1、教学设计4 对 数整 体 设 计教学分析 我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学
2、文化的教育，应指导学生认真研读根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标 1理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度2通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识3学会
3、对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性重点难点 教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用课时安排 3 课时教 学 过 程41 对数及其运算(1)导入新课 思路 1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭(1)取 4 次，还有多长？(2) 取多少次，还有 0.125 尺？2假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么
4、经过多少年国民生产总值是 2002 年的 2 倍？抽象出：1. 4？ x0.125 x？(12) (12) 2(18%) x2 x？都是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念，教师板书课题 思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数引出对数的概念，教师板书课题 推进新课 Error!Error! 利 用 计 算 机 作 出 函 数 y 131.01x的 图 像 . 从 图 像 上 看 ，哪 一
5、 年 的 人 口 数 要 达 到 18亿 、20亿 、30亿 ？ 如 果 不 利 用 图 像 该 如 何 解 决 ？ 说 出 你 的 见 解 .即 1813 1.01x，2013 1.01x，3013 1.01x，在 这 几 个 式 子 中 ，x分 别 等 于 多 少 ？ 你 能 否 给 出 一 个 一 般 性 的 结 论 ？活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨对问题，回忆计算机作函数图像的方法，抓住关键点对问题，图像类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图像上就能看出函数的某些点的坐标对问题，定义一种新的运算对问题，借助，类比到一般的情形讨论结果：如图 1.图 1在所作的图像
6、上，取点 P，测出点 P 的坐标，移动点 P，使其纵坐标分别接近18,20,30，观察这时的横坐标，大约分别为 32.72,43.29,84.04，这就是说，如果保持年增长率为 1 个百分点，那么大约经过 33 年、43 年、84 年，我国人口分别约为 18 亿、20 亿、30 亿 1.01 x， 1.01 x， 1.01x，在这几个式子中，要求 x 分别等于多少，目前我1813 2013 3013们没学这种运算，可以定义一种新运算，即若 1.01 x，则 x 称作以 1.01 为底的 的对1813 1813数其他的可类似得到，这种运算叫作对数运算一般性的结论就是对数的定义：一般地，如果 a(
7、a0，a1)的 x 次幂等于 N，就是 axN，那么数 x 叫作以 a 为底 N的对数(logarithm)，记作 x logaN，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数有了对数的定义，前面问题的 x 就可表示了：xlog 1.01 ，xlog 1.01 ，xlog 1.01 .1813 2013 3013由此得到对数和指数幂之间的关系：a N b指数式 abN 底数 幂 指数对数式 logaNb 对数的底数 真数 对数例如：4 216 2log 416；10 2100 2log 10100；4 2 log 42；10 2 0.0112 122 log 100.01.Error!为什么在对数定
8、义中规定 a0，a1？根据对数定义求 loga1 和 logaaa0，a1的值.负数与零有没有对数？a logaNN 与 logaabba0，a1是否成立？讨论结果：这是因为若 a0，则 N 为某些值时，b 不存在，如 log(2) ；12若 a0，N 不为 0 时，b 不存在，如 log03，N 为 0 时，b 可为任意正数，是不唯一的，即 log00 有无数个值；若 a1，N 不为 1 时，b 不存在，如 log12，N 为 1 时，b 可为任意数，是不唯一的，即 log11 有无数个值综之，就规定了 a0 且 a1.log a10，log aa1.因为对任意 a0 且 a1，都有 a01
9、，所以 loga10.同样易知：log aa1.即 1 的对数等于 0，底的对数等于 1.因为底数 a0 且 a1，由指数函数的性质可知，对任意的 bR，a b0 恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数因为 abN，所以 blog aN，a balog aNN ，即 alogaNN .因为 aba b，所以 logaabb. 故两个式子都成立(alog aNN 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？活动：同学们阅读课本的内容，教师引导，板书解答：常用对数：我们通常将以 10 为底的
10、对数叫作常用对数为了简便，N 的常用对数 log10N 简记作 lg N.例如：log 105 简记作 lg 5；log 103.5 简记作 lg 3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e2.718 28为底的对数，以 e 为底的对数叫作自然对数，为了简便，N 的自然对数 logeN 简记作 ln N.例如：log e3 简记作 ln 3；log e10 简记作 ln 10.Error!思路 11 将下列指数式写成对数式：(1)54625；(2)3 3 ；(3) 16；(4)5 a15.127 438活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的
11、问题对(1)根据指数式与对数式的关系，4 在指数位置上，4 是以 5 为底 625 的对数对(2)根据指数式与对数式的关系，3 在指数位置上， 3 是以 3 为底 的对数127对(3)根据指数式与对数式的关系， 在指数位置上， 是以 8 为底 16 的对数43 43对(4)根据指数式与对数式的关系，a 在指数位置上，a 是以 5 为底 15 的对数解：(1)log 56254；(2)log 3 3；(3)log 816 ；(4) a log515.127 43思考 指数式与对数式的互化应注意哪些问题？活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幂的关系，特别是
12、位置的对照解答：若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几，再写成对数式若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式最关键的是搞清 N 与 b 在指数式与对数式中的位置，千万不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据例 2 求下列各式的值：(1)log525；(2) ；(3)3log 310；(4)ln 1；(5)log 2.52.5.13log2活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解解：(1)因为 5225，所以 log5252.(2)因为 5 32，所以 5.(12) 13log2(3)设 3log
13、310N，则 log3Nlog 310，所以 N10，即 3log31010.(4)因为 e01，所以 ln 10.(5)因为 2.512.5，所以 log2.52.51.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解例 3 将下列对数式写成指数式(1) 4；(2)log 32435；(3) 3；(4)lg 0.11.12log61log27活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上解：根据指数式与对数式的关系，得(1) 4 16；(2)3 5243；(3) 3 ；(4)(12) (13) 127101 0.1.点评：对数的定义是指数式与对数式互化的根据思
14、路 2例 1 以下四个命题中，属于真命题的是( ) (1)若 log5x3，则 x15(2)若 log25x ，则 x512(3)若 logx 0 ，则 x5 5(4)若 log5x3，则 x1125A(2)(3) B(1)(3)C(2)(4) D(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果对于(1)，因为 log5x3，所以 x5 3125，错误；对于(2)，因为 log25x ，所以 x 5，正确；12 12对于(3)，因为 logx 0，所以 x0 ，无解，错误；5 5对于(4)，因为 log5x3，所以 x5 3 ，正确1125总
15、之(2)(4)正确答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据例 2 对于 a0，a1，下列结论正确的是( ) (1)若 MN，则 logaMlog aN (2) 若 logaMlog aN，则 MN(3)若 logaM2log aN2，则 MN (4) 若 MN，则 logaM2log aN2A(1)(3) B(2)(4)C(2) D(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价回想对数的有关规定对(1)若 MN，当 M 为 0 或负数时 logaMlog aN，因此错误；对(2)根据对数的定义，若 logaMlog aN，则 MN ，正确；对(3)若 logaM
16、2log aN2，则 MN ，因此错误；对(4)若 MN0 时，则 logaM2 与 logaN2 都不存在，因此错误综上，(2)正确答案：C点评：0 和负数没有对数，一个正数的平方根有两个例 3 计算：(1)log927；(2) 81；(3)log (2 )(2 )；(4)log 625.43log3 3 354活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生利用对数的定义或对数恒等式来解求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法解法一：(1)设 xlog 927，则 9x27,3 2x
17、3 3，所以 x .32(2)设 x ，则( )x81, 3 4，所以 x16.43log8143(3)令 xlog (2 )(2 )log (2 )(2 )1 ，3 3 3 3所以(2 )x (2 )1 ，x1.3 3(4)令 x ，所以( )x625, 5 4，x3.345log62354 3解法二：(1)log 927log 933 .329log32(2) ( )1616.43log814l(3)log(2 )(2 )log (2 )(2 )1 1.3 3 3 3(4) ( )33.345l62345l354点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转
18、化和对数恒等式的依据Error!1把下列各题的指数式写成对数式：(1)4216；(2)3 01；(3)4 x2；(4)2 x0.5；(5)5 4625； (6)32 ；(7) 2 16.19 (14)解：(1)2log 416；(2)0log 31；(3)xlog 42；(4)xlog 20.5；(5)4log 5625；(6)2log 3 ；(7) 2 .19 14log62把下列各题的对数式写成指数式：(1)xlog 527；(2)x log 87；(3)xlog 43；(4)xlog 7 ；13(5)log2164；(6) 3；(7)log x6；(8)log x646；1log23(9
19、)log21287；(10)log 327a.解：(1)5 x27；(2)8 x7；(3)4 x3；(4)7 x ；(5)2 416；(6) 3 27；(7)( )13 (13) 36x；(8)x 6 64；(9)2 7128；(10)3 a27.3求下列各式中 x 的值：(1)log8x ；(2)log x27 ；(3)log 2(log5x)1；(4)log 3(lg x)0.23 34解：(1)因为 log8x ，23所以 x 2 2 ；232()14(2)因为 logx27 ，34所以 273 3，即 x 3 481；4()(3)因为 log2(log5x)1，所以 log5x2， x
20、5 225；(4)因为 log3(lg x)0，所以 lgx1，即 x10 110.4(1)求 log84 的值；(2)已知 loga2m ，log a3n，求 a2mn 的值解：(1)设 log84x ，根据对数的定义有 8x4，即 23x2 2，所以 x ，即 log84 ；23 23(2)因为 loga2m ，log a3n，根据对数的定义有 am2，a n3，所以 a2mn ( am)2an(2) 234312.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用Error!请你阅读课本，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底
21、公式的材料，为下一步学习打下基础Error!(1)对数引入的必要性；(2) 对数的定义；(3) 几种特殊数的对数；(4) 负数与零没有对数；(5)对数恒等式； (6)两种特殊的对数Error!1将下列指数式与对数式互化，有 x 的求出 x 的值(1) ；(2)log 4x；(3)3 x ；2515 2 127(4) x 64；(5)lg 0.000 1x；(6)ln e 5x.(14)解：(1) 化为对数式是 log5 ；12515 15 12(2)xlog 4 化为指数式是( )x4，即 2 2， 2，x4；2 2xx2(3)3x 化为对数式是 xlog 3 ，127 127因为 3x 33
22、 3 ，所以 x3；(13)(4) x 64 化为对数式是 x ，(14) 14log6因为 x644 3，所以 x3；(14)(5)lg 0.000 1x 化为指数式是 10x0.000 1，因为 10x0.000 110 4 ，所以 x4；(6)ln e5x 化为指数式是 ex e5，因为 exe 5，所以 x5.2计算 的值3log31log5解：设 xlog 3 ，则 3x ， (3 )x( ) ，所以 xlog .15 15 12 1512 315所以 .3log31log55 1log355 15 6553计算 alogablogbclogcN(a0，b0，c0，N 0) 解：a logablogbclogcNb logbclogcNc logcNN .设 计 感 想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备(设计者：路致芳)
