1、1概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.（2） 掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个 1 点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现 1 点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.” 【解】 123456135A（ ） ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)(,)|1,()(),246,3542(,)6,(53),(62),4(,6);(3)(,),(ijAB， ， ， ， ，正 反 正 正 反 正 反 反正
2、正 正 反正 正 正 反 反 ,)(,C正正 正 反 反2.设 A，B ，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生；（3） A，B ，C 都发生； （4） A，B ，C 至少有一个发生；（5） A，B ，C 都不发生； （6） A，B ，C 不都发生；（7） A，B ，C 至多有 2 个发生； （8） A，B ，C 至少有 2 个发生.【解】 （1） A （2） AB （3） ABC（4） AB C= C B A BCA CAB ABC=BABC2(5) = (6) ABCABC(7) BCA CAB
3、 CA B = = ACBC(8) ABBCCA= AB A C BCABC3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:(1) AB=(AB)B；(2) B=AB；(3) C= C；(4) (AB)( )= ；A(5) 若 A B，则 A=AB；(6) 若 AB= ，且 C A，则 BC= ；(7) 若 A B，则 ；(8) 若 B A,则 AB=A.【解】(1)不成立.特例：若 B=，则 BB=B.所以，事件 发生，事件 B 必不发生，即 B 发生， BB 不发生.故不成立.(2)不成立.若事件 发生，则 不发生，B 发生，所以 B 不发生，从而不成立 .A(3)不成立. ， 画文氏图如下:所
4、以,若 -B 发生,则 发生, 不发生,AB故不成立.(4)成立.因为 B 与 为互斥事件.(5)成立.若事件 发生,则事件 B 发生,所以 B 发生.若事件 B 发生,则事件 发生 ,事件 B 发生.故成立.(6)成立.若事件 C 发生,则事件 发生,所以事件 B 不发生,故 BC=.(7)不成立.画文氏图,可知 .A3(8)成立.若事件 发生,由 ,则事件 B 发生.()AB若事件 B 发生,则事件 ,事件 B 发生.若事件 发生,则成立.若事件 B 发生,由 ,则事件 发生.4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1P（A
5、B）=1P( A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下 P（AB ）取到最大值？（2） 在什么条件下 P（AB ）取到最小值？【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12 ，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC
6、)+P(ABC)= + + =143247. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】 p= 5321315C/8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3)
7、 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )5749. 从一批由 45 件正品，5 件次品组成的产品中任取 3 件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从 50 个产品中取 3 个,有 种取法.因只有一件次品,所以从50C45 个正品中取 2 个,共 种取法;从 5 个次品中取 1 个,共 种取法,由乘法原理,恰有一件245C1次品的取法为 种,所以所求概率为 .45124530P10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示. 23164P22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之
8、和小于 的概率；65（2） 两个数之积小于 的概率.14【解】 设两数为 x,y，则 0正 正（ 甲 乙 ）=（甲 反 1+乙 反 ）=（甲 反 乙 反 ）由对称性知 P（甲 正 乙 正 ）=P（甲 反 乙 反 ）因此 P(甲 正 乙 正 )= 1246. 证明“确定的原则” （Surething）：若 P（A|C ） P(B|C),P(A| )P(B| )，则P（A ）P( B).【证】由 P（A|C）P(B|C),得 ()(),即有 ()()PACB同理由 |,得 ()()故 () ()(PACPABCPB47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节
9、车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设 Ai=第 i 节车厢是空的， （i=1,n）,则121(1)()()()nkkikij kiiPAPA 其中 i1,i2,in1 是 1，2，n 中的任 n1 个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是152112111221 11231()C()()C()0()()nnnkki ni kijijn kniiiin niSPASPAPSS 1C()()C()kknknn故所求概率为 121()()(1)nkiinnPA 1()()nk48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出
10、现的概率为 1.【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1()1()n49.袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 (),()mnPB1|12rAPB则由贝叶斯公式知 ()()|(|)|(|)APB122rrrmnnA50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r根的概率是多少？第
11、一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？16【解】以 B1、B 2 记火柴取自不同两盒的事件，则有 .（1）发现一盒已12()PB空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1 盒（已空） ，nr 次取自B2 盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验，则所求概率为 12 21C()CnrrnrpA式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）.（2） 前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B1 盒，nr 次取自 B2 盒，第 2nr 次取自B1 盒，故概率为 1 1
12、2 21()()rnrnr nrp 51. 求 n 重伯努利试验中 A 出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由0120()CC1nnnnnqqqpq ()Cnnnnp以上两式相减得所求概率为 13nnpq()21n若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.2()npp52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P（ +B） （A+B） （ + ） （A+ ） 的值.B【解】因为（AB）（ ）=A B（ B）（A ）=AB所求 ()()AB B故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：ABC=，P( A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. (2006 研考)【解】因为 )()(所以 .)()PABPBA59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),求此人第 4 次射击19恰好第 2 次命中目标的概率.【解】这是伯努利概型.第 4 次射击恰好第 2 次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为.1223()3(1)PCPA60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于 的概率.12【解】设两个数分别为 x、y，则 0x1,0y1,x-y ，画出图形，由几何概型可得，所求概率为 .1234P
