1、第 1 页 共 16 页全等三角形类型一：全等三角形性质的应用 1、如图， ABD ACE， AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨: AB=AC， AB 和 AC 是对应边， A 是公共角， A 和 A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析： AB 和 AC 是对应边， AD 和 AE、 BD 和 CE 是对应边， A 和 A 是对应角， B 和 C， AEC 和 ADB 是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边
2、所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图， ABC DBE.问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE，得 AB=DB,BC=BE， 则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。【变式 2】如右图， ， 。求证：AECF【答案】第 2 页 共 16 页AECF2、如图，已知 ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE 的度数与 EC 的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB 的度数与 BF 的长即可。解析：在 ABC 中，ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为
3、ABCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90.求证：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因为 ACDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以 CDAB.(2）因为 CEFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以AC
4、B=BFE.所以 EFAC.第 3 页 共 16 页类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE 思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过 ACBD 而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性质)即 ADBC在ADF 与BCE 中ADFBCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式 1】如图，已知 ABDC
5、，ABDC，求证：ADBC【答案】ABCD34在ABD 和CDB 中ABDCDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)ADBC(内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EBAD 于 B，FCAD 于 C，且 EBFC，ABCD求证 AFDE【答案】EBAD(已知)EBD90(垂直定义)同理可证FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BC第 4 页 共 16 页BC+CDBD在ACF 和DBE 中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD 为 ABC 的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨: 要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+B
6、DAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由 2AD 想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。解析：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE因为 AD 为 ABC 的中线，所以 BD=CD.在 ACD 和 EBD 中，所以 ACDEBD(SAS).所以 BE=CA.在 ABE 中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD 的延长线于 E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA 交于 F. 因为
7、 BECF,所以BEF=BEC=90.在 BEF 和 BEC 中，第 5 页 共 16 页所以 BEFBEC(ASA).所以 CE=FE= CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在 ABD 和 ACF 中，所以 ABDACF(AAS)所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，ABCD，BEDF，BD， 求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路点拨: (1)直接通过ABECDF 而得，(2)先证明AEBCFD，(3)由(1)(2)可证明AEFCFE 而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(
8、角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1)在ABE 与CDF 中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形对应边相等)(2)AEBCFD(全等三角形对应角相等)AECF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF 与CFE 中第 6 页 共 16 页AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在ABC 中，延长 AC 边上的中线 BD 到 F，使 DFBD，延长 AB 边上的中线 CE 到 G，使 EGCE，求证 AFAG【答案】在AGE 与BCE 中AGEBCE(
9、SAS)AGBC(全等三角形对应边相等)在AFD 与CBD 中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形对应边相等)AFAG(等量代换)6、如图 ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F 求证：AF 平分BAC思路点拨: 若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC 都是直角，可证得 RtADFRtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD 与 RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC 是公共角，可证得 RtABDRtACE解析：在 RtABD 与 RtACE 中第 7 页 共 16 页RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在 RtA
10、DF 与 RtAEF 中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF 平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在ABC 与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于 D，ADBC于 D且 AD=AD求证：ABCABC证明：在 RtABD 与 RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC 与ABC中第 8 页 共 16 页ABCABC(SAS)【变式
11、 2】已知，如图，AC、BD 相交于 O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB 为直角三角形在 RtABD 和 RtABC 中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD 和BOC 中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC 中，AB=AC，D 是底边 BC 上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是 E、F、G 试判断：猜测线段 DE、DF、CG 的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DMCG 于 MDEAB，CGAB，DMCG第
12、 9 页 共 16 页四边形 EDMG 是矩形DE=GMDM/ABMDC=BAB=ACB=FCDMDC=FCD而 DMCG，DFACDMC=CFD在MDC 和FCD 中MDCFCD（AAS）MC=DFDE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作 CMED 交 ED 的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“D 是底边 BC 上任意一点”改为“D 是底边 BC 的延长线第 10 页 共 16 页图2QCAB EFP上任意一点”，此时图形如何？DE、DF 和 CG 会有怎样的关系？画出图形，
13、写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 轴对称考点一、关于 “轴对称图形 ”与 “轴对称 ”的认识典例 1下列几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图1 2 3 4形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2正 n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D 为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AP、DP,则 AP+DP的最小值是 2、已知等边
14、 ABC，E 在 BC的延长线上，CF 平分DCE，P 为射 线BC上一点，Q 为CF上一点，连接 AP、PQ.若 AP=PQ，求证APQ 是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_第 11 页 共 16 页ED CBA线段的垂直平分线上的点到_相等 归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等典例 1、如图，ABC 中，A=90，BD 为ABC 平分线，DEBC，E 是 BC的中点，求C的度数。2、 如图， ABC中，AB=AC，PB=PC，连 AP并延长交 BC于 D，求证：AD 垂直平分 BC3、如图,DE 是 ABC中 AC边的垂
15、直平分线，若 BC=8厘米，AB=10 厘米，则 EBC 的 周长为（ ）A.16厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、 如图，BAC=30，P 是BAC 平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则 AM= 5、如图，在 RtABC 中，ACB = 90，BAC 的平分线交 BC 于 D. 过 C点作CGAB 于 G，交 AD于 E. 过 D点作 DFAB 于 F.下列结论：MDA CPBCED=CDE； AECS G A；ADF=2ECD； DFBCES；CE=DF. 其中正确结论的序号是( )A B C DB D CAPCEBDAFEDC BAG第 12 页
16、共 16 页考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图，ABC 中，AB=AC=8，D 在 BC上，过 D作 DE AB 交 AC于 E，DFAC交 AB于 F，则四边形 AFDE的周长为_ 。2、 如图， ABC中，BD、CD 分别平分ABC 与ACB，EF 过 D且 EFBC，若 AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF 周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点 B、D、F 在 AN上,C、E 在 AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20 o,则FEB=_度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是_5
17、、ABC 中， DF 是 AB的垂直平分线，交 BC于 D，EG 是 AC的垂直平分线，交 BC于E，若DAE=20，则BAC 等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、已知，在ABC 中，ACB=90，点 D、E 在直线 AB上，且 AD=AC，BE=BC，则DCE = 度.NMFECDBAFE DAB C第 13 页 共 16 页FCDBEA 8、如图：在ABC 中，AB=AC，ADBC， DEAB 于点 E, DFAC 于点 F。试说明 DE=DF。9、如图,E 在ABC 的 AC边的延长线上，D 点在 AB边上，DE
18、交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证： ABC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形 有一个角是 60的_三角形是等边三角形FEDCBA第 14 页 共 16 页乙ODCBA特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_典例 1、下列推理中，错误的是 ( )AABC，ABC 是等边三角形 BABAC，且BC，ABC 是等边三角形CA60，B60，ABC 是等边三角形 DABAC，B60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形 ABC中，D 是 AC的中点，E 为 BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂
19、足为 M。求证：M 是 BE的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半典例1、如图，是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁 AB的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB=8m，A=30，则 DE等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如图： ADC中，A = 15，D=90，B 在 AC的垂直平分线上，AB =34，则 CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB 刚好为 120， 求桌面到地面的距离是多少？A B DCEDB
20、AAB CD EMFE CBAD第 4 题图第 15 页 共 16 页FECBA4、如图，AB=AC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，BAC=120 o，BC=6，则 DE+DF=5、在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于ABC 120A， BCDA点 如果 ，求 的长E1D实数例 1、（ 1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3） 2 0 2 -0.01 2（2 ） 下列说法对不对？为什么？ 4 有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（1） （-3）2 和 0 2 有平方根，因为（ -3）2 和 0 2 是非负数。- 0
21、.01 2 没有平方根，因为-0.01 2 是负数。（2 ）只有 对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例 2、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例 3、设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 甲14169第 16 页 共 16 页C. D. 解析：（估算）因为 ，所以选 B【变式 1】 1）1.25 的算术平方根是 _；平方根是_.2） -27立方根是_. 3） _， _，_. 【答案】1） ； .2）-3. 3） ， ，【变式 2】求下列各式中的（1） （2） （3）【答案】（1） （2 ）x=4 或 x=-2（3）x=-4例 4、判断下列说法是否正确（1） 的算术平方根是-3 ； （2） 的平方根是 15.（3）当 x=0 或 2 时， 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2 ） 表示 225 的算术平方根，即 =15.实际上，本题是求 15 的平方根，故 的平方根是 .（3 ）注意到，当 x=0 时， = ，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故 x0，所以当 x=2 时，x =0.
