1、指数与指数函数知识梳理1.指数（1）n 次方根的定义若 xn=a，则称 x 为 a 的 n 次方根， “ ”是方根的记号 .n在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当 n 为奇数时， =a.n当 n 为偶数时， =|a|=).0(,（3）分数指数幂的意义a = （a0，m、n 都是正整数，n1）.na = = （a0，m、n 都是正整数，n1）.n12.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数 y=ax（a0 且 a1）叫做指数函数.（2）指数函
2、数的图象O x yO x yy=a x 1 1a ）1 y=a x ( (0 a 1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.（3）指数函数的性质定义域：R.值域：（0，）.过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1.当 a1 时，在 R 上是增函数；当 0a1 时，在 R 上是减函数 .点击双基1. 等于36A. B.a aC. D. a a解析： =a （a） =（a） =（a） .36316161321答案：A2.（2003 年郑州市质量检测题）函数 y=2 的图象与直线 y=x 的位置关系是3xO x yO x yO x yO x yA B C D 解析：y=2 =（ ） x.
3、3x2 1，不可能选 D.32又当 x=1 时，2 x ，而当 x=3 时，2 x ，不可能选 A、B.33答案：C3.（2004 年湖北，文 5）若函数 y=ax+b1（a0 且 a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0a1 且 b0 B.a1 且 b0C.0a1 且 b0 D.a1 且 b0解析：作函数 y=ax+b1 的图象.答案：C4.（2004 年全国，理 6）函数 y=e x的图象A.与 y=ex的图象关于 y 轴对称 B.与 y=ex的图象关于坐标原点对称C.与 y=ex 的图象关于 y 轴对称 D.与 y=ex 的图象关于坐标原点对称解析：图象法.答案：D5.（2004
4、年湖南，文 16）若直线 y=2a 与函数 y=|ax1|（a0 且 a1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_.解析：数形结合.由图象可知 02a1，0a .21答案：0a 216.函数 y=（ ） 的递增区间是_.x解析：y=（ ） x在（，+）上是减函数，而函数 y=x22x+2=（x1） 2+1 的递21减区间是（，1 ，原函数的递增区间是（，1.答案：（，1典例剖析【例 1】 下图是指数函数（1）y=a x， （2）y =bx， （3）y=c x， （4）y=d x的图象，则a、b、c、d 与 1 的大小关系是O xy1(1) (2) (3) (4)A.ab1cd B.ba1d
5、cC.1abc d D.ab1dc剖析：可先分两类，即（3） （4）的底数一定大于 1， （1） （2）的底数小于 1，然后再从（3） （4）中比较 c、d 的大小，从（1） （2）中比较 a、b 的大小.解法一：当指数函数底数大于 1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于 x 轴.得 ba1dc.解法二：令 x=1，由图知 c1d 1a 1b 1，ba1dc.答案：B【例 2】 已知 2 （ ） x2 ，求函数 y=2x2 x 的值域.x4解：2 2 2（x2） ，x 2+x42x，即 x2+3x40，得4x
6、1.又y=2 x2 xx是4，1上的增函数，2 4 2 4y22 1 .故所求函数 y 的值域是 ， .1653【例 3】 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x（，1上 y0 恒成立，求 a 的取值范围.解：由题意，得 1+2x+4xa0 在 x（，1上恒成立，即 a 在x42x（，1上恒成立.又 =（ ） 2x（ ） x=（ ） x+ 2+ ，当x42111x（，1时值域为（， ，a .343评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.闯关训练夯实基础1.已知 f（x）=a x，g（x ）= log bx，且 lga+lgb=0，a1，b1，则 y=f（x）与 y
7、=g（x）的图象A.关于直线 x+y=0 对称 B.关于直线 xy=0 对称C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称解析：lga+lgb=0 ab=1.g（x）=log bx=log a1 x=logax.f（x）与 g（ x）的图象关于 y=x 对称.答案：B2.下列函数中值域为正实数的是A.y=5 x B.y=（ ） 1x3C.y= D.y=1)2(x x2解析：y=（ ） x的值域是正实数，而 1xR，y =（ ） 1x 的值域是正实数.3 3答案：B3.化简 （a0，b0）的结果是_.3421)(ba解析：原式= = = = .3122)(ab3716ba372460ba答案： a4.满
8、足条件 m （m m） 2 的正数 m 的取值范围是_.2解析：m0，当 m1 时，有 m22m，即 m2；当 0m1 时，有 m22m，即 0m1.综上所述，m2 或 0m1.答案：m2 或 0m15.（2004 年湖北，理 7）函数 f（x ）=a x+loga（x +1）在 0，1上的最大值与最小值的和为 a，则 a 的值为A. B. C.2 D.4412解析：f（x）在 0，1上是单调函数，由已知 f（0）+f（1）=a 1+loga1+a+loga2=aloga2=1 a= .答案：B6.已知 9x10 3x+90，求函数 y=（ ） x1 4（ ） x+2 的最大值和最小值.2解：
9、由 9x10 3x+90 得（3 x1） （3 x9）0，解得 13 x9.0x2.令（ ）21x=t，则 t1，y =4t24t+2=4 （t ） 2+1.当 t= 即 x=1 时，y min=1；当 t=1 即 x=0 时，4ymax=2.培养能力7.若 a2x+ ax 0（a0 且 a1） ，求 y=2a2x3a x+4 的值域.1解：由 a2x+ ax 0（a0 且 a1）知 0a x .1令 ax=t，则 0t ，y =2t23t+4.借助二次函数图象知 y3，4）.18.（2004 年全国，18）解方程 4x+|12 x|=11.解：当 x0 时，12 x0.原方程 4x 2x10
10、=0 2x= 2x= 0（无解）或 2x= + 1114知 x0（无解） .当 x0 时，12 x0.原方程 4x+2x12=0 2x= 2x=4（无解）或 2x=3 x=log23（为原方程17的解）.探究创新9.若关于 x 的方程 25| x+1|45 |x+1| m=0 有实根，求 m 的取值范围.解法一：设 y=5|x +1|，则 0y1，问题转化为方程 y24ym=0 在（0，1内有实根.设 f（y）=y 2 4ym，其对称轴 y=2，f（0）0 且 f（1）0，得3m0.解法二：m=y 24y，其中 y=5|x+1| （0，1 ，m =（ y2） 243，0）.思悟小结1.利用分数
11、指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数 y=ax（a0，a1）的图象和性质受 a 的影响，要分 a1 与 0a1 来研究.3.指数函数的定义重在“形式” ，像 y=23x，y=2 ，y=3 ，y=3 x+1 等函数都不符合12x形式 y=ax（a 0，a1） ，因此，它们都不是指数函数.教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为 a2x+bax+c=
12、0 或 a2x+bax+c0（0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例 1】 若 60a3，60 b5.求 12 的值.)1(2ba解：a=log 603， blog 605，1b1log 605log 6012，1ab1log 603log 605log 604， log 124，12log6012 12 12 2.)1(2ba4log212log1【例 2】 方程 2x=2x 的解的个数为_.解析：方程的解可看作函数 y=2x和 y=2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.x y O2211由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.
