1、1数学分析题库（1-22 章）四计算题、解答题求下列极限 解：. )2(lim2)(li24limnnnn 11li( )3(nli( )121m)n n 1coslicsli00xexex.这是 型，而 )1(ln)1( )()(21)ln(1xxexxx故 原极限 20llim()()xx201lni3l6xex5 3)1(lim)1(lim1li 2123 nnnnn6 2li()22(1)lim(1nn因 ， )(li2n 1li2n故原极限 .e17 用洛必达法则 3sinco2lim3cosn2li66 xxx8. 0011li()li()xxxee001lili12xxxe9.
2、; xsintalim0解法 1： 200tsec1lilimsoxx201licox（ ）20s li x解法 2： 20030tansec1limlisotan si2 lico xxxx10 10lim(sn2cos)xx3解 因 ， （3 分）00sin2cos12cosinlmlim21x xx故原式 =sin2cosin2co0li(1si)xxx 2e求下列函数的导数 sin1.co.l()34sin.xyeyx求 的 各 阶 导 数解 11 xsi12 yln1l13 )sinl(co)(sinsi xxex 14 . coi)2y()sin()coi32sin)xyx15 x
3、eey2cosi16 )1in(lcos1x17 )tanl(coscsi)ln(i xxey 18 .),21(),1si)( n19 ；1ta223ecln3x20.求下列函数的高阶微分：设 ，求xevxu)(,l)( )(,33vud解 因为 x xxxxex eCvudv)ln32( ln12)3 232313 4所以 323333 )ln()()( dxxedxuvd)ln32( )(ln1)()3 2333xxe exeev xxx 所以 323)l()dxevud21. ;(arctn2xy解： 3326rta(rctn) 1xx 22. ;xy解： 令 ,1xy1lnlx两边对
4、两边对 求导有, 1lxy()lxxlnlx两边对 求导有x(l)xy121 ln(l)(ll )xxxxy23. 求由参量方程 所确定的函数的二阶导数;sin,coteyxt :2dxy解法 1： ;i,tt由含参量方程的求导法则有5cosincosinttdyetx求 即求参量方程 的导数2di,cso;tdytxe222 2 3(in)(csin)i(cosin)t ttdyxeet解法 2： ;sin,coteyt由含参量方程的求导法则有coicosinta()s 4ttdtxe 求 即求参量方程 的导数2ydta(),cos;tdyxe22 3()()24sec()4csttydxe
5、24设 , 试求 .3xye(6)y解 基本初等函数导数公式，有 32333()(),(),()6,=0, 45,6kxx, ()e1xk应用莱布尼兹公式（ ）得6n(6)325e206xxxxy. 1890)25试求由摆线方程 所确定的函数 的二阶导数.(sin,co)xaty()yfx解 d(1s)icot,ins2ttxa622 41cotcsd1cs.(sin)(o)2ty txaaa26 .求 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.2lfx6解 因为, 23ln(1)()ox所以 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为2lfx6. 426ln(1)()3xox27 x(,2) (2,
6、1) (1,0) (0,)y 不存在 ()fx递减，凹 极小值 递增， 凹 递增， 凹 极大值 递减，凹28解 （1） ，故对任意正整数 m， 在 连续.)0(1sinlm)(li00 fxxf f0x（2） ， 11sinliil)(li)( 000 xxff xmxx 不 存 在故当 时， 在 可导.1mf（3）先计算 的导函数. ，0x000 00000 )1sin(1sin)(lim 1sinsi1sinsilmsisil)0 00xxx xxxf mx mm 70201020010 0001002 1cossincossin sinlm)(lm0 xxxx xxmxx 20)i(li
7、)1i(li)(li 2000 mf mxxx 不 存 在由（2）知， ，于是当 时，有 ，所以当 时，f 20()liffx在 连续.fx29解 因为 ，故当 时， ，不满足柯23)(,2)(xgxf 00)(,)(gf西中值定理的条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理.30证明 （1）对任何 ，有 ，故 是极小值点.0)(1sin)(24fxfx（2）当 时，有x，作数列)1cosi(ico1sin2si4)( 23xf ， ，则 ， .即在 的任何右邻域21n4y0nny0x内，既有数列 中的点，也有数列 中的点 .并且 ，)0(Unxn)(nf，所以在 内 的符号是变化的，从而
8、 不满足极值的第一充分条件.又nyf )0(Uf因为， ，所1sinlm)0(24xfx 0)1cosin2(1silim)(0 xxf以用极值的第二充分条件也不能确定 的极值.31答：能推出 在 内连续.证明如下： ，取f),(ba),(0bax，于是 ，由题设， 在 上连续，in2100x ,0af,ba从而在 连续.由 的任意性知， 在 内连续.xf)(b32.试求函数 在 上的最值和极值.32|91|yx,3解 8322|91|(),0,3yxxxx在闭区间 上连续, 故必存在最大最小值. 132618,(),10,3xyxx令 ,得稳定点为 . 又因 故 在 处不可导. 列0y1,2
9、()2,f(),fy0x表如下 x,)0(,1)(1,)2(,3()f不存在 0 0 fx递减极小值 (0)f递增极大值 (1)5f递减极小值 (2)4f递增所以 和 为极小值点, 极小值分别为 和 , 为极大值0201x点, 极大值为 . (1)5f又在端点处有 , , 所以函数在 处取最小值 ,在 处取3()9fx0x最大值 .2333.求函数 在 上的最大最小值：15345xxy,2解：令 ()f43220 5()1yxx令 解得函数在 的稳定点为 , 0y,120,x而 ， (1),()(2,()7ffff所以函数在 的最大值和最小值分别为 .2 maxin(),(1)0ff934.
10、确定函数 的凸性区间与拐点:2536223xxy解：令 ()f2,yx16解得 ， 20,yx 12x当 时， ，从而区间 为函数的凹区间,(,)x()当 时， ，从而区间 为函数的凸区间. 12y并且 ，所以 为曲线的拐点.13()0,()2ff13(,)235.设 ,则 是有理数列.nna na点集 非空有界,但在有理数集内无上确界.12n数列 递增有上界,但在有理数集内无极限.a36.设 ,则 是有理数列.1(2)nn na点集 有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.na数列 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从 中选出有限个开区间覆盖 .因为 中任意有限个开区间,设其中
11、左端点H10,2H最小的为 ,则当 时,这有限个开区间不能覆盖 .12N03xNx38. 5263232366 19.6ln1.dudxdxxCuu1039.令 ,则sin,2xat222 2cosincos1cos11inar.axdatttdtdxtCC40. 22222 131.arctarct arctnarctn11n .xxddxdxC 41. 232 224. ln111 3lnarcsin.3xddxdxxxC 42.令 ,则有 ,2xt2218,1ttdd22141 2ln2arctnl arctn.tdttx txt xCC 43. 令 ,则有 ,tx221os,tdxt.
12、22()1arctnarctn253cos4tdt xCCx 44. .1 111 11lnllnll()e e eeedxxx45. .1200000 2xtttttd d46. .11 11 20220 00arcsinarcsinxx x1147. .其中和式是函数222211limlimnnJni 在 上的一个积分和,所以 .2()1fx0 11200arctn4dxJx48. .于是()()()xxxaaaFftdtfttf.(),()xaftdFxf 49.以平面 截椭球面,得一椭圆 .所以截面积0()x220011yzbc函数为.于是椭球面的体积 .21,xbca 243axVc
13、dabc50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为cos,in,0xtybt.2 20 0i siAtadttdab 51. ,于是所求摆线的弧长为(1cos),in,xatyt.222200 0()(1cos)sin8txdatdada52.根据旋转曲面的侧面积公式 可得所求旋转曲面的面积为2)baSfxfx.202sincsl153.因为 .2 2 2 200 01limlilimAAxxx AAededee于是无穷积分 收敛,其值为 .20x54.因为 22 2111 1lili()()AAddxxd1limnllimnlnln2.AAx A12于是无穷积分 收敛,其值为 .21(
14、)dx1ln255.因为 ,从而级数 的部()()()nn1()2n分和为.111()()2()(2)()4nnkk nk于是该级数收敛,其和为 .456.因为 ,且级数 收敛,所以级数 收22cossin1liml1n21n1cosn敛.57.因为 ,由根式判别法知级数 收敛.1lili2nu12nn58.因为 ,且级数 发散,故原级数不绝对收敛.但 单调递减,且 ,1silimnn1n sin2limsn0由莱布尼茨判别法知级数 条件收敛.12sin59. 因为,11 112sinicoscoscos222nkkxxkxnx当 时, ,于是.所以级数 的部分和数列(0)i0x1in1cos
15、221sininsinnkxxS当 时有界,从而由狄利克雷判别法知级数 收敛;(02)x1inx同法可证级数 在 上收敛.1cos2nx(0,)13又因为 ,级数 发散, 2sini1cos21cos2xnxnx1n收敛,于是级数 发散,由比较判别法知级数 发1co2n1n1sinx散.所以级数 在 条件收敛.1sinx(0,2)60. 判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性.1 n 1,0解 记 . 则有 级数 收敛; nnn xvxu)( ,)( )(xun 对每个 , ； 对 10)(xn exvnn1|)(| 1,0和 成立. 由 Abel 判别法, 在区间 上一致收敛.n ,061.
16、 , . 讨论函数列 的一致收敛性.)(xf21x1,0)(xfn解 0, . | 0| . 可求得nlim)(ff. 10axfn,02) (fn )(函数列 在区间 上非一致收敛.)(fn, 62. 函数列21,0,(),10,.nxnf x ,21n在 上是否一致收敛？1,0解：由于 ，故 .当 时，只要 ，就有(0)nf0)(lim)0(nff 1xxn1，故在 上有 .于是函数列（8）在 上的极限函)(xfn1, xx ,0数 ，又由于14，nfxffnnx )21()(sup1,0 )(所以函数列（8）在0，1上不一致收敛.63. 在 R 内是否一致收敛？)(xfn2xne解 显然
17、有 , 在点 处取得极大值)(fn0|)(|xffn)(xfnn21, . 由系 2 , 不一致收敛.211enf ) ()(fn64. 函数列. 1 ,0 ), 2, (, 2 ,2,10 , )(2xnnnxxfn 在 上是否一致收敛？ 1,0解 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有x1x)(xfn0 1,0(. , .于是, 在 上有)(fnlim)(f0)(nflim)nf ,. 但由于 , ,xfnlixf 02|()|ax1,0 fxffnn ) (n因此 , 该函数列在 上不一致收敛. ,65. 求幂级数 的收敛域 . 7453231xx解 是缺项幂级数 .74532 02
18、13nnx. 收敛区间为 . 时,nlim ,1|aR), (3通项 . 因此 , 该幂级数的收敛域为 .0 3, 66. 计算积分 , 精确到 .102dxeI0115解 .2xe02,!) 1(nnx) , (因此, .1002!) (2 dndnx 0102!) (nndx0!)12() n上式最后是 Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使,可取 .故从第 项到第 项这前 7 项之和达到要求的精度.于是10 !)2(n762dxeI1135294203.746801.6038. 67. 把函数 展开成 的幂级数.)(f)ln)(x解, . nx132)
19、 ()1ln( 11) (nnx1, (而7l21l)27l()5l( xx, .1ln() n 9,5(68. 求幂级数 的和函数.0!nx解法一 收敛域为 ,设和函数为 , 则有) ()(xS. xxnnn dtdtdtS0001!1)( 01!xne因此, = , .0!1nx)( xxx eetS)()(0 ) ,(解法二 0!nn0!n0!n1)!(xn, .0!n xxxee) ,(69. 展开函数 .xexf)1(16解 xexf)(0!n01!nx01)!(!nnx1!n11)!(!)!(nn.1!nx 0 | ,!nxx70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数（i） （
20、ii）,)(xf ,.2解 （1） （i）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知f f它可以展开成傅里叶级数. 由于 011()0afxdx.当 时，有n2()coscos11in|incos|0nf dxx()isi11cs|co2,nbfxdxdnn当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 .所以在区间 上 ),(,sin)1(2xxfn（ii）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知它可f以展开成傅里叶级数. 由于 20axd.当 时1n1720201cos1in|sinnaxdxd,2022001si1co|cosnbxdnxd
21、.所以在区间 上)2,0(1sin()2xfx.71. 设 是以 为周期的分段连续函数, 又设 是奇函数且满足)(xf试求 的 Fourier 系数 的值，)()fxf)(f ndfbn2si)(12.,21n解 由 是奇函数，故 是偶函数，再由 ，故有f xfsi )(xffbn20d2fnxsi. 作变换 xt，则 bftttn201id20nsn2 . 所以, , 02nb.,172. 设 以 为周期，在区间 内, )(xffxx202,试求 的 Fourier 级数展开式。)(xf解 由 Fourier 系数的计算公式， ax0211d,nxnnxn20100 20cossisid,b
22、x12id18xnnxcoscosd201201. 又 满足 Fourier 级数收敛的 Dirichlet 条件， )(xf故 fxnxxsi,122101.73.设fxx20,求在 内 的以 为周期的 Fourier 级数展开式.,)(解 注意到 是奇函数，故 的 Fourier 系数f)(fann012,bfxsid20244020 02 203xnxnxnnxcoscosdisicos1123n,. 因此 bnnn221308, ,. 由 在 内分段单调，连续，且 故在 内 )(xf)()ff ,fxnxn213si.74. 设 是以 为周期的连续函数,其 Fourier 系数为 .试
23、用)(xf2 ,0nba,21表示函数 的 Fourier 系数,0nbaxfFco)(解 由 Fourier 系数的计算公式，19AFxfxa0 111dcosd,nncosfxx121nxcscosd231an,BFx1sid22fb,xnxncosi11f xsid2231bn,75. 试求极限 .4lim)0,(,xyyx解 (,)0, (,)0,2lilim(24)xy xyxy(,),1xy. 76. 试求极限 .(cos1li22)0,( yxyxe解 由2 222(,)0, (,)0,sin1cos(limlim)4()xy xyxy xyxee1. 77. 试求极限 .sin
24、)(li)0,( yxyx解 由于 (,)0, (,)0,111limsilimsinsin)xy xy yxx,又 ,2所以 20(,)0,1limsin0xyxy， (,)0,1limsin0xyxy , 所以 (,)0,li)sixyxy. 78. 试讨论 .42),(,yx解 当点 沿直线 趋于原点时，2342400limlixxy.当点 沿抛物线线 趋于原点时， ),(yx2244001lili2yyx. 因为二者不等，所以极限不存在. 79. 试求极限 .11lim2)0,(, yyx解 由 222(,)0, (,)0,)(1)li lixy xyyxyx=2(,),xy .80.
25、 , 有连续的偏导数，求 )(yfuf .,yux解 令 wxv则 ufvffxvwxyy81 . 求,arctnz,xe.dz解 由 21()yxx2(1)(xxee. 82. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。2yz)3,1M解 由于4,xyz,21在 处 ， )3,1(M,4),(xz2)3,1(yz所以, 切平面方程为 z.即 20xyz法线方程为 1341. 83. 求 在 处的泰勒公式.56),(22yxyxyf )2,(解 由 001,()f()41,0x xf,23,2y yf ,()4xxff(,)1,yy,ff. 得 2 2(,)5(1)()()fxxy. 84.
26、求函数 的极值.),(22yeyxf解 由于 22()()0xxe210yf解得驻点 ， ),1(2222(),),x xxyxfyef2(1,)0,(1,)0,(1,)x xy yABfCfe2CBA 所以 是极小值点, 极小值为 )1( .2,ef85. 叙述隐函数的定义.答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合RXY.:RYXF0),(yxF与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程IJIxJ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域含于 的隐函数。一0),(yxF0),(yIJ般可记为 且成立恒等式)(xf.JI(,),.FxfxI86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容
27、.22答: 若 满足下列条件 :(,)Fxy（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),(yx（iii ）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF则在点 的某邻域 内，方程 =0 唯一地确定了一个定义在某区间0PU)(yx,内的函数（隐函数） ，使得,(x)(f1 , 时 且 ；0yf,(0x)(,0PUx0)(,xfF2 在 内连续.x)87. 叙述隐函数可微性定理的内容.答: 若 满足下列条件 :(,)Fy（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),
28、(yx（iii ）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF又设在 D 内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在),(yx0),(yx在其定义域 内有连续导函数，且)(xfy,(0x.),()(yxFf88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答: 设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ; 考虑方程)(xfy0 ()f0)(yxf.0),(xyx由于, , 0),(0yxF1yF00(,)(),xfx23所以只要 ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程0()fx能确定出在 的某邻域 内的连续可微隐函数 ，并(,Fy0y)(0yU)(ygx称它为函数 的反函
29、数.反函数的导数是)(xf 1() .()yxFgffx89. 解: 显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理axyF3),(3y,知道，在使得 的点 附近，方程 都能确02y x033axyx定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：)(xf对方程求关于 的导数（其中 是 的函数）并以 3 除之，得y,20ax或 （1）22.yay于是 （2）2.xya.02x再对（1）式求导，得： 即 22()(),xya（3）2 .yxx把（2）式代入（3）式的右边，得 3322() .)ayyaax再利用方程就得到 32 .()yyax90. 解: 由于 处处连续，根据隐函数定理zyz FF,01
30、),0(,),0(18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数, ),(xf如下： ,312xyzFxzzx24.312xyzFyzzy91. 解: (1)令 , 则有22(,)Fxyz.3,23 xyzzxxy由于 均连续,且0(), yzP,00()1yzFP故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .0(1,) ()yx(,)zy(2)当 时, 由定理知yF;23xxyFz同理, 当 时, 由定理知0zF.23xxzFyz于是求得 233123(,),(), x xxfyzfyzyz232132(,)(). x xxfyzfyzzz并且有, .(1,)1xfy(,
31、1)2xfz92. 解: 首先， 即 满足初始条件. 再求出 F，G 的所有一阶偏导数,0)0pGPFP,2vuFxy.1, vx容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有0P25.014),(00 PvxPGFvxF因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数. 除此之外，在 的近旁, ,yu0P任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导),(),(vuxvu,数，得到（1）,012uxy（2）.v由（1）解出 .2,21yxuyxu由（2）解出 22,.vvvyxxy93. 解: 设,22(,)1Fu.,Gxyvxy(
32、1) 关于 的雅可比行列式是,FGvu,2(,)()1uvFv当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定uv(,)xy是 的可微函数;,xy(2) 关于 的雅可比行列式是FG,2(,)()1xuFGyy当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定xuy(,)v是 的可微函数.,v2694. 解: 设 ， . 它们在 处的50),(22zyxzyF 22),(zyxzyG)5 ,43(偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8y,10zF,G,zG和， ， .160),(zyF(,)120Fzx0),(yxF所以曲线在 处的切线方程为：5 ,4
33、3(，05124603zyx即 ()(),5. z法平面方程为，0)()4(3)(4zyx即.x95. 解: 令 , 则(,)zFye,(),(,)1 zxyzFxye故 , 因此曲面在点 处的法向量为0 001,2 xyzMM02,(1)n所求切平面方程为,(2)()0xy即.4法线方程为 21,0xyz27即 230,xyz96. 解: 这个问题实质上就是要求函数（空间点 到原点 的距离函数的平方）22),(zyxzyf(,)xy(0,)在条件 及 下的最大、 最小值问题. 应用拉格朗021z日乘数法，令.222(,) 1Lxyzxyxyzxyz对 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有.
34、01,2,0zyxLLzyx求得这方程组的解为 ,37,35与 （1）.2,1zyx（1）就是拉格朗日函数 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于),(zL所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值） ，故由1,),(2yxzxzy3,232f所求得的两个值 ，正是该椭圆到原点的最长距离 与最短距离 .3595935997. 叙述含参量 的正常积分定义.x答: 用积分形式所定义的这两个函数（1）.,),()(dcbaxyfI与 , （2）)(xF通称为定义在 上含参量 的（正常）积分，或简称含参量积分.ba,（1）式的意义如下：设 是定义在矩形区域
35、上的二元函数。),(yxf dcbaR,28当 取 上某定值时，函数 则是定义在 上以 y 为自变量的一元函数.倘若xba, ),(yxfdc,这时 在 可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记它为 ，就有)(yfdc, ba)(xI.,dcbaxxI（2）式的意义如下：一般地，设 为定义在区域),(yxf上的二元函数，其中 为定义在 上的xdyxG),()(, )(,xdcba,连续函数，若对于 上每一固定的 值， 作为 的函数在闭区间 上ba,x),(yf )(xdc可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记作 时，就有 xxF.,),()()xdcyfF98. 叙述含参量 的正常积分的连续
36、性定理的内容.答: 设二元函数 在区域),(fbxadyxcG),(上连续，其中 为 上的连续函数，则函数)(,dxcba,（6）)(,xdcyfF在 上连续.ba,99. 叙述含参量 的无穷限反常积分定义.x答: 设二元函数 定义在无界区域 上，若对),(yf (,),Rxyabcy于 上每一固定的 值，反常积分ba,(1)(,)cfxyd都收敛, 则它的值是 在 上取值的函数, 当记这个函数为 时, 则有xba()Ix,()(,) cIfxyab称(1)式为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分, 或简称 含参量反常积分.,100. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.x答: 若含
37、参量反常积分 与函数 对任给的正数 ，总存(,)cfxyd()(,)cIxfyd在某一实数 使得当 时，对一切 ，都有,NNMba,29,)(),(McxIdyf即,),(Mf则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 ，或简单地说含参量积分,cxydba,)(x在 上一致收敛.(,)cfxydba,101. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.答: 含参量反常积分 在 上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总(,)cfxydba, 存在某一实数 ，使得当 时，对一切 ，都有MMA21 bax,.1(,)fxyd102. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.答: 设对一切实
38、数 Nc，含参量正常积分 对参量 在 上一致有界，即)(i Ncyxf),(xba,存在正数 M，对一切 Nc 及一切 ，都有xba,;)(MdyfNc对每一个 ，函数 关于 y 是单调递减且当 时，对参量)(ixba,xgy一致地收敛于 0. ,yxg则含参量反常积分 cdyxgf),(,在 上一致收敛ba,103. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.答: 设在 上一致收敛；)(icdyxf),ba,对每一个 ，函数 为 的单调函数，且对参量 ， 在),(yxgx),(yg上一致有界，则含参量反常积分ba, cdyxf),(,30在 上一致收敛。ba,104. 叙述含参量反常积分的可
39、积性定理内容.答: 设 在 上连续，若 在 上一致收敛，),(yxf,cbacdyxfI),()(ba,则 在 上可积，且)I .),(),(baccba xyfdyxfd设 在 上连续.若),(yxf,关于 在任何闭区间 上一致收敛，iay,cdyxf),(关于 在任何区间 上一致收敛；xb,积分 （18）)(i acca dxyfdyxfd),(),(与中有一个收敛，则（18）中另一个积分也收敛，且 .),(),(acca xyfyxf105. 解: 因为 所以 由于函数 在,lnxdabbaybaydI.10 yx上满足定理 的条件，所以交换积分顺序得到baR,106.19.1ln0 abdyxdyIbaba 106. 解: 因为,01limsnl0baxx0lilbax 所以该积分是正常积分.交换积分次序, 得.1 1 10 0 0sinlsinl sinlbabbyyaaxIdxdxdxy在上面的内层积分中作变换 ,有lu
