成角的大小。解析： 连接 BF、EF，易证 AD平面 BFC， EF 为 AE 在平面 BFC 内的射影，设 AE 与 CF 所成角为 ， ，CFEAcossco设正四面体的棱长为 ，则 ，aaB23显然 EFBC， ，EF2 ， ，36cosA36cosCFEA ， 即 AE与 CF 所成角为 。22arcos57. 三棱柱 ，平面 平面 OAB，1BO1O，且 ，求异面直线 与 所成角的大小，90
37、,601A3,2ABA11O（略去了该题的 1 问）解析： 在平面 内作 于 C ，连 ，11B CA DE FBOO1CAB1A1- - 21 - -由平面 平面 AOB， 知，1BO90AOBAO平面 ， ， C又 ， BC平面 ，A1 1 为 在平面 内的射影。C1B1AO设 与 所成角为 ， 与 所成角为 ， 1C12则 ，2coscso由题意易求得 ，7,311BAB ，7cos1AC在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值： ，1O11O2147cos2 ，7coscso21CBA即 与 所成角为 。11ar58. 已知异面直线 与 所成的角为 ，P 为空间一定点，则过点 P 且与
38、， 所成的角均是 的b50ab30直线有且只有（ ）A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解析： 过空间一点 P 作 ， ，则由异面直线所成角的定义知： 与 的交角为 ，过ab ab50P 与 ， 成等角的直线与 ， 亦成等角，设 ， 确定平面 ， ， 交角的平分线为 ，则过abab l且与 垂直的平面（设为 ）内的任一直线 与 ， 成等角（证明从略） ，由上述结论知： 与ll ， 所成角大于或等于 与 ， 所成角 ，这样在 内 的两侧与 ， 成 角的直线各有 l 25l3一条，共两条。在 ， 相交的另一个角 内，同样可以作过 角平分线且与 垂直的平面 ，ab130130由上述结论知
39、， 内任一直线与 ， 所成角大于或等于 ，所以 内没有符合要求的直线，因此 6过 P 与 ， 成 的直线有且只有 2 条，故选（B）30- - 22 - -59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60. l1、l 2 是两条异面直线，直线 m1、m 2 与 l1、l 2 都相交，则 m1、m 2 的位置关系是（ ）A.异面或平行 B.相交C.异面 D.相交或异面解析：D61. 在正方体 ABCD-ABCD中,与棱 AA异面的直线共有几条（ ）A.4 B.6C.8 D.10解析：A62.在正方体 ABCD-ABCD中 12 条棱中能
40、组成异面直线的总对数是（ ）A.48 对 B.24 对C.12 对 D.6 对解析：B- - 23 - -CDCBAA BD棱 AA有 4 条与之异面,所以,所有棱能组成 412=48 对,但每一对都重复计算一次,共有 24 对.63 正方体 ABCD-ABCD中,异面直线 CD和 BC所成的角的度数是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BCCDDBAA BADC=60即为异面直线 CD和 BC所成的角的度数为 6064.异面直线 a、b，a b，c 与 a 成 30角，则 c 与 b 成角的范围是 （ ）A. 3 ,2 B. 6 ,2 C. 6 ,23 D. 3 ,23 - -
41、 24 - -解 Abc1c2直线 c 在位置 c2 时,它与 b 成角的最大值为 90,直线 c 在 c1 位置时,它与 b 成角的最小值是 6065如图，空间四边形 ABCD 的各边及对角线长都是 1，点 M 在边 AB 上运动、点 Q 在边 CD 上运动，则 P、Q 的最短距离为（ ）A .12 B. 22 C.34 D.32解析：B当 M,N 分别为中点时。因为 AB, CD 为异面直线，所以 M, N 的最短距离就是异面直线 AB,CD 的距离为最短。连接 BN,AN则 CDBN,CD AN 且 AN=BN,所以 NMAB。同理，连接 CM,MD 可得 MNCD。所以 MN 为AB,
42、CD 的公垂线。因为 AN=BN32所以在 RTBMN 中，MNBN2-BM2= 34-14 = 22求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点，EF3，则 AD,BC 所成的角为（ ）A.30 B.60C.90 D.120解 BcosEMF=12+12- 3 2211 =-12注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所 成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能
43、是钝 角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过 程。MFEB DCA- - 25 - -67. 直线 a 是平面 的斜线，b 在平 内，已知 a 与 b 成 60的角，且 b 与 a 在平 内的射影成45角时，a 与 所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解 AAaACACCABbBOBABCOBBCcosAOC=OCOA cosAOB=cos60=OBOAcosBOC=cos45=OBOCcosAOC=OCOA=cosAOBcosBOC=cos60cos45= 22 AOC=4568. m 和 n 是分别在两个互相垂直的面 、 内的两条直线， 与 交于 l
44、，m 和 n 与 l 既不垂直，也不平行，那么 m 和 n 的位置关系是A.可能垂直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。设 m/n,由于 m 在 外，n 在 内，m/而 过 m 与 交于 lm/l，这与已知矛盾，m 不平行 n.设 mn，在 内作直线 l,a,ma.又由于 n 和 a 共面且相交（若 a/n 则 nl，与已知矛盾） baO CBA- - 26 - -m,ml 与已知矛盾，m 和 n 不能垂直.综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A 1B1C1D1 是正方体，E、F 分别是 AD、DD 1 的中点，则面 EFC1B 和面 BCC1 所成二面角的正切值等于解析：为了作出二面角 E-BC1-C 的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤） 。从图形特点看，应当过 E（或 F）作面 BCC1的
