1、1第三讲：导数及其应用类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例 1：设函数 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=632()91(0).fxax平行，求：（）a 的值; （）函数 f(x)的单调区间.解：() ,3a由 题 设 所 以()由()知 291,因 此212()369(3)0,.)0(,)(,1)3.(,3fxxffxfx令 解 得 ：当 时 ， 故 在 ， ） 上 为 增 函 数 ；当 时 ， 故 在 （ ， ） 上 为 减 函 数 ；当 x+时 ， 故 在 （ ， ） 上 为 增 函 数由 此 可 见 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ）
2、 和 （ ， ） ；单 调 递 减 区 13.间 为 （ ， ）变式训练 1：设函数 ，其中 432() )faxbRab，（）当 时，讨论函数 的单调性；0a()f（）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；()fx（）解： 3224(43)axax当 时， 令 ，解得 ，10a()10)1(2f()0fx1x， 在 ， 是增函数，在 ， 内是减函2x3x2， (， ， 2，数（）解： ，显然 不是方程 的根()43)fa0x2430xa为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即有 x0243a 2964解此不等式，得 这时， 是唯一极值 的取值范围8 (fb是 3，类型二：结合函数的图像与性质
3、求参数的取值范围问题例 2：设 为实数，函数 。a32()fxxa（1）求 的极值；()fx（2）当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴仅有一个交点。()yf解：（1） ，若 ，则2()31fx()0fx1,3所以 的极大值是 ，极小值是 。fx57fa()fa（2）函数 。322()(1fxxx2由此可知 取足够大的正数时，有 ， 取足够小的负数时，有x()0fx，所以曲线 与 轴至少有一个交点.结合 的单调性可知：()0f()yfx()fx当 的极大值 ，即 时，它的极小值也()fx5027a5,27因此曲线 与 轴仅有一个交点，它在 上；()yfx(1,)当 的极小值 时，即 上时，它的极
4、大值也小于 0， 与 轴()fx10a1, ()yfx仅一个交点，它在 上。当 时， 与 轴仅有一个,35(,)27a()f交点。变式训练 2：已知函数 有三个极值点。证明：4319()fxxc；75c因为函数 有三个极值点, 所以 有43219()fxc32()90fxxc三个互异的实根.设 则()gx2()6()1,g当 时， 在 上为增函数；当 时， 3x0,(),33x(gx在 上为减函数；当 时， 在 上为增函数，()g,1)1x()0,x()1,)所以 在 时取极大值,在 时取极小值。当 或 时,x0g(最多只有两个不同实根。 有三个不同实根, 所以 且 ，()0()gx3)(1)
5、0g即 ,且 ，解得 且 故 .27c1390c27,c5,275c类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例 3：已知函数 ， （1）讨论函数 的单调区间；32()fxaxR()fx（2）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围f1， a解：（1） 求导得32()fxax2()31fxx当 时， ， ， 在 上递增；当 ， 求得两根为2a0()fR3a()0fx，即 在 递增，23xfx23a，3递减， 递增。（2）2233aa， 23a，且 ，解得 。231a23a2a变式训练 3：设函数 ,其中 .2()ln(1)fxbx0b(I)当 时,判断函数 在定义域上的单调性;(II) 求函数
6、的极值点; 学科网12b ()fx解：(I) 函数 的定义域为 .2()l()fxx,，学科网()1bf 令 ，则 在 上递增，在 上递减，2()gx()gx1,21,2. 当 时， ，min1)bmin()0gxb在 上恒成立. 即当 时,函数 在定义2()0gx1,f12()fx域 上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：1,（1）由（I）知当 时函数 无极值点.2b()fx（2）当 时， ，21()f时， 时，1,x0,fx,2x()0,fx时，函数 在 上无极值点。2b()f1,（3）当 时，解 得两个 不同解学科网 ，10fx12bx当 时， ，2bx12b2112,x4此时 在 上
7、有唯一的极小值点 .当 时，()fx1,21bx102学科网 在 都大于 0 ， 在 上小于 0 12,()fx1,()fx1,)，此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .()fx12b2b综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；0b()fx,21x时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；102()f12b21b时，函数 在 上无极值点bfx,类型四：含字母时，对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论例 4：已知函数 且321(),faxb(1)0f（I）试用含 的代数式表示 ；（）求 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ax:解：（I）依题意，得 b（）由（I）得 （32
8、1()(1)fxax故 令 ，则 或2()f a*()0fx11xa当 时，1a由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为()fx(,12)(,)(2,)a由 时， ，此时， 恒成立，且仅在 处 ，故函a20fx1x0fx数 的单调区间为 R()fx当 时， ， 的单调增 和 ，单调减区11a()fx(,1)(2,)a(,2)综上：当 时，函数 增区间为 和 ，单调减区间为()fx(,)(,)；(1,)a当 时，函数 的单调增区间为 R；()fx5当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为(-1.1-2a)1a()fx(,1)(2,)a变式训练 4：已知 a是实数，函数 2fx（1
9、）若 ()3f，求 的值及曲线 ()y在点 ,()f处的切线方程；（2）求函数 yf (x) 在区间 1，2 上的最小值。解：（1） 2()xax，因为 ()32fa，所以 0又当 0a时， f， ()f， yx在 (1)f， 处的切线方程为32xy(2) 设最小值为 ，m),2(),3(23)(/ xaaxxf当 时， 则 是区间1,2上的增函数, 所以 ；0a,1,0/)f afm1)(当 时，在 时， ；32ax或 / 2()0,(),)3fxfxa从 而 在 区 间 上 是 增 函 数在 时，320ax/ 2()0,3f a从 而 在 区 间 上 是 单 减 函 数 当 ，即 时， ；
10、 当 ，即 时，fm48)(213； 当 时， .324()7amf20aaf)(则函数的最小值 )3(,247)(,13a题型五、恒成立问题例 5设函数 。)0(33)(2axxf(1) 如果 ，点 为曲线 上一个动点，求以 为切点的切线斜率取最小值时1aPfyP的切线方程；(2) 若 时， 恒成立，求 的取值范围。,ax0)(xa解：(1) 设切线斜率为 ，则 当 时， 取最小值-4， k32 f 1xk6又 ， 所以，所求切线方程为 ，即 320)1(f )1(4320xy 0832yx(2) 由 ，解得： 或 。0 xx函数 在 和 上是增函数，在 上是减函数。 )(xf1, ,所以
11、或 或 解得 0)3(af 0)3(af0)(3f6a变式训练 5：已知函数 2x（1）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围；()yf1,mm（2）若 ，求证： 12,x2|()|4fxf解：（1） ，令 即2()36(2)xx()0fx()02xx或的增区间为 在区间 上是增函数，f(,0,).和 (fx21,m；21,10,)mm或2或 32或， ，2()36()0fxxx或 (0),(1)2,()4fff在区间-1，1上的最大值 M 为 4，最小值 N 为 0，故对任意 ，有12,x12|()|4fxf题型六、导数解决不等式问题例 6对于函数 320.abf a（1）若函数 在 处
12、的切线方程为 ,求 的值；x72yxab（2）设 是函数 的两个极值点,且 ,证明：12,)(f12439解：（1）由切点为 ， ，有,62yaxbk7解得 22376aba3,2ab（2）由题， 、 是方程 的两个根， 可1x2220x1212,0bxxa得两根一正一负，不妨设 12,12x设22 2112444bxxaa2234,0.taa其 中； 2 281 ,003t aat得 舍 去 或 当 时 ，当 时， . 所以当 时， ，即 .3a0t23max167t2439b变式训练 6：已知函数 ， ，证明：()ln)fx1ln()x题型七、以函数为模型运用导数解决应用问题例 7用长为
13、18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 （m），则长为 (m)，高为xx2.30()35.48h故长方体的体积为 230695.4322 xmxxxV从而 令 ，解得 （舍去）或).1(8)3.(18)(2x V，因此 .1当 时， ；当 时， ，故在 处 取得极大值，00V2x0x1xV并且这个极大值就是 的最大值，从而最大体积 ，此时3269 m长方体的长为 2 m，高为 1.5 m变式训练 7：某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费 （
14、百万元），可增加销售额约为 （百万元）. .t 25t(05)t （1）若公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？（2）现公司准备共投入 3 百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改进8费 百万元，可增加销售额约 百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司x321x由此获得最大收益.（注：收益销售额成本）解：（1）设投入广告费 t 百万元，则收益 。225()4(03)ytt t 时， .应投入 2 百万元广告费，由此获得收益最大。2tmax4y（2）投入广告费 百万元，则收益(3)3221(3)5()xx40 24()2yxx当 时
15、， . 当投入技术改造 2 百万元、广告费 1 百万元时，公司收益最大。may1对于 R 上可导的函数 f(x)，若满足 则必有（ D ）()0xfA、 B、()32()ff1(3)2fC、 D、f2已知 a0，函数 在 上是单调增函数则 a 的最大值是（ D ）3()fxa,A、0 B、1 C、2 D、33曲线 在点 处的切线与坐标轴围成三角形面积为（ A ）y4(1,)A、 B、 C、 D、92913234若函数 的递减区间为（1,1），则 a 的取值范围（ A ）3()fxaxA、a0 B、11 D、0a15设 P 为曲线 C： 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为2y
16、，则点 P 横坐标的取值范围为_04， 12，6已知 为实数,函数 .a()fx323ax(1)若函数 的图象上有与 轴平行的切线,求 的取值范围；()fx(2)若 ,对任意 ,不等式 恒成立，求 的最小10120x12|()|fxfm值.解：(1) .323()fxa23()fa9由题意知 有实数解. ()0fx2340a ,即 或 . 故 .29a322(,)(2) 即 .(1)0f0a94a,令 得 .231()2xaxx()0fx12,1x当 时,527),868ff .maxmin749()(0()1f x故 时, 所以 ,即 的最12,12maxin5|)|()16ffffm小值为
17、 .567已知函数 的图像与函数 的图象相切，记bxf)( 23)(2xg.)(gxF（1）求实数 b 的值及函数 F（x）的极值；（2）若关于 x 的方程 F（x）= k 恰有三个不等的实数根，求实数 k 的取值范围.解：（1）依题意，令 ，得(),fg1,321x故2 223() (0)()1:(), 40,)1455()385(1),()0,13f fxbfxxbFx Fxx 函 数 的 图 像 与 函 数 的 图 象 的 切 点 为 将 切 点 坐 标 代 入 函 数 可 得或 依 题 意 方 程 即 有 唯 一 实 数 解 故 即 故 令 解 得 或列表如下： x)3,(5)1,3(
18、1 ),()(F+ 0 0 +x增 极大值 274减 极小值 0 增从上表可知 处取得极小值 1,35)( x在处 取 得 极 大 值在（2）由（1）可知函数 作函数 的图象，当.)(大 致 图 象 如 下 图 所 示xFy ky的图象与函数 的图象有三个交点时，关于 x 的方程)(xFyk 恰 有 三 个F)(10)274,0(:.k结 合 图 形 可 知不 等 的 实 数 根8.函数 ， 其中 ， 将 的最小值记为342)(3ttxf Rtx,()fx（1）求 的表达式；（2）讨论 在区间-1，1内的单调性；gtgt ()g(3) 若当 时， 恒成立，其中 为正数，求 的取值范围-,kt)(kk解： (1) ，34)(2txf当 时， 达到其最小值 ，即 ； tx()g3()4tt(2）因为 ，12312)(/ ttg列表如下：由此可见， ()gt在区间 12， 和 ， 单调递增，在区间 12， 单调递减；(3) )(,4112g，所以 )(,4)(minaxtgt；ktg)(既 kt)(恒成立，所以 2k ，综合可得 k 的范围为 4。
