1、1一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、 判定线面平行的方法1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、 平面外的一条
2、直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、 如果两条平行直线中的一条垂直于
3、一个平面，则另一条也垂直于该平面4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、 定义：成 角902、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、 定义：
4、两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为 9022、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： 90,2、直线与平面所成的角的取值范围是： 3、斜线与平面所成的角的取值范围是： ,4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是： 180,十、三角形的心1、 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、 重心：中线的交点4、 垂心：高的交点【例题分析】例 2
5、在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，求证：MN平面 PAD【分析】要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加) 中位线辅助证明证明：方法一，取 PD 中点 E，连接 AE，NE底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，MACD ， .21CDAE 是 PD 的中点，NECD， .MANE，且 MANE，AENM 是平行四边形，MNAE又 AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD方法二取 CD 中点 F，连接 MF，NF3MFAD ，N
6、F PD，平面 MNF平面 PAD，MN平面 PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc， a，a a，bb a， babab abab(2)证明线面平行：a ab b ，a a a a a(3)证明面面平行： a ，b a，a ， a，b ，a bA 例 3 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1AC ，ABAC ，求证： A1CBC 1【分析】要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C 垂直于经过 BC1 的平面即可证明：连接 AC1ABCA 1B1C1 是直三棱柱，AA 1平面 ABC，ABAA 1又 ABA
7、C，AB平面 A1ACC1，A 1CAB又 AA1AC，侧面 A1ACC1 是正方形，A 1CAC 1由，得 A1C平面 ABC1，A 1CBC 1【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化4例 4 在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，AB BC，APPB ，求证：平面PAC平面 PBC【分析】要证明“面面垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，且 ABBC ，BC平面
8、PAB，APBC又 APPB，AP平面 PBC，又 AP 平面 PAC，平面 PAC平面 PBC【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc， ab abab(1)证明线面垂直：am，an ab，b ，a ，lm， n ，m nA a ，ala a aa(1)证明面面垂直：a ，a 例 5 如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 A1ABB1 是菱形，且垂直于底面ABC， A1AB 60，E，F 分别是 AB1，BC 的中点()求证：直线 EF平面 A1ACC1；5()在线段 AB 上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证明证明：()
9、连接 A1C，A 1E侧面 A1ABB1 是菱形， E 是 AB1 的中点，E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点，EF A 1CA 1C 平面 A1ACC1，EF 平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1(2)解：当 时，平面 EFG平面 ABC，证明如下：3G连接 EG，FG 侧面 A1ABB1 是菱形，且A 1AB60，A 1AB 是等边三角形E 是 A1B 的中点， ，EG AB平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABCAB，EG平面 ABC又 EG 平面 EFG，平面 EFG平面 ABC例 6 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 是
10、 AC 的中点()求证：平面 BEC1平面 ACC1A1；() 求证：AB 1平面 BEC1【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：() ABCA 1B1C1 是正三棱柱，AA 1平面 ABC，BEAA 1ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点，BEAC ，BE平面 ACC1A1，又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1()证明：连接 B1C，设 BC1B 1CDBCC 1B1 是矩形，D 是 B1C 的中点， DEAB 1又 DE 平面 BEC1，AB 1 平面 BEC1，
11、AB 1平面 BEC1例 7 在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8， 542A6()设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；()求四棱锥 PABCD 的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面 PAD证明：() 在ABD 中，由于 AD4，BD8， ，54AB所以 AD2BD 2AB 2故 ADBD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABC
12、DAD，BD 平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又PAD 是边长为 4 的等边三角形因此 .324P在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，所以四边形 ABCD 是梯形，在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为 ，即为58梯形 ABCD 的高，所以四边形 ABCD 的面积为 故.245824S.3162431ABCDPV9.如图 4,在边长为 1 的等边三角形 中, 分别是 边上的点,
13、 ,ABCDEABCADE是 的中点 , 与 交于点 ,将 沿 折起,得到如图 5 所示的三棱FFGF锥 ,其中 .ABC2(1) 证明: /平面 ;DE7图 5DGBFCAE图 4GEFAB CD(2) 证明: 平面 ;CFB(3) 当 时,求三棱锥 的体积 .23AEFDEGV9. 【答案】(1)在等边三 角形 中, AE,在折叠后的三棱锥 中 ADEBCA也成立, , 平面 , /DBCF平面 , 平面 ; F/(2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 , . B12FC在三棱锥 中, , ABCF222C; A平 面(3)由(1)可知 ,结合(2)可得 . /GEGEDF平 面113
14、1323224FDEFVDF 4. 如图，四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，PAD 为等腰直角三角形，APD=90，面 PAD面 ABCD，且 AB=1，AD=2，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点（1）证明：EF面 PAD；（2）证明：面 PDC面 PAD；（3）求四棱锥 PABCD 的体积4. 如图，连接 AC，ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点，AC 必经过 F 1 分又 E 是 PC 的中点，8所以，EFAP 2 分EF 在面 PAD 外，PA 在面内，EF面 PAD（2）面 PAD面 ABCD，CDAD，面 PAD 面 ABCD=AD，CD面 PAD，又 AP 面
15、PAD，AP CD又APPD，PD 和 CD 是相交直线， AP面 PCD又 AD 面 PAD，所以，面 PDC面 PAD （3）取 AD 中点为 O，连接 PO，因为面 PAD 面 ABCD 及PAD 为等腰直角三角形，所以 PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高AD=2 ，PO=1，所以四棱锥 PABCD 的体积 1233VPOABD1. 如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= AA1，D 是棱12AA1 的中点()证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1. 【解析 】 （）由题设知 BC 1,BCAC， 1CA, BC面 1A, 又 1DC面 1A， 1DCB,由题设知 045, 1= 09,即 1D,又 B, 1面 , 1DC面 1，面 面 1DC；（）设棱锥 BA的体积为 1V， AC=1，由题意得，1V= 23= ，由三棱柱 1C的体积 =1， 1():=1:1， 平面 1BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1:1.B1 C BADC1A1
