第9章 动能定理.doc

1、195第 9 章 动能定理9.1 主要内容9.1.1 力的功力的元功：在一无限小位移中力所做的功称为力的元功。 rFdW或 sco直角坐标形式 zFyxdd力在有限路程上的功：力在有限路程 M1M2 上的功为力在此路程上元功的定积分。即 sW012co21 r或 21 ddMzyxF常见力的功：重力的功 21Pd21 zzWz弹性力的功 21k定轴转动刚体上作用力的功dzM21W平面运动刚体上力系的功 dCRrF2121C9.1.2 质点系和刚体的动能质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能，即19621ivmT动能是描述质点系运动强度的一个物理量。（1）平动刚体的动能： 2

2、1MvT（2）定轴转动刚体的动能： 2zI（3） 平面运动刚体的动能 221CIMvT9.1.3 质点系的动能定理质点系动能定理建立了质点系动能的变化与作用于质点系上力的功之间的关系。动能定理的微分形式为 FWTd即在质点系无限小位移中质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和。动能定理的积分形式为 F12即在有限路程中质点系动能的改变量等于作用在质点系上所有的力在该路程上的有限功之和。9.1.4 功率 功率方程单位时间内力所做的功vFdtWPM功率方程无 用有 用入 PPTdt机械效率%10输 入有 用9.1.5 势力场 势能 机械能守恒定律197质点在空间任意位置都受到一个大小、方

3、向均为确定的力的作用，该空间称为力场。在势力场中质点从某一位置 M 移至选定的基点 M0 的过程中势力所做的功。势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。（1）重力场中的势能 ozzFV)(d0P若零势能点选在 z0=0 处，于是 zP对于质点系或刚体 CFV其中 是系统的重力，z C 是质心的坐标。PF（2）弹性力场中的势能 )(220k如取弹簧的自然位置为基点 V机械能守恒定律质点或质点系在某一位置的动能与势能之代数和称为机械能。若质点系在运动过程中只受有势力作用，则其机械能保持不变。称为机械能守恒定律。21VT9.2 基本要求1 能理解并熟练计算动能、功、势能等基本物理

4、量。2 会正确应用动能定理的微分形式，解决主动力与加速度之间的关系，主要可求出物体的加速度，以解决系统的动力学问题。3 会正确应用动能定理的积分形式，解决系统的力与运动的问题，主要解决位移、速度与力之间的关系。9.3 重点讨论在动能定理中，力一般按主动力和约束力分类，在理想约束的情况下，约束力的元功之和为零，具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下物体的运动规律。特别对于物系问题，可以整体为研究对象，利用动能定理的微分形式求解物系中某一物体的加速度更为方198便。动能定理的积分形式也给出了质点系在运动过程中速度与位置之间的关系。9.4 例题分析例 9-1 刚

5、度系数为 k 的弹簧，将上端 A 固定，下端挂一重量 FP 的小球（图 9-13） 。将小球托起，使弹簧具有原长，即小球在自然位置 O，然后放手并给小球以向下的初速度 v0。求小球所能下降的最大距离 。解：以小球在自然位置 O 为始点，这时速度大小为 v0；小球下降到最低处 B 为终点时，这时速度 v=0，而弹簧的伸长为 。小球运动时所受的力有重力 FP 和弹性力 F。当小球由 O 运动到 B 时，重力 FP 所做的功等于 FP；至于弹性力 F所做的功，在式（9-9）中令 1=0， 2=，即知为 。由2k质点动能定理得 2P20kvg即 0Fk解得 例 9-1 图2P2P1vgk令 为 FP

6、的静力作用下弹簧的伸长，称为静伸长，于是stkP gvsttst 20例 92 图 9-2 所示系统中，滚子 A 、滑轮 B 均质，重量和半径均为 FP1 及r，滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮 B 的不可伸长的绳索提升重 FP 的物体，同时带动滑轮 B 绕 O 轴转动，求滚子质心 C 的加速度 aC 。 解法一 求加速度宜用动能定理的微分形式 (a)FWTd先写出系统在运动过程中任意位置的动能表达式(b)2P222P11pBOACvgIIvgFT199A 轮纯滚动，D 为 A 轮瞬心，所以 rvCA又 221,1, gQIrgIvrOCPCB代入式（b） ，得(c)2P1Cv

7、FT(d)gdd主动力 FP1、F P 的元功 (e)sFW)sin(P1因纯滚动，滑动摩擦力 F 不作功，将式（d）及式（e ）代入式（ a） ，两边再除以 dt，且知 ，得CvtsCCvFtvg)sin(d2PP1P1ga12解法二 此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。 由该系统在任意位置的动能表达式（c）所示，设系统的初始动能为 T0，它是一个定值，设从初始至任意位置，圆轮质心 C 走过距离 s，由式（922） ，得任意位置的动能 （f）sFTvgFC)sin(2PP10P1这里 vC 和 s 均为变量，将式（f）两边对时间求一阶倒数，

8、得 ttvC d)si(dPP1P1同样得到 gFaCP12in例 9-2 图PF1PF1200例 93 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺 AB 运动，如图所示。曲柄和AB 都是均质杆，重量分别为 FP 和 2FP，且 OCACBC l，滑块 A 和 B 重量均为 Q。常力偶 M 作用在曲柄上，设 0 时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角 表示) 。 (a) (b)例 9-3 图解：由图 9-3a 所示的几何条件， OCBC， ，因此 OC = AB = ，系统由静止开始运动，当转过 角时，系统的动能为 222211IIvgQTOBA对 AB 如图 9-3b 所示，瞬心为 ，有运动关

9、系为 sin2coll所示 glFQ lgFlgFlgQT2)34( )2(3131)i(21cos1P P2P 系统中力做的功为 MW由动能定理的积分形式为 T12其中 ，解得T21,0FP 2FPIFP 2FP2012P)34(lFQgM由动能定理的微分形式，得 tWTd其中 )34(d2PglFQdM所以 glF/)34(2P解得 2P)(lQ例 94 图示系统中，物块 A 重 FP，均质圆轮 B 重 Q，半径为 R，可沿水平面纯滚动，弹簧刚度系数为 k，初位置 y=0 时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，定滑轮 D 的质量不计，绳不可伸长。试建立物块 A 的运动微分方程，并求其运动规律

10、。 例 9-4 图解：为建立物块 A 的运动微分方程，宜对整个系统应用动能定理。以 A 的位移为变量，当 A 从初始位置下降任意距离 y 时，它的速度为 vA，此系统的动能 （a ）222P11BAIvgQFTFP202为建立 A 的运动微分方程，需找出 vB、 B 与 vA 的关系。有运动学知（b）R2,1（c ）gQIB将式（b）和式（c ）代入式（ a） ，得（d）2P1638AvFT由题意，此系统的初动能 0初始位置时，弹簧为原长， ，当 A 下降 y 时，弹簧伸长 ，则外力做0 2y功为（e ）2P0kyFW根据式（d）和式（e ） ，由动能定理得（f）2P2P81638ykvgQA

11、对时间求一阶导数，其中 ，得tyAd（g）04382PPkFyk此即物块 A 的运动微分方程。可以看出，对整个系统应用动能定理，以此来建立系统中某物体的运动微分方程是很方便的。如果用微分形式的动能定理求解此题，则要注意到 2dPykFW（h）4将式（d）和式（h）代入式（921） ，得 ykFvgQAd1638dP2P此式两边被 dt 除，同样得到物块 A 的微分方程（g） 。为便于求解其运动规律，对式（g）作变量变换，令（i）Cy1203将式（i）代入式（g） ，得 04382dP1P1 kFCyQFkgty为消去常数项，令 ，得到以 y1 为变量的标准形式的微分方程 kCP40382d1P

12、gt设其解为（j）)sin(01tAy物块 A 的运动规律为（k）i0tC（l）)cos(dty其中 （m ）QFkg382P0将初始条件：t = 0 时， 代入式（k）和式（l） ，得,dyt，2AP4将式（m）和式（n）代入式（j） ，物块 A 的运动规律为 kFtQkgkFyPP238sin4例 9-5 图 9-5 所示矿井升降机的链带上挂有重 FP1、F P2 的两重物；绞车 由电动机带动。开始时，重物 FP1 以匀加速度 a 被提升，当速度达到 vmax 时，将保持匀速不变。已知绞车 的半径为 r1，其对轴的转动惯量为 I1；滑轮、的半径各为 r2 、 r3，对轴的转动惯量各为 I2

13、、I 3；链带的单位长度重量为 q，全长为 l。试求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。 1PF2P204例 9-5 图解：用功率方程求解，设链带速度为 v，系统总动能、有用功率、无用功率为 2212321 2123221 vgqlFrII lrvITPP(有用) =( FP1F P2) vP(有用) =0代入式功率方程，得（a ）vFvgqlrIIt P212212321d 入注意到链带的重心位置不变，所以其重力的功率为零。由式（a）得到变速运动阶段电动机的输出功率 vFagqlFrIIPPP 21212321其中，v=at，t 是从启动开始计算的时间。匀速运动阶段，电动机

14、的输出功率 max21vP9.5 习题解答9-1 为什么切向力做功，法向力不做功？为什么作用在瞬心上的力不做功？解：法向力作用点的法向位移为零，做功为零。瞬心上的速度为零，位移为零，所以作用在瞬心上的力不做功。9-2 题 9-2 图所示，质点受弹簧拉力运动。设弹簧自然长度 cm，系20l数为 N/m。当弹簧被拉长到 cm 时放手，问弹簧每缩短 2cm，弹簧20k261l所做的功是否相同？205解：由弹性力功的公式 21kWJk 02240.60221 1.4. 2Jk 4.22213 所以，弹簧所做的功不相同。9-3 一质点 M 在粗糙水平圆槽内滑动如题 9-3 图所示。如果该质点获得的初速度

15、 v0 恰能使它在圆槽内滑动一周，则摩擦力的功等于零。这种说法对么？为什么?解：这种说法不对。 WT12其中， ， ，摩擦力的功为201MvT 201Mv9-4 自 A 点以相同大小但倾角不同的初速度 v0 抛出物体（视为质点） ，如题 9-4 图所示。不计空气阻力，当这一物体落到同一水平面时，它的速度大小是否相等？为什么？解：不计空气阻力时，系统机械能守恒。由机械能守恒定律得22011mvgHv所以，只要初速度 v0 相同， H 相同，则落地的速度大小相等。2069-5 题 9-5 图所示两轮的质量相同，轮A 的质量均匀分布，轮 B 的质心 C 偏离几何中心 O。设两轮以相同的角速度绕中心

16、O 转动，问他们的动能是否相同？解：（a） （b）21OIT21CIT因为 ，所以两轮的动能不同。COI9-6 题 9-6 图所示一纯滚圆轮重 ，半径为 R 和 r，拉力 FT 与水平成 角，PF轮与支撑水平面间的静摩擦因数为 f，滚动摩擦因数为 ；求轮心 C 移动 s 过程中力的全功。解：圆轮在运动过程中，有两种力做功：一是摩擦力滑动做功和滚动做功；二是拉力平移做功和拉力使轮转动做功。 RsFRrsFWincoTPT(a) (b)题 9-6 图9-7 如题 9-7 图所示，计算下列情况下各均质物体的动能：a)重为 、长为 lPF的直杆以角速度 绕 O 轴转动；b）重为 、半径为 r 的圆盘以

17、角速度 绕PFO 轴转动；c) 重为 、半径为 r 的圆轮在水平面上作纯滚动，质心 C 的速度PF为 v;d) 重为 、长为 l 的杆以角速度 绕球铰 O 轴转动，杆与铅垂线的夹角为P（常数） 。FNF M207解：a) 2P2P26131lgFlgITb) erFc) 2P2P2P2P2 43111 vgFrgvITC d) ,其中 ，drm xlFdsin22P20Pi6sin21gxglFT9-8 题 9-8 图所示坦克履带质量为 m，两个车轮的质量均为 m1。车轮可看作均质圆盘，半径为 R，两车轮轴间的距离为 R。设坦克前进的速度为 v，试计算此质点系的动能。题 9-8 图解：车轮作平

18、面运动，其中一轮的动能 21202143vmIvTCD 段为平动，其动能 22)(AC 段和 BD 段合看作一圆环，作平面运动，其动能xdm208223121mvIvTAB 段动能T40 总动能 21321 vT9-9 题 9-9 图 所示滑轮重 Q、半径为 R，对转轴 O 的回转半径为 ，一绳绕在滑轮上，绳的另一端系一重为 的物体 A，滑轮上作用一不变转矩 M，使PF系统由静止而运动；不计绳的质量，求重物上升距离为 s 时的速度及加速度。题 9-9 图解：由动能定理 WT12T1=0 2P2gQvFsFRMsP补充方程为 ， ，代入，得tvdvsgQFP22P12P2PRFMFRsv对速度求

19、导数，得 2PdQRFgtva9-10 弹簧原长 l010cm。弹簧常量 k4.9 kN/m，一端固定在 O 点，此点在半径为 R10cm 的圆周上，如图示。当弹簧的另一端由 B 点沿圆弧运动至A 点时，弹性力所作的功是多少？已知 ACBC， OA 为直径。题 9-8 图209题9-题 9-10 图解：在 B 点时 OBl 110 cm2 1l 1l 010 cm)1(在 A 点 OAl 220cm2l 2l 0201010cm 弹性力所做的功为 J3.2010)210(941)( 422kW9-11 质量为 2kg 的物体 A 在弹簧上处于静止，如题 9-11 图所示。弹簧刚度系数为 k=4

20、00N/m。现将质量为 4kg 的物体 B 放置在物块 A 上，刚接触就释放它。求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。题 9-11 图解：（1）该系统初动能 ，弹簧压缩量达到最大值时弹簧力最大，两01T物块速度为零，动能 ；设这时两物块的位移为 xmax；由 得2 WT12max2max2 gkBAss 式中21020gkmAs从而求出弹簧的最大压缩量是 4max弹簧的最大作用力为 N9810axgkF（2）设两物块速度为 v 时，位移为 x，动能为 T2，得（1）gxmmBAssBA 22对时间求导数，注意 ，得x（2）gkxvBBA在速度最大时， ，解出此时的位移

21、 ，和 一起代入式（1）即0v ks可求出最大速度 m/s8.max9-12 链条长 l、重 ，展开放在光滑桌面上，如题 9-12 图所示。开始时PF链条静止，并有长度为 a 的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。（a） （b）题 9-12 图解：链条在运动时，各点处速度大小均相等，设为 v，所以初状态 T00末状态 21vgFP将链子分为两部分，一部分长度为 a，另一部分长度为 la，则重力做功写成 WTlFllFPP01 2)(laa211即 lalgvalPlFPP/)(22129-13 题 9-13 图所示滑轮组中，定滑轮 O1 半径为 r1，重 ；动滑轮 O21WF半径为 r2，重 。

22、两轮均视为均质圆盘，悬挂重物 M1 重 ，M 2 重 Q。绳和2WF P滑轮间无滑动，并设 (2Q )，求重物 M1 由静止下降距离 h 时的速度。P2WF（a） （b）题 9-13 图解：系统中，定滑轮为定轴转动，动滑轮为平面运动，重物均作平移，分别写出系统初、末时的动能。T1=0 2022102212 1IvgFIvgQFWP 又 202101 121,2, rgFIrgFIWWO1r1r2O2DM1M2 v1v22122)()34812112hFQhWvgTWPW由动能定理有 T12211 223428)( )(WP WPPFQFghv hFQhv913 题 9-14 图所示冲床冲压共建

23、时冲头受的平均工作阻力 F=52 kN，工作行程 s=10 mm。飞轮的转动惯量 J=40kg.m2，转速 n=415r/min。假定冲压工件所需的全部能量都由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。题 9-14 图解：研究整体，冲压前飞轮角速度为 ，设冲压后飞轮角速度为 ，由304152动能定理，有 sFJ212解得 rad/s 13.42冲压后飞轮转速为r/min41202n题 9-15 图2139-15 行星齿轮传动机构置于水平面内，如题 9-15 图所示。已知动齿轮半径为 r，重 ，可看作均质圆盘；曲柄 OA 重 Q，可看作均质杆；定齿轮半径PF为 R。在曲柄上作用一常力偶 M，力偶在机构

24、平面内，机构由静止开始运动。求曲柄转过 角时的角速度和角加速度。解：曲柄转过 角时，系统的动能为：(1)2220211AIvmIT由系统中各部分运动关系分析可知： rRrA)(又 21mIA代入(1)式，化简得： 22)(19rRgQFTP开始时，系统静止：T 1 0 MWF由动能定理的积分式 FT12有(2)rRgQFP0)(19FgMP293（2）式两侧对 t 求微分，则 ttrRgQFPd)(6292又 2)(96,drgmtP9-16 题 9-16 图所示，原长 h0=400mm、弹簧刚度系数 k=2N/mm、不计质量的弹簧一段固定于 O 点，另一端与质量 m=10kg 的均质圆盘的中

25、心 A 想联结。开始时 OA 在水平位置，长 h1=300mm，速度为零。求圆盘在铅垂平面内沿曲线轨道作纯滚动，OA 到铅垂位置时盘心的速度，此时 OA=h2=350mm。214解：假设圆盘的半径为 R，到达铅垂位置时盘心的速度为 v，圆盘转动角速度为。则 vT1=0 22222 431 mvRmvIvT JghkW5.13.08914.0354.032221 由动能定理 WT12解得 v=2.35m/s9-17 连杆 AB 重 40N，长 l60cm，可视为均质细杆；圆盘重 60N，连杆在图示位置静止开始释放，A 端沿光滑杆滑下。求：(1)当 A 端碰着弹簧时(AB 处于水平位置)连杆的角速

26、度 ；(2)弹簧最大变形量 ，设弹簧常量 k20N/cm( 圆盘只滚不滑)。解：（1）A 碰着弹簧时，B 点为 AB 的速度瞬心 题 9-17 图215lWlWlglITvABABABABB4130sin26102222 由动能定理得T2T 1W rad/s95.4602836lgllABAB（2）当 A 达最大形变处时，v Av B0 T10 T20 T2T 10W AB )0(2142kl)46即 02cm8.24即 （ 舍 去 负 号 ）9-18 题 9-18 图所示两均质细杆 AB、BO 长均为 l，质量为 m，在 B 端铰接，OB 杆一端 O 为铰链支座，AB 杆 A 端为一小滚轮。

27、在 AB 上作用一不变力偶矩 M，并在图示位置静止释放，系统在铅直平面内运动，试求 A 碰到支座 O时，A 端的速度。 IAOCBvAvCvBB CMAOmg mg216（a） （b） ( c ) 题 9-18 图解：此题求解的是 A 端速度，而系统的约束是理想的，由动能定理 WT12则(1)cos1(2021 lmgMImvIABCOB由于二杆与铅直线的夹角 相等，有 ，又如图（c）知，AB 杆的O瞬心在 I，由 OB 杆知vBl 有 I于是 llAC2,3代入动能方程(1)中，得到 )cos1(01492132122 mglMllml即 )cos(32glvA则 )cs1(lmMvA9-1

28、9 题 9-19 图所示轴和安装在其上的飞轮和齿轮的转动惯量分别为I1=490000 kgcm 2，I 2=392000 kgcm2。齿轮的传动比 。发动机传给轴321r的力矩 M=490 Nm，使此系统由静止而转动。如摩擦不计，试求轴经过多少转后，作转速 n2=120r/min 的转动。217解：对整体，由动能定理 WT12有 12210MII式中， ，430123821解得rad6.91轮的转角 12轮的转速 r34.n题 9-19 图9-20 题 9-20 图所示均质杆 OA 长 l=3.27m，杆上端 O 处套在某轴上，此杆可在铅垂平面内绕此轴转动。最初，杆处在稳定平衡位置，今欲使此杆

29、转 1/4转，问应给予杆的另一端 A 点多大的速度？解：设给予 A 点的速度为 v，则杆的角速度为，由动能定理lvWT1223ml0gl代入整理得m/s8.93lv9-21 题 9-21 图所示重物 A 重 ，挂在一根无重不可伸长的绳子上，绳PF218子绕过固定滑轮 D，并绕在鼓轮 B 上。由于重物下降，带动轮 C 沿水平轨道滚动而不滑动。鼓轮的半径为 r，轮 C 的半径为 R，两者固结在一起，总重量为Q，对于水平轴 O 的回转半径等于 。求 A 重物的加速度。轮 D 的质量不计。解：由题意轮与地接触点 M 为速度瞬心则质心速度 Rv1绳与鼓轮接触点速度 )(2r即 21vrR由动能定理 WT

30、12其中，01yFP2222212 )(vgrRgQvFgQvTP 题 9-21 图代入得v2M219yFvgrRgQPP 02)(21其中，y、v 2 均为时间的连续函数，将方程对时间求一次导数，得 222)(ddrRtvtvtyFP 其中，2vtta2整理的 agQvrRgFP22)(2FQaP9-22 在绞车主动轴上，作用一不变力偶矩 M 以提升一重为 的物体。PF已知：主动轴及从动轴连同各轴上的齿轮、鼓轮等部件对轴的转动惯量分别为I1 及 I2；传速比 1 /2i，吊索绕在半径为 R 的鼓轮上。不计轴承摩擦及吊索质量，求重物 A 的加速度。题 9-22 图 解：设系统初瞬时静止，当重物

31、 A 被提升 dh 时，由动能定理的微分形式，得 FMvgFIId PAP2221所以有FP220APAPvFMavgFI121由运动关系： 222121, RRii AA所以得 221)(FgIiMaPA9-23 均质圆盘质量为 m1，半径为 r，可绕定轴 O 转动，重物 A 的质量为m2。弹簧水平，弹簧常量为 k，图示 OB 铅直时系统处于平衡位置，求圆盘微振动的微分方程。题 9-23 图解：设在平衡位置，弹簧伸长量为 x0 grmak2以平衡位置为初始位置，转过 角后为末位置，系统动能为 21 21024)(1rrIvTA外力做功为 2022 )(xkgrmW221其中， ，axtnak

32、xgrm02 2akWW02由动能定理有 Td即有 tkaxgrmtrmd212022 又 2d,dtt解得 0)(212mrkat9-24 矿用水泵的电动机功率 N=25kW，机械效率 ，井深 H=150m；求每6.小时抽上的水量。解： W105.102533P有 用根据功率方程的概念tdtPd应用积分形式 T由机械能守恒 hMgP360015103=103V9.8150解得V=36.7m3/h9-25 为了把 5000m3 的水提升 3m，安装一具有 2kW 功率的抽水机，如抽水机的效率为 0.8，试求抽水机完成此项工作所需的时间。222解：设用时间为 t 秒，而 W106.8203NP有

33、95W由机械能守恒 ，得it有50001039.83=21030.8t解得t=91875 s9-26 为了测定发动机的功率，在它的转轮上套一具有木块的软带，软带右边一段与弹簧秤相连，左边一段挂一重物，如题 9-26 图所示。设发动机转速n=1200r/min，弹簧秤量出拉力为 40N，重物质量为 1kg，转轮直径为 1m，试求发动机的功率。(a) (b)题 9-26 图解：设电机的输出转矩为 M，研究整体，受力图如图所示，则N.m1.508.94mgRT所以W7.3120nP9-27 测量机器功率用的测功器由胶带 ACDB 和杠杆 BH 组成，胶带的两边 AC 和 BD 是铅垂的，并套住受测试

34、机器的带轮 E 的下部，而杠杆则以刀口搁在支点 O 上，如题9-27 图所示。藉升高或降低支点题 9-27 图FOyFPFOxMTFOxFOymgM223O 可以变更胶带的张力，同时变更轮与胶带间的摩擦力。杠杆上挂一质量m=3kg 的重物，如力臂 l=50cm 时杠杆 BH 可处于水平的平衡位置，机器带轮的转速 n=240r/min，求机器的功率。解：设电机的输出转矩为 M，研究整体，受力图如图所示0xF0OxEmgl mglM由功率计算公式W3.695.0830243nP9-28 列车质量为 m，其功率为常数 N，如列车所受阻力 F 为常数，则时间与速度的关系为 mvFtln2如阻力 F 与速度 v 成正比，则 vNtl试证明之。证：（1）当火车所受阻力 F 为常数时，因为功率 P与牵引力有如下关系： ， ，即牵引力包括两部分，一部分克服阻力前进，另一vFN有tvmd有部分使列车产生加速度 vFtmNd对两边积分tvmFN00dffkfmt2ln FvNtln2（2） 当阻力 F 和速度 成正比时，设 ， 为常数。同理可知vkvFtd224即 2dkvtmN2对两边积分 tvmFN00dvNkvt ln2ln2