1、4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 1 of 16例题精讲板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 ，则三角形面积与原来的一13样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取
2、决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 12:SabbaS2S1DCBA夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高
3、之比【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；6 个面积相等的三角形【例 2】 如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？三角形等高模型与鸟头模型4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 2 of 16【例 3】 如右图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面ABFECDAB4BC3积是 平方厘米A BCDE F【例 4】 如图，长方形 的面积是
4、 平方厘米，点 、 、 分别是长方形 边上的中点， 为AB56EFGABCDH边上的任意一点，求阴影部分的面积HGFEDCBA【例 5】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面AD2cmEFGHAD积是多少？HGFEDCBA【例 6】 长方形 的面积为 36， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是ADEFHAD多少？HGFEDCBACDBA4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 3 of 16(H)GFEDCBA【例 7】 如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC， 厘米， 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形12A
5、D3EEBC 面积的几倍？ED CBA【例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形A一共有哪几个三角形？F DECBA【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形 的面积为 1，其中 ， ，三角形ABC3AEB2DC的面积是多少？DEA B ECDDCEBA【例 10】 (2008 年四中考题)如右图， ， ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABEFC的面积是 平方厘米ABFEDCBA【例 11】 如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是 36个平方单位，求三
6、角形 EFG 的面积是多少个平方单位FEGD CBA 4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 4 of 16【例 12】 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积48cm224cm236cm212cm2M NDCBA12cm2 36cm224cm248cm2【例 13】 如图，三角形 中， ， ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形ABB3EA的面积是多少？ABCED CBA【例 14】 (2009 年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形 中，已知三角形 、三角形ABCADE、三
7、角形 的面积分别是 89，28，26那么三角形 的面积是 CE DE EDCBA【例 15】 (第四届小数报数学竞赛)如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积DCBA【例 16】 图中 AOB 的面积为 ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积A215cmOCBDA【解析】 在 中，因为 ，且 ，所以有 A215cmAOBS3BOD235cmAODBS4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 pag
8、e 5 of 16因为 和 等底等高，所以有 ABDCABDCS从而 ，在 中， ，所以梯形面积：215cmOSBA2345cmOC480（ ）【例 17】 如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形DCBA【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 ，黄色三角形面积是 问：长方形的面积是多少平方厘米？15%21cm 红绿黄红【例 19】 是长方形 内一点，已知 的面积是 ， 的面积是 ，求 的面OABCDOBC25cmOAB2cmOBD积是多少？ PODCBA【例 20】 如右图，过平行四边形 内的一点 作边的平行线 、 ，
9、若 的面积为 8 平方ABDPEFGHPBD分米，求平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大多少平方分米？HFAAB CDE FGHP【例 21】 如右图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积ABD20BPC15BPD P DCBA【例 22】 在长方形 内部有一点 ，形成等腰 的面积为 16，等腰 的面积占长方形面ADOABDOC积的 ，那么阴影 的面积是多少？18%4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 6 of 16OD CBA【例 23】 （2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形 中， 、ABCDE分别是其两腰 、 的中
10、点， 是 上的任意一点，已知 的面积为 ，而FCDGEFG215cm的面积恰好是梯形 面积的 ，则梯形 的面积是 BCGAB720ABCD2cAB CDE FG【例 24】 如图所示，四边形 与 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等ABDEGFGFED CBA【例 25】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， 1.5， 2长方形 EFGH 的面积为 AECFHGFEDCBA【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDFA的面积A E BFCD4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 7 of 16【例 27】
11、图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米【例 28】 如图，有三个正方形的顶点 、 、 恰好在同一条直线上，其中正方形 的边长为 10DGKGFEB厘米，求阴影部分的面积KOQPHG FED CBA【例 29】 (2008 年”华杯赛”决赛)右图中， 和 是两个正方形， 和 相交于 ，已知ABCDGEFAGCFH等于 的三分之一，三角形 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 的面积CHFHBEHGF EDCBA【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图， 、 分别是梯形 的下底 和腰 上的EFABCDCD点， ，并且甲、乙、丙 个三角形
12、面积相等已知梯形 的面积是 平方厘米求DF3 32图中阴影部分的面积AB CDEF丙丙丙【例 31】 如图，已知长方形 的面积 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，那么ADEF16ADB3ACF4三角形 的面积是多少？A4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 8 of 16FEDCBA【例 32】 如图，在平行四边形 中， ， 求阴影面积与空白面积的比ABC2FDHAB CDEFG【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形 中， 是 边的中点，ABCDB是 边上的一点，且 ， 为 与 的交点若 的面积为 平方厘米，A3AECODBEEOa的面积为
13、 平方厘米且 是 平方厘米，那么三角形 的面积是 平方厘DObba2.5米Eb aODCBA【例 34】 如图，在梯形 中， ， ，且 的面积比 的面积小AB:4:3DE:2:3BCBOEAD10 平方厘米梯形 的面积是 平方厘米OAB CDE【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 ， ， 那么图中13549阴影部分的面积是多少？AB CDE49 3513【例 36】 图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？4-2-2 三角形等高
14、模型与鸟头模型 题库 page 9 of 16【例 37】 如图，长方形 的面积是 2 平方厘米， ， 是 的中点阴影部分的面积是ABCD2ECDFG多少平方厘米？GF EDCBA【例 38】 (2007 年六年级希望杯二试试题 )如图，三角形田地中有两条小路 和 ，交叉处为 ，张AECFD大伯常走这两条小路，他知道 ,且 则两块地 和 的面积比是DF2ADEB_FEDC BA【例 39】 ( 年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级 试)如图， ， ， 被208 245BC21ABC分成 个面积相等的小三角形，那么 9DIK KJIHGFEDCBA【例 40】 (2007 年人大附中分班考试题
15、)已知 为等边三角形，面积为 400， 、 、 分别为三边ABCDEF的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积(丙是三角形 )HBC丙丙丙HNMJI FEDCBA【例 41】 (2009 年四中入学测试题)如图，已知 ， ， ， ，线段 将图形5D7E15F6GAB分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 的面积是 AD4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 10 of 16GFEDCBA【例 42】 (2008 年仁华考题)如图，正方形的边长为 10，四边形 的面积为 5，那么阴影部分的面EFGH积是 HGAB CDEF 【例 43】
16、 (2008 年走美六年级初赛)如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 70， ，ABCD8AB，四边形 的面积为 15ADEGOOGFEDCBA【例 44】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形 的面积是 平方厘米，那么四边形 的ABCD56MNPQ面积是多少平方厘米？6523NMQPD CBA 3 36523NMQPD CBA【例 45】 (2008 年日本第 12 届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是 10cm2cm4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 11 of 161cm4cm【例 46】 如图，三
17、角形 的面积是 ， 、 的长度分别为11、3求长方形 的面积AEF17DEBFABCDA BCD EF【例 47】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形 中， ，ABCD67 、 分别是 边上的两点， 那么，三角形 面积的最小值30BCFAB、 49BEFEF是 A BCDEF【例 48】 (2007 首届全国资优生思维能力测试) 是边长为 12 的正方形，如图所示， 是内部任意ACDP一点， 、 ，那么阴影部分的面积是 4BLDM5KNPNMLKD CBA(P)A BCDKLMN【例 49】 如图所示，在四边形 中， ， ， ， 分别是 各边的中点，求阴影部分与四
18、ABEFGHABD边形 的面积之比PQRS4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 12 of 16SR QPHGFEDCBA【例 50】 如图，四边形 中， ， ， ，已知ABD:3:21EF:3:21BGHA:1:2DBC四边形 的面积等于 4，则四边形 的面积 CHH GFEDCBA【例 51】 (2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形 ，在边 、 、 的正中间分ABCBCA别取点 、 、 ，在边 、 、 上分别取点 、 、 ，使 ，当 和LMNALMCNPQRLPMQNRP、 和 、 和 的相交点分别是 、 、 时，使 RPQRXYZXY这时，三角形 的面积是
19、三角形 的面积的几分之几？请写出思考过程XYZBAB CNMQRPLX YZ【例 52】 如图：已知在梯形 中，上底是下底的 ，其中 是 边上任意一点，三角形 、ABD23FBCAME三角形 、三角形 的面积分别为 、 、 求三角形 的面积FN140NDE CDNFEMBA【例 53】 如图，已知 是梯形， ， ， ， ，ABDABC:1:2D:1:3AOFDES24cmBEFS4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 13 of 16求 的面积AOFOFDECBA【例 54】 （2009 年迎春杯决赛高年级组）如图， 是一个四边形， 、 分别是 、 的中ABCDMNABCD点如果
20、 、 与 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，ASMTBDSN则四边形 的面积为 M NTSDCBA板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上， 在 上)，ABC ,DE,ABCDBAEAC则 :():()S EDCBAEDCBA图 图【例 55】 如图在 中， 分别是 上的点，且 ， ，A ,DE,AB:2:5ADB:4:7AEC平方厘米，求 的面积16ADES C4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 1
21、4 of 16EDCBA【例 56】 如图在 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ，A DBAEAC:5:2BAD， 平方厘米，求 的面积:3:2E12ES BEDCBA【例 57】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， ，三角形 AFE(图中阴影部分)的2AFC面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？EFD CBA【例 58】 已知 的面积为 平方厘米， ，求 的面积 7,2,3BECADBFABCFEDCBA【例 59】 如图，三角形 的面积为 3 平方厘米，其中 ， ，三角形 的AB:2:5ABE:3:2CDBDE面积是多少？A B ECDDCEBA【
22、例 60】 (2007 年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形 边长为 6 厘米， ，ABCD13AEC三角形 的面积为_平方厘米13CFBEF4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 15 of 16FEDCBA【例 61】 如图，已知三角形 面积为 ，延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ；AB1ABDABCE2BC延长 至 ，使 ，求三角形 的面积A3EF FEDCB A【例 62】 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，平行四边形ABDE2CFB3GDC4HAD的面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的面积比ABC2EHG A BCD EF 【例 63】 如图，四边形 的面积是
23、 平方米， ， ， ， ，求四EGH6EABCFDCGHDA边形 的面积ABCH GFED CBA【例 64】 如图，将四边形 的四条边 、 、 、 分别延长两倍至点 、 、 、 ，CDABCDAEFGH若四边形 的面积为 5，则四边形 的面积是 EFGH4-2-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库 page 16 of 16ABCDEFGH 【例 65】 如图，在 中，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ， 是 的ABC DBABCE12BCFA中点，若 的面积是 ，则 的面积是多少？ 2EFAB CDEF【例 66】 如图， ， ， ， ， 求 1ABCS 5D4ACDGSEAFGFSASGF ED CBA【例 67】 如图所示，正方形 边长为 厘米， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点，ABD8EADFCEGBF三角形 的面积是多少平方厘米？AAB CDEFG【例 68】 四个面积为 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积1
