1、教学设计6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整 体 设 计教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的三维目标 1借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异2恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像) ，并借助信息技术解决一些实际问题3让学生体会
2、数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点：应用函数模型解决简单问题课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 思路 1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上 1 颗麦粒，第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，第 3 个格子里放上 4 颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子请给我足够的麦粒以实现上述要求 ”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦
3、子的质量为 40 g，据查，目前世界年度小麦产量为 6 亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异思路 2.(直接导入)我们知道，对数函数 ylog ax(a1) ，指数函数 ya x(a1)与幂函数 yx n(n0)在区间(0，) 上都是增函数但这三类函数的增长是有差异的本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异推进新课 Error!Error!在区间0，上判断 y log2x，y2 x，yx 2 的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.结合函数的图像找出其交点坐标.请在图像上分别标出使不等式 log2x2 xx 2 和 log
4、2xx 22 x成立的自变量 x 的取值范围.由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：在区间(0，)上函数 y log2x，y2 x，yx 2 均为单调增函数见下表与图 1.x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 y2 x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.959 6.063 8 10.556 yx 2 0.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.67 9 11.56 ylog2x2.322 0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766 图 1从图像看出 ylog 2x 的图像与另外
5、两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y 2x的图像与 yx 2 的图像有两个交点(2,4)和 (4,16)不等式 log2x2 xx 2 和 log2xx 22 x成立的自变量 x 的取值范围分别是 (2,4)和(0,2)(4， ) 我们在更大的范围内列表作函数图像(图 2)，x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y2 x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 yx 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 图 2容易看出：y2 x的图像与 yx 2 的图像有两个交点(2,4)和 (4,16)，这表明 2x与 x2 在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有
6、时 2xx 2，有时 x22 x.但是，当自变量 x 越来越大时，可以看到，y2 x的图像就像与 x 轴垂直一样，2 x的值快速增长，x 2 比起 2x来，几乎有些微不足道，如图 3 和下表所示x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 y2 x 1 1 0241.05E061.07E091.10E121.13E151.15E181.18E211.21E24 yx 2 0 100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 图 3一般地，对于指数函数 ya x(a1)和幂函数 yx n(n0)，通过探索可以发现，在区间(0， )上，无论 n 比 a
7、大多少，尽管在 x 的一定变化范围内，a x会小于 xn，但由于 ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 xx 0 时，就会有 axx n.同样地，对于对数函数 ylog ax(a1) 和幂函数 yx n(n0)，在区间(0 ，)上，随着 x 的增大，log ax 增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与 x 轴平行一样尽管在 x 的一定变化范围内，log ax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn的增长，因此总存在一个x0，当 xx 0 时，就会有 logaxx n.综上所述，尽管对数函数 ylog ax(a1) ，指数函数 ya x(a1)与幂函数 yx n(n0
8、)在区间(0 ，)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个 “档次”上随着 x 的增大，ya x(a1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 yx n(n0) 的增长速度，而 ylog ax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个 x0，当 xx 0 时，就会有logaxx na x.虽然幂函数 yx n(n0) 增长快于对数函数 ylog ax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸” Error!思路 1例 1 试利用计算器来计算 2500 的近似值活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算如何计算呢？我们可以充分
9、利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值解：第一步，利用科学计算器算出2101 0241.02410 3；第二步，再计算 2100，因为2100(2 10)10(1.02410 3)101.024 101030，所以，我们只需要用科学计算器算出1024 101.267 7，则 21001.267 710 30；第三步，再计算 2500，因为(2100)5(1.267 71030)5，我们只需要用科学计算器算出1267 7 53.274 0，从而算出 25003.2710 150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需
10、要保留一定数目的有效数字例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代假设一个理想种群，其每个个体产生 2 个后代，又假定种群开始时有 10 个个体，到第二代时，种群个体将上升为 20 个，以后每代增加 1 倍，依次为 40,80,160，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结解：设 Nt表示 t 世代种群的大小， Nt1 表示 t1 世代种群的大小，则 N010；N 110220；N 220240；N 3402
11、80；N 4802160；.由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t1 R 0Nt，其中 R0 为世代净繁殖率如果种群的 R0 速率年复一年地增长，则N1R 0N0，N2R 0N1R N0，20N3R 0N2R N0，30NtR N0.t0R0 是种群离散增长模型的重要参数，如果 R01，种群上升；R 01，种群稳定；0R 0 1，种群下降；R 00，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡思路 2例 3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 时，每多订购 1 个，订购的全部零件的单价就降低 0.02 元
12、，但最低出厂单价不低于 51 元(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为 51 元？(2)设一次订购量为 x 个时，零件的实际出厂价为 p 元，写出 pf( x)(3)当销售商一次订购量分别为 500,1 000 个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润实际出厂价成本)解：(1)设一次订购量为 a 个时，零件的实际出厂价恰好为 51 元，则a100 550 个60 510.02(2)pf(x) Error!(3)当销售商一次订购量为 x 个时，该工厂的利润为 y，则 y(p40)xError! 其中xN ，故当 x500 时，y6 000；当 x1 000 时，y 11 000.
13、点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含 x，y 的等式例 4 甲、乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量) 进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图 4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只乙调查表明：全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个请你根据提供的信息说明：(1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数(2)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模( 即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了？请说明理由(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由活动：观察函数图像，学生先思考或
14、讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为 y 甲 0.2x0.8，乙图像经过(1,30)和(6,10) 两点，从而求得其解析式为 y 乙 4x34.(1)当 x2 时，y 甲 0.220.81.2，y 乙 4234 26，y 甲 y 乙1.22631.2.所以第 2 年鱼池有 26 个，全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只(2)第 1 年出产鳗鱼 13030( 万只)，第 6 年出产鳗鱼 21020(万只) ，可见，第 6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了(3)设当第 m 年时的规
15、模总产量为 n，那么 ny 甲 y 乙 (0.2m0.8)(4m 34)0.8m 23.6m27.20.8(m 24.5m34)0.8(m 2.25) 231.25.因此，当 m2 时，n max31.2，即第 2 年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为 31.2 万只Error!某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图 5(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 5(2)的抛物线段表示(1)写出图 5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 Pf(t)；写出图 5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Qg(t
16、)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图 5(注：市场售价和种植成本的单位：元/10 2 kg，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正解：(1)由图 5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为 f(t)Error!由图 5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为 g(t) (t150) 2100,0t300.1200(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得 h(t)f(t)g( t)，即 h(t)Error!当 0t200 时，配方整理，得 h(t) (t50) 2100，1200所以当
17、t50 时，h(t)取得区间0,200上的最大值 100；当 200t300 时，配方整理，得 h(t) (t350) 2100，1200所以当 t300 时，h(t)取得区间200,300上的最大值 87.5.综上，由 10087.5 可知，h(t)在区间0,300 上可以取得最大值 100，此时 t50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大点评：本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力Error!探究内容在函数应用中如何利用图像求解析式分段函数解析式的求法函数应用中的最大值、最小值问题举例探究：(2007 山东省青岛高
18、三教学质量检测，理 21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完，该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图 6(1)、(2)、(3) 所示其中图 6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图 6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图 6(3)的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系图 6(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式；(2)第一批产品 A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过
19、 6 300万元？分析：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式2在 t0,40上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段3回忆函数最值的求法解：(1)f(t) Error!g(t) t26t (0t 40) 320(2)每件 A 产品销售利润 h(t)Error!该公司的日销售利润 F(t)Error!当 0t20 时，F(t) 3t ，先判断其单调性( 320t2 8t)设 0t 1t 220，则 F(t1)F( t2)3t 1 3t 2( 320t21 8t1) ( 320t2 8t2) (t1t 2)(t1t 2)2.920F(t) 在0,20上为增函数F(t) m
20、axF(20)6 0006 300.当 20t30 时，令 60 6 300，( 320t2 8t)则 t30；703当 30t40 时，F(t) 60 60 6 300.( 320t2 240) ( 320302 240)故在第 24,25,26,27,28,29 天日销售利润超过 6 300 万元点评：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点2在 t0,40上，有几个分界点，t 20，t30 两点把区间分为三段3二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一Error!本节学习了：指数函数、对数函数、二次函数的增长差异幂函数、指数函数
21、、对数函数的应用Error!习题 36 1,2.设 计 感 想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点本节的每个例题都很精彩，可灵活选用备 课 资 料备选例题某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入 x 万元，可获得利润 P (x40) 2100 万元当地政府1160拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入 60
22、 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入 x 万元，可获利润Q (60x )2 (60 x)万元问从 10 年的累积利润看，该规划方案是否可行？159160 1192解：在实施规划前，由题设 P (x40) 2100( 万元)，知每年只需投入 40 万，即1160可获得最大利润 100 万元则 10 年的总利润为 W1100 101 000( 万元)实施规划后的前 5 年中，由题设 P (x40) 2100，知每年投入 30 万元时，有1160最大利润 Pmax (万元)前 5 年的利润和为 5 (万元)7958 7958 3 9758设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W2 5 55(x30) 24 950. 1160x 402 100 ( 159160x2 1192x)当 x30 时，(W 2)max4 950(万元) 从而 10 年的总利润为 4 950(万元) 3 9758 4 9501 000，该规划方案有极大实施价值3 9758(设计者：邓新国)
