1、1.（2009 全国卷）如图，四棱锥 SABCD中，底面 AB为矩形， SD底面 ABC，2AD， 2CS，点 M在侧棱 上， M=60。 （I）证明： 是侧棱 的中点；求二面角 AB的大小。 2.（2009 全国卷）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC,D、E 分别为 AA1、B 1C 的中点，DE平面 BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小3.（2009 浙江卷）如图， DC平面 AB， /EDC， 2ABEDC，120ACB， ,PQ分别为 ,的中点 （I ）证明： /PQ平面 ；（II）求 A与平面
2、E所成角的正弦值4.（2009 北京卷）如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，PDABC底 面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面E平 面； （）当 2且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.（2009 江西卷）如图，在四棱锥 PABCD中，底面ACBA1B1C1D EOAPB CMDABCD是矩形， PA平面 BCD， 4PA， 2B以 D的中点 O为球心、为直径的球面交 于点 M（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角；（3）求点 O到平面 的距离6.（2009 四川卷）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相
3、垂直，ABE是等腰直角三角形， ,45EF（I ）求证：FC平 面；（II）设线段 D、 的中点分别为 P、 M，求证： PM平 面（III）求二面角 BA的大小。7.（2009 湖北卷文）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD,SDADa,点E 是 SD 上的点，且 DE a(0 1). ()求证：对任意的 （0、1） ，都有 ACBE:()若二面角 C-AE-D 的大小为 600C，求 的值。8.（2009 湖南卷）如图 3，在正三棱柱 1ABC中，AB=4, 17A,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且DE E.（ ）证明：平面 1平面 1; （）
4、求直线 AD 和平面 所成角的正弦值。9.（2009 四川卷）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，,45（I）求证： C平 面 ；（II）设线段 D、 AE的中点分别为 P、 M，求证： PM B平 面（III）求二面角 F的大小。10.（2009 重庆卷文）如题（18）图，在五面体 ABCDEF中， C， 2BAD，2CDA，四边形 ABFE为平行四边形， 平面 ， 3,7E求：（）直线 到平面 C的距离；（）二面角 D的平面角的正切值11如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB 60，AB2AD，PD底
5、面 ABCD(1)证明：PABD；(2)设 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值12（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB ACD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点（1） 证明：PE BC（2） 若 APB= ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值参考答案1、 【解析】 （I）解法一：作 MN SD交 C于 N，作 EAB交 于 E，连 ME、NB，则 面 AB， , 2D设 Nx，则 Ex,在 RT中， 603Ex。在 M中由 22NM2解得 1x，从而 1SD M 为侧棱 SC的中点 M. 解法二:
6、过 作 C的平行线 .（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过 M作 JCD交 S于 J,作 HAJ交 于 ,作 HKAM交 于 K,则J , 面 A,面 面 MB, S面 BS即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 F交 于点 F，则点 F为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证 ，则 G即为所求二面角.解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则)2,0(),(),02(),02( SCBA。（）设 )0,)(,0
7、baM，则 )2,(,2,),2( baSMBA，SC，由题得M/21,cos，即)2(ba解之个方程组得 1,ba即 ),0(M所以 是侧棱 SC的中点。 法 2：设 M，则 )12,(),12,0( B又 oABAB6,),0(故 0cs|，即22)1()(14，解得 1，所以 M是侧棱 SC的中点。（）由（）得 ),2(),0(A，又 )2,0(AS， )0,2(AB，设 ),(211 zyxnzyxn分别是平面 M、 的法向量，则SABCDMzxy01ASnM且 012BnA，即 0211zxy且 022yzx分别令 2x得 ,21yz，即)(),(1， 3620,cos1n 二面角
8、SAMB的大小 arcos。2、解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF 12B，从而 EF DA。连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE。又 DE平面 1C，故 AF平面 1BC，从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。（）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故 AGC 为二面角 A-BD-C的平面角。由题设知，AGC =600设 AC=2，则 AG= 23。又 AB=2，BC = 2，故 AF= 2。由 ABDG得 2AD= 2.3AD，解得 AD= 2。故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF
9、 为正方形。因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。连接 AE、DF ，设 AEDF=H，则 EHDF，EH平面 BCD。连接 CH，则ECH 为 1BC与平面 BCD 所成的角。. 因 ADEF 为正方形， AD= 2，故 EH=1，又 EC= 12BC=2，所以ECH=30 0，即 1BC与平面 BCD 所成的角为 300.解法二：（）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0） ，C（0，b， 0） ，D（0，0，c） ，则（ 1， 0，2c）,E（ 1， 2，c）.于是
10、D=（ ， ，0） ， B=（-1，b,0）.由 DE平面1BC知 DEBC， C=0，求得 b=1，所以 AB=AC。（）设平面 BCD 的法向量 (,)ANxyz则 0,.ABCND又=（-1，1， 0） ，BD=（-1，0，c ）,故 0xycz 令 x=1, 则 y=1, z= 1, AN=(1,1, ).又平面 B的法向量 C=（0，1，0）由二面角 D为 60知， A， =60，故 60cosANA，求得 21c 于是 ），（ 21 ， ），(1CB2cos11AN，601， 所以 CB1与平面 D所成的角为 303、 （）证明：连接 QP,， 在 ABE中， QP,分别是 ABE
11、,的中点，所以EPQ2/， 又 BE21/，所以 DC/，又 平面 ACD ，DC 平面 ACD， 所以 平面 ACD（）在 AC中， A,，所以 AB而 DC 平面 ABC， EB/，所以 平面 ABC而 EB平面 ABE， 所以平面 ABE 平面 ABC， 所以 CQ平面 ABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP/所以 DP平面 ABE， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 A在 ARt中， 5122C ， 1sin2CAQ所以 51sinP4、 【解法 1】 （）四边形 ABCD 是正方形，AC BD， DABC底
12、面 ，PDAC，AC平面 PDB，平面 EP平 面 .（）设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、PB 的中点，OE/PD， 12PD，又 ABCD底 面 ，OE底面 ABCD，OE AO，在 RtAOE 中， 2EO， 45AO，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设 ,ABaPDh则 00,0,CaDPh，（） ,CB， ,ADP，ACDP，AC DB，AC平面 PDB，平面 EB平 面 .（）当 2PA且 E 为 PB 的中
13、点时， 120,2,PaEa，设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， 122,0,2EAaaEa，cosO， 45AE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDV EBCF= 25、解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为 平面，则 ，又，所以 平面，则 ，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则 ，由（1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以 PNM就是 C与平面 AB所成的角，ONAPB CMDz
14、xy且 PNMCDtantan2P所求角为 rc2（3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平面于 M，则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离.因为在 RtPAD 中， 4PA， A，所以 M为 P中点， 2，则 O点到平面 ABM 的距离等于 2。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， (,04)P， (2,0)B， (2,40)C，(0,4)D， (,2)M，设平面 AB的一个法向量 (,)nxyz，由 ,nM可得： xyz，令 1，则 1y，即 (0,1)n.设所求角为
15、，则 2si3CnP，所求角的大小为 2arcsi3. （3）设所求距离为 h，由 (1,0)(1,20)OA，得： 2AOnh6、 【解析】解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BC AB，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为 ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即 EFBE.因为 BC平面 ABCD, BE 平面 BCE,BCBE=B所以 EFC平 面6 分（II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN 12ABPC PMNC 为平行四边形 ,所以 P
16、MCN. CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. 8 分（III）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA 的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BDFH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= 2,则 1sinFA2在 RtBGH 中, GBH=45,BG=AB+AG=1+ = 3,32GHBsin4, 在 RtFGH 中, FGtaH,
17、二面角 FBDA的大小为 2arctn312 分 解法二: 因 E等腰直角三角形， EB，所以 AB又因为平面 C平 面 ，所以 平面 CD，所以 A即 BD、 两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I) 设 1，则 E， )0,1(,)0,1(),(EDB 45,F， 9A，从而 ）， （ 20 )1,(E， )0,1(),0(BCE于是 021BEF， 0BCEF , 平面 C， 平面 ， EFB平 面（II） )0,21(),0(PM，从而 )21,(M于是 04, EF，又 平面 BCE，直线 P不在平面 BCE内，故 平面（III）设平面 BD的一个法向量为 1n，并设 1（ ),zy
18、x)2,30(),1(1BFn即 1zyx取 y，则 x， 3z，从而 1n（1，1，3）取平面 ADD 的一个法向量为 ),0(21cos2121nn、 故二面角 FBA的大小为 3arcos7、 （）证发 1：连接 BD，由底面是正方形可得 AC BD。SD 平面， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 AC BE.(II)解法 1： SD 平面 ABCD， 平面， SD CD. 又底面是正方形， D D ，又 AD=D， CD 平面 SAD。过点 D 在平面 SAD 内做 DF AE 于 F，连接 CF，则 CF AE， 故 CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角
19、，即 CFD=60在 RtADE 中， AD= a, DE= ， AE= a12 。于是，DF= 12AED在 RtCDF 中，由 cot60= 2CF得 312， 即 32=3 (0,， 解得 =8、解:（）如图所示，由正三棱柱 1ABC的性质知 1A平面 BC.又 DE平面 ABC，所以 DE .而 DE 1E， 1,所以 DE平面 1.又 DE 平面 D，故平面 1ADE平面 CA.（）解法 1: 过点 A 作 AF 垂直 1E于点 F,连接 DF.由（）知，平面 1平面 1，所以 AF 平面 1DE,故 是直线 AD 和平面 1A所成的角。 因为 DE 1AC，所以 DE AC.而 A
20、BC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD= 23，AE=4-CE=4- 12CD=3.又因为 17A，所以 1AE= 21AE2(7)3= 4, 14EF, sin8F.即直线 AD 和平面 1AD所成角的正弦值为 21 .解法 2 : 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,), 1(2,0, 7), D(-1, 3,0), E(-1,0,0).易知 1AD=（-3， 3，- 7） ， E=（0，- ，0） ， A=（-3， ，0）.设 (,)nxyzr是平面 1的一个法向量，则10,37.EAzuvr解得 ,xzy.故
21、可取 (7,03)nr.于是 cos,ADur= 72184 . 由此即知，直线 AD 和平面 1E所成角的正弦值为 218 .所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线。 12 分9、 【解析】解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BC AB，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为 ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即 EFBE.因为 BC平面 ABCD, BE 平面 BCE,BCBE=B所以 EFC平 面 6 分（II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,
22、则 MN 12ABPC PMNC 为平行四边形 ,所以 PMCN. CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. 8 分（III）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA 的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BDFH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= 2,则 1sinFA2在 RtBGH 中, GBH=45,BG=AB+AG=1+ = 3,
23、32GHBsin4, 在 RtFGH 中, FGtaH, 二面角 FBDA的大小为 2arctn312 分 解法二: 因 E等腰直角三角形， EB，所以 AB又因为平面 C平 面 ，所以 平面 CD，所以 AE即 A、 两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I) 设 1B，则 ， )0,1(,)0,1(),(D 45,AEF， 09AE，从而 ）， （ 210 ),(， )0,1(),0(BC于是 BEF， EF , 平面 C， 平面 BC， BEFB平 面（II） )0,21(),0(PM，从而 )21,(M于是 04, EF，又 平面 BCE，直线 P不在平面 BCE内，故 平面（III）设
24、平面 BD的一个法向量为 1n，并设 1（ ),zyx)2,30(),1(1BFn即 1zyx取 y，则 x， 3z，从而 1n（1，1，3）取平面 ADD 的一个法向量为 ),0(21cos2121nn、 故二面角 FBA的大小为 3arcos10、解法一:（） ,DC平面 EFD, AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面ABC DEFxyzGEFCD的距离，过点 A 作 GFD于 G，因 2BADC，故 A；又 A平面 B，由三垂线定理可知， C，故 F面 ，知 G，所以AG 为所求直线 AB 到面 E的距离。在 Rt 中， 2945F由 平面 CD，得 AAD，从而在 Rt AD中，
25、2541FA2G。即直线 B到平面 EFC的距离为 25。（）由己知， FA平面 CD，得 AAD，又由 AD，知 AB，故AD平面 ABFEE，所以， 为二面角 FE的平面角，记为 .在 Rt 中, 2743E,由 CA得, FEA,从而2F在 tAE 中, 2312FA ,故 tan2所以二面角 D的平面角的正切值为 .解法二: （）如图以 A 点为坐标原点, ,BAF的方向为,xyz的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 0(,)()z可得 0(2,)Fz,由|3F.即 2203z,解得 1F ABD，D面 E,所以直线 AB 到面 EC
26、的距离等于点 A 到面 E的距离。设 A 点在平面 上的射影点为 1(,)Gxyz,则 1(,)xyz 因 0G且 0CD,而 (0,21),C,此即 120yzx 解得 1x ,知 G 点在 yoz面上,故 G 点在 FD上. GFDA, 11(,)xyz故有 12yz 联立,解得, 24(0,)5G . |为直线 AB 到面 EFCD的距离. 而 4(0,)5AG 所以 |A（）因四边形 AB为平行四边形,则可设 00,1Ex, 0(2,1)EDx .由|7ED得 2017x,解得 02.即 ().故由 (,), ()F因 AD, AF,故 为二面角FA的平面角，又 ,)E,|E,|1,所
27、以|tan2E111111.解：(1)因为DAB 60，AB2AD，由余弦定理得 .3BDA从而 BD2AD 2AB 2，故 BDAD又 PD底面 ABCD，可得 BDPD所以 BD平面 PAD 故 PABD(2)如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1，0，0)，B (0， ，0)，C(1， ，0) ，P(0 ，0，1)33(1， ，0)， (0， ，1) ， (1，0，0)AB3PB3BC设平面 PAB 的法向量为 n(x，y ，z) ，则 nAP即 03xyz因此可取 n( ，1， )3设平面 PBC 的法向量为 m，则 0PBC可取 m(0，1， )， .3427cos,mn故二面角 A-PB-C 的余弦值为 .2712.解：以 H为原点， ,BHP 分别为 ,xyz轴，线段 HA的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 (10)(,)（）设 ,0,)Cmn则 ()(,).2DE可得 1,(,1).PBm因为 0C所以 E（）由已知条件可得 33,1nC故 (,0)31(0,),(,0)(,)26DEP设 ,nxy为平面 H的法向量则 ,oP即13026xyz因此可以取 (1,30)n，由 ,A，可得 2cos,4Pn所以直线 A与平面 EH所成角的正弦值为 24
