1、【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 4.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性【热点题型】题型一 函数单调性的判断例 1、(1)下列函数 f(x)中，满足“ x1，x 2(0 ，)且 x1x2，(x 1x 2)f(x1)f(x 2)1，x 21，x 110，x 210，又 x10， 0，即 y1y 20.x2 x1x1 1x2 1y 1y2，所以函数 y 在(1， )上是减函数x 2x 1答案 (1)C (2) 减函数【提分秘籍】(1)图象法 作 图 象 看 升 降 归 纳 单 调 性
2、区 间(2)转化法(3)导数法 求 导 判 断 f x正 、负 单 调 性 区 间(4)定义法 取 值 作 差 变 形 定 号 单 调 性 区 间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则【举一反三】 下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是( )Ay By (x1) 2x 1Cy2 x Dylog 0.5(x1)题型二 求函数的单调区间例 2、求下列函数的单调区间：(1)yx 22|x|1；(2)ylog (x23x2)12解析 (1)由于 yError!即 yError!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(， 1和0,1，单调递减区间为1,0 和1，) (2)令 ux 23x2，则原函数
3、可以看作 ylog u 与 ux 23x2 的复合函数12令 ux 23x20，则 x2.函数 ylog (x23x2)的定义域为 (，1)(2，)12又 ux 23x2 的对称轴 x ，且开口向上32ux 23x2 在(，1) 上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog u 在(0，)上是单调减函数，12ylog (x23x2)的单调减区间为 (2，)，12单调增区间为(，1) 【提分秘籍】 (1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致常用的方法有： 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间 图象法：如果
4、 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (2)若函数 f(x)的定义域上(或某一区间上 )是增函数，则 f(x1)0 且 a1)；(2)ylog (4xx 2)12题型三 函数单调性的应用 例 3、已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)，且当 x 时， f(x)e xsin x，则( )( 2，2)Af(1)0 恒成立，所以 f(x)在 上为增函数，f(2)f(2)，f(3)f(3) ，( 2，2)且 0f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f” 号，转化为具体的不等式( 组) ，此时
5、要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接. 【举一反三】 已知函数 f(x)的定义域是 (0，)，且满足 f(xy)f(x)f(y)，f 1，如果对于(12)0f(y)(1)求 f(1)的值；(2)解不等式 f(x)f(3x)2.解析：(1)令 xy1，则 f(1) f(1) f(1)，f(1)0.(2)由题意知 f(x)为(0，) 上的减函数，且Error! x0 时，x0，f(x)x 2x， f(x) ( x) 2x x 2x (x 2x)
6、 f(x) 所以对于 x(，0)(0 ，) ，均有 f(x) f(x) 函数为奇函数(2)若 f(x)是奇函数，则对任意的 xR ，均有 f(x)f(x)，即|f(x)|f(x)|f(x)|，所以 y|f(x)|是偶函数，即 y|f(x)|的图象关于 y 轴对称反过来，若 y|f(x)|的图象关于 y 轴对称，则不能得出 yf(x)一定是奇函数，比如y|x 2|，显然，其图象关于 y 轴对称，但是 yx 2 是偶函数故 “y|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“yf(x)是奇函数” 的必要而不充分条件 答案 (1) (2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路： 定义法：图象法：
7、性质法：a.“奇奇”是奇， “奇奇”是奇， “奇奇” 是偶， “奇奇”是偶；b “偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶， “偶偶”是偶；c “奇偶”是奇， “奇偶”是奇(2)判断函数奇偶性时应注意问题： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式，判断 f(x)与 f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 “性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程【举一反三】 设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列
8、结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)| 是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 解析：由题意可知 f(x) f(x)，g( x)g(x)，对于选项 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g(x) | f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f( x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g
9、(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C. 答案：C题型五 函数的周期性 例 5、已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1) ，若 f(2)2，则 f(2 014)的值为( )A2 B0C2 D2 解析 g(x)f(x1)， g(x) f(x1)又 g(x)f(x1)，f(x1) f(x1)， f(x2) f(x)，f(x 4)f(x2) f(x) ，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(2 014)f(2)2. 答案 A【提分秘籍】 函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(
10、xa) f(x)T2a.【举一反三】 函数 f(x)lg|sin x|是( )A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 2 的偶函数 解析：易知函数的定义域为x|xk，kZ ，关于原点对称，又 f(x) lg|sin(x)| lg| sin x| lg|sin x|f(x) ，所以 f(x)是偶函数，又函数 y|sin x|的最小正周期为 ，所以函数 f(x)lg|sin x| 是最小正周期为 的偶函数 答案：C题型六 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例 6、设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件： f(x)f(x) 0；f(x)
11、f(x 2)；当 0x1 时，f(x)2 x1，则 f f(1)f f(2)f _.(12) (32) (52)解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，f f(1)f f(2)f(12) (32) (52)f f(1)f f(0)f(12) ( 12) (12)f f(1)f f(0)f(12) (12) (12)f f(1)f(0)(12)2 12 112 0112 .2答案： 2【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主归纳起来常见的命题
12、角度有： (1)求函数值 (2)与函数图象有关的问题 (3)奇偶性、周期性单调性的综合2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程 (组)，从而得到 f(x)的解析式 (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解 (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.【举一反三】 设函数 f(x)是定义在
13、R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f(x1)，已知当x0,1时，f(x) 1x ，则下列命题：(12)2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3 .(12)其中正确命题的序号是_【高考风向标】1.【2015 高考四川，文 15】已知函数 f(x)2 x，g(x)x 2ax(其中 aR).对于不相等的实数 x1，x 2，设 m 12()fxf，n 12()g，现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1，x 2，都有 m0； 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1
14、，x 2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn.其中真命题有_( 写出所有真命题的序号).【答案】【解析】对于，因为 f (x)2 xln20 恒成立，故正确对于，取 a8，即 g(x)2x8，当 x1，x 24 时 n 0，错误对于，令 f (x)g(x) ，即 2xln22xa记 h(x)2 xln22x，则 h(x)2 x(ln2)22存在 x0(0，1)，使得 h(x0)0，可知函数 h(x)先减后增，有最小值 .因此，对任意的 a，mn 不一定成立.错误对于，由 f (x)g(x) ，即 2
15、xln22xa令 h(x)2 xln22x，则 h(x)2 x(ln2)220 恒成立，即 h(x)是单调递增函数，当 x时，h(x)当 x时，h(x)因此对任意的 a，存在 ya 与函数 h(x)有交点.正确2.【2015 高考陕西，文 10】设 ()ln,0fxab，若 ()pfab，()2bqf， 1()rfb，则下列关系式中正确的是（ ）A p B qrp C rq D rq【答案】 C【解析】 1()lnl2fabab； ()ln2baf；11()22rf因为 ，由 ()lfx是个递增函数， ()()ffab所以 qpr，故答案选 C3.【2015 高考浙江，文 12】已知函数 2,
16、16xf，则 2f ， fx的最小值是 【答案】 1;264.【2015 高考上海，文 20】 （本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.已知函数 xaf1)(2，其中 a为实数. （1）根据 的不同取值，判断函数 )(f的奇偶性，并说明理由；（2）若 )3,(，判断函数 在 2,1上的单调性，并说明理由 .【答案】 （1） xf是非奇非偶函数；（2）函数 )(xf在 2,1上单调递增.1 （2014北京卷）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )Aye x Byx 3Cyln x Dy|x|【答案】B 【解析】由定义域为 R，排除选项 C，由函
17、数单调递增，排除选项 A，D.2 （2014湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间 ( ，0)上单调递增的是( )Af(x) Bf(x) x 2 11x2Cf(x)x 3 Df(x) 2 x【答案】A 【解析】由偶函数的定义，可以排除 C，D，又根据单调性，可得 B 不对3 （2014江苏卷）已知函数 f(x)e xe x ，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)ex m 1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，) ，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 m t 1t2 t 1 对任意
18、 t1 成立1t 1 1t 1 1因为 t1 12 13, 所以 ，1t 1 （t 1） 1t 1 1t 1 1t 1 1 13当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是 .( ， 13(3)令函数 g(x)e x a(x 33x) ，则 g (x) e x 3a(x 21)1ex 1ex当 x1 时，e x 0，x 210.又 a0，故 g(x)0 ，所以 g(x)是1，)上的单调1ex递增函数， 因此 g(x)在1， )上的最小值是 g(1) ee 1 2a.由于存在 x01，) ，使 ex0e x 0a(x 3x0 ) .e e 12令函数 h(x) x (
19、e 1)ln x1，则 h(x)1 . 令 h(x)0, 得 xe 1.e 1x当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e 1，)上的单调递增函数所以 h(x)在(0 ， )上的最小值是 h(e1) 注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1) (0，e1)时，h(e 1)h(x)h(e)0，即 a 1(e1)ln a，故 ea1 ae1 .综上所述，当 a 时，e a1 ae1 .4 （2014四川卷）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合：对于函数 (x)，存在一个正数 M，使得函数 (x)的值域包含于区间M，M例如，当 1(
20、x)x 3， 2(x)sin x 时， 1(x)A ， 2(x)B.现有如下命题：设函数 f(x)的定义域为 D，则“f(x) A”的充要条件是“bR， aD，f(a)b”；若函数 f(x) B，则 f(x)有最大值和最小值；若函数 f(x)， g(x)的定义域相同，且 f(x)A，g(x)B，则 f(x)g(x)/B；若函数 f(x) aln(x2) (x2，aR)有最大值，则 f(x)B.xx2 1其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)【答案】 【解析】若 f(x)A，则函数 f(x)的值域为 R，于是，对任意的 bR，一定存在aD，使得 f(a)b，故正确取函数 f(x)x(1x1)，
21、其值域为 (1，1)，于是，存在 M1，使得函数 f(x)的值域包含于 M，M1， 1，但此时函数 f(x)没有最大值和最小值，故错误当 f(x) A 时，由可知，对任意的 bR，存在 aD，使得 f(a)b，所以，当 g(x)B 时，对于函数 f(x)g(x)，如果存在一个正数 M，使得 f(x)g(x) 的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个 b0R，一定存在一个 a0D ，使得 f(x)f(a 0)b 0g(a 0)，即 f(a0)g(a 0)b 0M，M ，故正确对于 f(x)aln(x2) (x2)，当 a0 或 a0 时，函数 f(x)都没有最大值要xx2 1使得函数 f(x
22、)有最大值，只有 a0，此时 f(x) (x2)易知 f(x) ，所以xx2 1 12，12存在正数 M ，使得 f(x) M，M，故正确125 （2014四川卷）已知函数 f(x)e xax 2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0 ，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间 (0，1)内有零点，证明：e2a 1.【解析】(1)由 f(x)e xax 2 bx1，得 g(x)f(x)e x2ax b，所以 g(x)e x2a.当 x0，1 时，g(x) 12a，e2a当 a 时，g(x)0
23、，所以 g(x)在0 ，1上单调递增，12因此 g(x)在0 ， 1上的最小值是 g(0)1b；当 a 时，g(x)0，所以 g(x)在0 ，1上单调递减，e2因此 g(x)在0 ， 1上的最小值是 g(1)e2ab；当 a 时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0 ，1)，12 e2所以函数 g(x)在区间0，ln(2a) 上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a 时，g(x)在0，1 上的最小值是 g(0)1b；12当 a 时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2
24、a)b；12 e2当 a 时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.e2(2)证明：设 x0 为 f(x)在区间(0，1) 内的一个零点，则由 f(0)f(x 0)0 可知，f(x)在区间 (0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故 g(x)在区间(0，x 0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x 0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0 ，1)内至少有两个零点由(1)知，当 a 时，g(x)在0 ，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；12当 a 时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)
25、 内至多有一个零点，都不合题e2意所以 a .12 e2此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a) ，1上单调递增因此 x1(0，ln(2a)，x 2(ln(2a)，1) ，必有g(0)1b0，g(1) e 2ab0.由 f(1) 0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.6 （2013北京卷）函数 f(x) 的值域为_log12x，x1，2x，xx 成立，即 a .由于 x 是(0，)12x (x 12x) min 12x上的增函数，故 x 0 1，所以 a1.答案为 D.12x 1209 （201
26、3新课标全国卷 已知函数 f(x)x 3ax 2bx c，下列结论中错误的是( )Ax 0R，f(x 0)0B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x 0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0【答案】C 【解析】x时，f(x)0 ，又 f(x)连续， x0R，f(x 0)0，A正确通过平移变换，函数可以化为 f(x)x 3c ，从而函数 yf(x) 的图像是中心对称图形，B 正确若 x0 是 f(x)的极小值点，可能还有极大值点 x1，若 x10， )B(x2，f(x 2)为该函数图像上的两点，且 x10 ，因此 x
27、2x 1 (2x 12) 2x 22 1.12 （2x1 2）（2x2 2）当且仅当(2x 12)2x 221，即 x1 且 x2 时等号成立32 12所以，函数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线互相垂直时，有 x2x 11.(3)当 x1x10 时，f(x 1)f(x2)，故 x10 时，函数 f(x)的图像在点(x 2，f(x 2)处的切线方程为 yln x2 (xx 2)，即1x2y xln x 21.1x2两切线重合的充要条件是由及 x1h(2)ln 21，所以 aln21，而当 t(0，2) 且 t 趋近于 0 时，h(t)无限增大，所以 a 的取值范围是( ln 21，)故当函
28、数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21，)11 （2013四川卷）设函数 f(x) (aR，e 为自然对数的底数)若存在ex x ab0，1使 f(f(b)b 成立，则 a 的取值范围是( )A1，e B 1，1eCe，1e D0，1【答案】A 【高考押题】1下列函数中，既是偶函数又在(0，) 内单调递减的函数是( ) Ayx 2 By|x|1Cylg|x| Dy2 |x|解析 对于 C 中函数，当 x0 时，ylgx ，故为(0 ，) 上的减函数，且 ylg |x|为偶函数答案 C2已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|x|)f(1)的实数
29、 x 的取值范围是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0) (0,1) D( ，1)(1， )解析 f(x) 在 R 上为减函数且 f(|x|)f(1)，|x|1，解得 x1 或 x 1.答案 D3若函数 yax 与 y 在(0，) 上都是减函数，则 yax 2bx 在(0 ，) 上是( )bxA增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax 与 y 在(0，) 上都是减函数，bxaf Bf(sin 1)f(sin 2)(sin 6) (cos 6)9已知函数 f(x)Error!则该函数是 ( )A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减解析
30、 当 x0 时，f( x)2 x 1f(x) ；当 x0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时的 x 的取值范围解 (1)当 a0，b0 时，因为 a2x，b3 x 都单调递增，所以函数 f(x)单调递增；当a0.(i)当 a0 时， x ，(32) a2b解得 xlog ；32( a2b)(ii)当 a0，b0 时，f(x)1.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式 f(3m2m2)3.15.已知函数 f(x)是(，)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x1 对称，当 x0,1时，f(x) 2 x 1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当
31、x1,2时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f(x) f(x) ，函数 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(2x) f(x)f(x)，所以 f(4x) f(2 x) 2f(2x) f(x) ，所以 f(x)是以 4为周期的周期函数(2)当 x1,2时，2x0,1，又 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(x)f(2 x)2 2x 1，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2) 0，f(3)f(1) f(1)1又 f(x)是以 4 为周期的周期函数f(0) f(1)f(2)f(2013)f(2
32、012) f(2 013)f(0)f(1)1.16已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x2) f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若 f(x)为奇函数，且当 0x1 时，f(x) x，求使 f(x) 在0,2 014上的所有 x 的12 12个数(1)证明 f(x 2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)解 当 0x1 时，f(x) x，12设1x0，则 0x1，f( x) (x) x.12 12f(x)是奇函数，f( x) f(x)， f(x) x，即 f(x) x.12 12故 f(x) x(1x1)12又设 1x3，则1x21，f(x2) (x2)12又 f(x)是以 4 为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x)，f(x) (x2) ，12f(x) (x2)(1x3)12f(x) Error!由 f(x) ，解得 x1.12f(x)是以 4 为周期的周期函数，f(x) 的所有 x4n1(nZ) 12令 04n12 014，则 n .14 2 0154又 nZ，1n503(nZ)，在 0,2 014上共有 503 个 x 使 f(x) .12
