1、教学设计对数及其运算导入新课 思路 1.上节课我们学习了以下内容：1对数的定义2指数式与对数式的互化abN logaNb.3重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a10，log aa1；(3)对数恒等式 alogaNN.下面我们接着讲对数的运算性质教师板书课题思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则aman amn ； amana mn ； (am)na mn； .man从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题推进新课 Error!Error!1在
2、上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道 amM ，a nN，a mana mn ，那 mn 如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2 的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ 4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题 (2)来说明(2)如 amana mn ，设 Ma m，Na n，于是 MNa mn ，由对数的定义得到Ma m mlog aM，
3、Na n nlog aN，MNa mn mnlog aMN，logaMNlog aMlog aN.因此 mn 可以用对数式表示(3)令 Ma m，Na n，则 a mana mn ，所以 mnlog a .MN MN又由 Ma m，Na n，所以 mlog aM，nlog aN.所以 logaMlog aNmnlog a ，MN即 loga log aMlog aN.MN设 Ma m，则 Mn( am)na mn.由对数的定义，所以 logaMm，log aMnmn.所以 logaMnmnnlog aM，即 logaMnnlog aM.这样我们得到对数的三个运算性质：如果 a0，a1，M0，N
4、0，则有loga(MN)log aMlog aN，loga log aMlog aN，MNlogaMnnlog aM(nR)(4)以上三个性质可以归纳为：性质：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质：幂的对数等于幂指数乘底数的对数(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求 a0，a1， M0，N 0.(6)性质可以推广到 n 个数的情形：即 loga(M1M2M3Mn)log aM1log aM2log aM3log aMn(其中a0，a1，M 1M2M3Mn均大于 0)(7)纵观这三个性质我们知道，性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，
5、从左往右看是一个降级运算性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值Error!思路 1例 1 用 logax， logay，log az 表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)log a ；(3)log a .x2yz xy2z活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正利用对数的运算性质，把整体分解成部分对(1)可先利用性质 1，转化为两数对数的和，再利用性质 3，把幂的对数转化为两数
6、对数的积对(2)(3)可先利用性质 2，转化为两数对数的差，再利用性质 1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质 3，转化为幂指数与底数的对数的积解：(1)log a(x2yz)log ax2log aylog az2log axlog aylog az.(2)loga log ax2log a(yz)2log axlog aylog az.x2yz(3)loga log a log a(y2z) logax2log aylog az.xy2z x 12点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算变式训练1若 a0，a1，x0，y 0，x y，下列式子正确的
7、个数为( )log axlogaylog a(xy ) log axlog aylog a(xy)log a log axlogay log a(xy)log axlogayxyA0 B1 C2 D3答案：A2若 a0，a1，xy 0，nN ，下列式子正确的个数为( )(log ax)nnlog ax (log ax)nlog axn log axlog a1x log a logax logaxlog a logaxlogay xy nlogax 1n 1n nxlog axnnlog ax log a log ax yx y x yx yA 3 B4 C 5 D 6答案：B例 2 计算：(
8、1)log3(9235)；(2) .15lg0活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性解：(1)log 3(9235)log 392log 335log 3345log 334 59；(2)lg lg 102 2 .15015 15 25例 3 计算：(1)lg 142lg lg 7lg 18； (2) ； (3) .73 lg 243lg 9 lg27 lg 8 3lg10lg 1.2解：(1)解法一：lg 142lg lg 7lg 18lg(2 7)2(lg 7lg 3)lg 7lg(3 22)lg 732lg 72lg 72lg 3lg 7
9、2lg 3lg 20.解法二：lg 142lg lg 7lg 18lg 14lg 2lg 7lg 18lg lg 10.73 (73) 147(73)218(2) .lg 243lg 9 lg 35lg 32 5lg 32lg 3 52(3) .lg27 lg 8 3lg10lg 1.2lg3312 lg 23 3lg1012lg3221032lg 3 2lg 2 1lg 3 2lg 2 1 32点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被
10、学生所忽视例 4 科学家以里氏震级来度量地震的强度若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 r 可定义为 r0.6lg I，试比较 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度解：设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 I1 和 I2，由题意，得Error!因此 0.6(lg I2 lg I1)0.9，即 lg 1.5.I2I1所以 10 1.532.I2I1因此，7.8 级地震的相对能量程度约为 6.9 级地震的相对能量程度的 32 倍思路 2例 1 求下列各式的值(1)log525；(2)log 0.41；(3)log 2(4725)；(4)lg .5100解法一
11、：(1)log 525log 5522；(2)log0.410；(3)log2(4725)log 247log 225log 2227log 22527 519；(4)lg lg 102 lg 10 .510015 25 25解法二：(1)设 log525x ，则 5x255 2，所以 x2；(2)设 log0.41x，则 0.4x10.4 0，所以 x0；(3)log2(4725)log 2(21425)log 221919，或 log2(4725)log 247log 2257log 222log 22527 519；(4)设 lg x，则 10x ，所以 x .510015025点评：此
12、题关键是要记住对数运算性质的形式例 2 计算：(1)2log 510log 50.25；(2)2log 5253log 264；(3)log 2(log216)解：(1)因为 2log510log 5102log 5100，所以2log510log 50.25log 5100 log50.25log 5(1000.25) log5522log 552；(2)因为 2log5252log 5524log 554,3log 2643log 22618log 2218，所以 2log5253log 26422；(3)因为 log216log 2244，所以 log2(log216)log 24log
13、 2222.点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用例 3 计算下列各式的值：(1) lg lg lg ；(2)lg 5 2 lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2；12 3249 43 8 245 23(3) .lg2 lg 3 lg10lg 1.8活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算(1)解法一： lg lg lg (5lg 22lg 7) lg 2 (2lg 7l
14、g 5)12 3249 43 8 245 12 43 32 12 lg 2lg 72lg 2lg 7 lg 5 lg 2 lg 552 12 12 12 (lg 2lg 5) lg 10 .12 12 12解法二： lg lg lg lg lg 712 3249 43 8 245 427 34lg5lg lg( )lg .427574 2 5 10 12(2)解法一：lg 5 2 lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2232lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2) 22lg 10(lg 2lg 5) 22(lg 10) 2213.解法二：lg 5 2 lg 8lg 5l
15、g 20(lg 2) 22lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(1lg 5) 2232lg 10lg 52(1 lg 5) lg 5(1lg 5) 22lg 5(2lg 5)(1 lg 5)222lg 5(lg 5) 212lg 5(lg 5) 23.(3)解法一： lg2 lg 3 lg10lg 1.8 12lg 2 lg 9 lg 10lg 1.8 .lg18102lg 1.8 lg 1.82lg 1.8 12解法二： lg2 lg 3 lg10lg 1.812lg 2 lg 3 12lg1810 .12lg 2 lg 3 122lg 3 lg 2 1122lg 3 lg 2
16、12lg 3 lg 2 1 12点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值例 4 已知 a，b，c 均为正数，3 a4 b6 c，求证： .2a 1b 2c活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程从求证的结论看，解题的关键是设法把 a，b，c 从连等号式中分离出来，为便于找出 a，b，c 的关系，不妨设3a4 b6 ck(k 0) ，则 a， b，c 就可用这一变量 k 表示出来，再结合对数的运算
17、性质就可证得结论证法一：设 3a4 b6 ck，则 k0.由对数的定义得 alog 3k，blog 4k，clog 6k，则左边 2log k3log k4log k9log k4log k36，2a 1b 2log3k 1log4k右边 2log k6log k36，所以 .2c 2log6k 2a 1b 2c证法二：对 3a4 b6 c同时两边取常用对数得 lg 3alg 4blg 6 c，alg 3blg 4clg 6.所以 log 63， log 64.又 log 6(94)2，所以 .ca lg 3lg 6 cb lg 4lg 6 2ca cb 2a 1b 2c点评：本题主要考查指数
18、、对数的定义及其运算性质灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化Error!1用 logax，log ay，log az，log a(xy)，log a(xy )表示下列各式：(1)loga ；(2)log a ；(3)log a( )；(4)log a ；3xy2z (x4z3y2) 213zxyx2 y2(5)loga ； (6)loga 3.(x yx yy) yxx y解：(1)log a log a log ay2z logax(2log aylog az)3xy2z 3x 13 logax2log aylog az；13(2)loga log axlog a log ax (l
19、ogaz3log ay2)(x4z3y2) 4z3y2 14log ax logay logazlog ax logay logaz；24 34 12 34(3)loga( )log axlog ay log ax logay logaz；213z123loga12 23(4)loga log axylog a(x2y 2)log axlog aylog a(xy)( xy)xyx2 y2log axlog aylog a(xy) loga(xy)；(5)loga loga log aylog a(xy)log a(xy)log ay；(x yx yy) x yx y(6)loga 33log
20、 aylog axlog a(xy)3log ay3log ax3log a(xy) yxx y2已知 f(x6)log 2x，则 f(8)等于( ) A. B8 C18 D.43 12分析：因为 f(x6)log 2x，x0，令 x68，得 x ，所以 f(8) .36112log12解析：因为 f(x6)log 2x log2x6，所以 f(x) log2x.16 16所以 f(8) log28 log223 .16 16 12答案：DError!已知 x，y，z0，且 lg xlg ylg z0，求 的值1lgyzx1lgx1lgyz活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导大胆设想，运用
21、对数的运算性质由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为 t.解：令 t，则1lgyzx1lgx1lgyzlg t lg x lg y lg z(1lg y 1lg z) ( 1lg z 1lg x) ( 1lg x 1lg y) lg xlg y lg xlg z lg ylg z lg ylg x lg zlg x lg zlg y lg x lg zlg y lg x lg ylg z lg y lg zlg x 3， lg ylg y lg zlg z lg xlg
22、x所以 t10 3 即为所求11 000Error!1对数的运算法则2对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用3对数与指数形式比较：式子 ab N logaNb名称a幂的底数b幂的指数N幂值a对数的底数b以 a 为底的 N 的对数N真数运算性质aman amn ；amana mn ；(am)na mn(a0，a1，m、nR)loga(MN)log aMlog aN；loga log aMlog aN；MNlogaMnnlog aM(nR)(a0，a1，M0，N0)Error!习题 34 A 组 6,7,8.设 计 感 想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务(设计者：卢岩冰)
