1、教学设计22 指数运算的性质导入新课 思路 1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数 )，有理数到实数并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数对无理数指数幂，也是这样扩充而来既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题指数运算的性质思路 2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次
2、函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质推进新课 Error!Error!我们知道 1.414 213 56，那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，是 的什么近似2 2值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，是 的什么近似值？2多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律？的过剩近似值2
3、5 的近似值21.5 11.180 339 891.42 9.829 635 3281.415 9.750 851 8081.414 3 9.739 872 621.414 22 9.738 618 6431.414 214 9.738 524 6021.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 8621.414 213 563 9.738 517 752 的近似值25 的不足近似值29.518 269 694 1.49.672 669 973 1.419.735 171 039 1.4149.738 305 174 1.414 29.738
4、 461 907 1.414 219.738 508 928 1.414 2139.738 516 765 1.414 213 59.738 517 705 1.414 213 569.738 517 736 1.414 213 562 你能给上述思想起个名字吗？一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如 ，根据你学过的知识，25能作出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题从近似值的分类来考虑，一方面从大于 的方向，另一方面从小于 的方向2 2问题对
5、图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联问题上述方法实际上是无限接近，最后是逼近问题对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释问题在的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，这些数都小于 ，称 的不足近似值，2 2而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，这些数都大于 ，称 的过剩近似值2 2第一个表：从大于 的方向逼近 时， 就从 51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即2 2大于 的方向逼近 .255第二个表：从小于 的方向逼近 时， 就从 51.4,51
6、.41,51.414,51.414 2,51.414 21，即小2 2 2于 的方向逼近 .2从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，即小于 的方向接近 ，而另一方面 从2 25252551.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，即大于 5 的方向接近 5 ，可以说从两个方向无限地接2 2近 ，即逼近 ，所以 是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，和另一串222有理数指数幂 51.5,51.42,51
7、.415,51.414 3,51.414 22，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示 的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结2论是 一定是一个实数，即 51.45 1.415 1.4145 1.414 25 1.414 21 5 1.414 2 2225 1.414 35 1.4155 1.425 1.5.充分表明 是一个实数，再如 ，3 等都是实数2(12) 3逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识根据我们可以推断 是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数25无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂 a(a 0， 是无理数)是一个确
8、定的实数也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂Error!1为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？3你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明对问题(2)结合有理数指数幂
9、的运算法则，既然无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若 a1，那么 a是1 还是1 就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂 a是一个确定的实数，就不会再造成混乱(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：a rasa rs
10、 (a0，r，s 都是无理数) (a r)sa rs(a0，r，s 都是无理数 )(ab) ra rbr(a0，b0，r 是无理数)(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂实数指数幂的运算性质：对任意的实数 r，s，均有下面的运算性质：a rasa rs (a0，r，sR )(a r)sa rs(a0，r，sR)(ab) ra rbr(a0，b0，rR )Error!思路 1例 1 在实数范围内，对比(ab) na nbn和 n (其中 a0，b0，b0) ，说明后者(ab) anbn可以归入前者解： n(ab 1 )na nbn ，因此，性质 n 可以归入性质(ab)
11、 na nbn.(ab) anbn (ab) anbn例 2 化简(式中字母均为正实数 )：(1)3x (2x yz)；2 2(2)( y)(4y )1a活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律解：(1)3x (2x yz)(3 2)x yz6yz ；2 2 2 2(2)( )(4y ) yy 4xy 4x.1a1a点评：注意运算性质的
12、应用例 3 已知 10 3,104，求 10 ，10 ，10 2 ， .510活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示解：10 10 103412；10 ；1010 34102 (10 )2 3 2 ；19(10 ) .51054点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法思路 2例 1 计算：(1) ( )02 1 ；614 3338 40.062 5 5(2) 2 ；35(12) 13(127) 3(3)( )( )；4xy(4)( )( )1214活动：学生观察、思考，根式化成分数指
13、数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对 (2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对 (4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价解：(1) ( )02 1614 3338 40.062 5 5 (0.062 5) 111235741211234(0.5) 0.5 5.52 32 12(2) 2 3(12) 134137(5 3) (2 1 )2 (513(13) 2 2(1) 37(2547333.(3)( )( )( 23)( )1xy31234xy214466y
14、6 .4x33y(4)( )( )( )2( )2( )121414x14xy( )( )( )4xyy .14xy点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式例 2 化简下列各式：(1) ；23xy23xy(2)(a3 a3 )(a3a 3 )(a4a 4 1)(aa 1 )活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查 x2 与 的关系可知 x2( )3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2) 先利用平3方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论
15、交流解：(1)原式 2233()yx2233()yx( )2 ( )2( )2( )( )( )23x23y332y34443xy .23()xy(2)原式(a 3)2(a 3 )2(a4a 4 1)(aa 1 ) a23 a 23a4 a 4 1a a 1 a2 a 2a4 a 4 1a4 a 4 1a a 1 aa 1 .a2 a 12a a 1点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到， ( )32a13 还容易看出，对其中夹杂的数字 m 可以化为 m m，需认真对待，要在做题中不12a断
16、地提高灵活运用这些公式的能力Error!1化简：(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )的结果是( ) 132161821412A (1 )1 B(1 )112 32 32C1 D (1 )132 12 132解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形因为(1 )(1 )1 ，所以原式的分子、分母同乘(1 )，1323216 132依次类推，所以 .213()132132()答案：A2计算 0.50.1 2 3 09 0.5 49 0.524 .(279) 237解：原式 100 3 100 3 100.12526412653 916 13 7163计算
17、 (a1)a 2a 1 a 2a 1解：原式 1| 1|(a1)a 1 12 a 1 12 a 1 a 1本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习4设 a0，x ( )，则(x )n的值为_ 12 1n1 x2解析：1x 21 ( )2 ( )2.14 1na14 na这样先算出 1x 2，再算出 ，1 x2将 x ( )代入 1x 2，得 1x 21 ( )2 ( )2.12 na 14 1n14 1na所以(x )n1 x2 ()naa11()()nnnaa.答案：aError!参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 的意义32活动：教师引导学生回顾无理数指
18、数幂 的意义的过程，利用计算器计算出 的近253似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算 的过剩近似值和不足近32似值，利用逼近思想， “逼出” 的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结32果解： 1.732 050 80，取它的过剩近似值和不足近似值如下表3的过剩近似值3 的过剩近似值32的不足近似值3 的不足近似值321.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 5851.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 1831.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 3421.732 1 3.322 11
19、0 36 1.731 9 3.321 649 8491.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 21.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 9231.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 8381.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045 我们把用 2 作底数， 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数：321 7,21.73,21.731,21.731 9，同样把用 2 作底数， 的过剩
20、近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：321 8,21.74,21.733,21.732 1，不难看出 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，3即 的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2会越来越趋近于同3一个数，我们把这个数记为 ，3即 21.72 1.732 1.7312 1.731 92 2 1.732 12 1.7332 1.742 1.8.3也就是说 是一个实数，2 3.321 997 也可以这样解释：33当 的过剩近似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近 ；3 3 3 3332当 的不足近似值从小于 的方向逼近 时， 的近似值从小于 的方
21、向逼近 .3 3 3 32323所以 就是一串有理指数幂 21.7,21.73,21.731,21.731 9，和另一串有理指数幂221.8,21.74,21.733,21.732 1，按上述规律变化的结果，即 3.321 997.3Error!(1)无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂 a(a 0， 是无理数)是一个确定的实数(2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数 r，s，均有下面的运算性质：a rasa rs (a0，r，sR )(a r)sa rs(a0，r，sR)(ab) ra rbr(a0，b0，rR )(3)逼近的思想，体会无限接近的含义Error!习题 32 A 组 6,8.
22、设 计 感 想无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力备 课 资 料备用习题1以下各式中成立且结果为最简根式的是( ) A. a5a3a10a7 10a4B. y3xy2xy2 3x2C. a2b b3a ab3 8a7b15D( )35125 2 35 125 125 35 125答案：B2对于 a0，r，sQ，以下运算中正确
23、的是 ( )Aa rasa rs B(a r)sa rs C ra rbs Da rbs(ab) rs(ab)答案：B3式子 成立的充要条件是( ) x 2x 1 x 2x 1A. 0 Bx 1 Cx 1 Dx2x 2x 1解析：方法一：要使式子 成立，需 x10，x20，即 x2.x 2x 1 x 2x 1若 x2，则式子 成立x 2x 1 x 2x 1从而 x2 是式子 成立的充要条件故选 D.x 2x 1 x 2x 1方法二：对 A，式子 0 连式子成立也保证不了，尤其 x20，x 10 时式子不成立x 2x 1对 B，x 10 时式子不成立对 C，x 1 时 无意义x 1对 D，正确答案：D4化简 (1b 2)b 2b 1解： 1(1 b2)b 2b 1 b 12 b5计算 .32 5 32 5解：令 x ，32 5 32 5两边立方，得 x32 2 3 ( )，即5 5 32 532 5 32 5 32 5x343x，x 3 3x40.( x1)(x 2x4)0.x 2x4(x )2 0，12 154x10，即 x1. 1.32 5 32 5(设计者：郑芳鸣)
