1、考试要求板块A 级要求 B 级要求 C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 五边形 ABCDEABCDE这里符号“”表示全等，读作“全等于” AB C DEEDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等
2、三角形全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公
3、共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对
4、应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线判定三角形全等的基本思路：SAHL 找 夹 角已 知 两 边 找 直 角 找 另 一 边 AS边 为 角 的 对 边 找 任 意 一 角 找 这 条 边 上 的 另 一 角 已 知 一 边 一 角 边 就 是 角 的 一 条 边 找 这 条 边 上 的 对 角 找 该 角 的 另 一 边 AS 找 两 角 的 夹 边已 知 两 角 找 任 意 一 边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理： 角的
5、平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线
6、的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍，OABABO PPO BAABO P三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题 )见到中线(中点)
7、，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理 (以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化板块一、全等三角形的认识与性质
8、【例 1】 在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 、 相交于 再连结 、 ，ABCEDABDCEOABC若 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由2 21EODCBA【巩固】如图所示， ， ， 在 上， 与 相交于 图中有几对全等ABDCEF、 ACBDP三角形？请一一找出来，并简述全等的理由FA E PDCB板块二、三角形全等的判定与应用【例 2】 (2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图， ， ， 求ACDE BF ACDE证： AFBD FEDCBA【例 3】 (2008 年宜宾市)已知：如图， ， ，求证： ADBCD OD CBA【巩固】如图， 、 相交于 点，且 ，
9、 ，求证： ACBDOACBDOD ABCDO【例 4】 (哈尔滨市 2008 年初中升学考试)已知：如图， 、 、 、 四点在同一条直线上，BEFC， ， 求证： ABDCEFBCOADFEODCBA【例 5】 已知，如图， ， ， ，求证： ABCEABFCFC FECBA【例 6】 、 分别是正方形 的 、 边上的点，且 求证： EFABCDBECFAEBFPFEDCBA【巩固】 、 、 分别是正方形 的 、 、 边上的点， ， 求证：EFGABCDABGFBCGAB CDEF【例 7】 在凸五边形中， ， ， ， 为 中点求证： BECDBEMCDAMD MEDCBA板块三、截长补短类
10、【例 1】 如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作 ，MABDB60N射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?N NM NEBMAD【巩固】如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线交于MABCDMNDC点 ， 与 有怎样的数量关系？NNCDEBMA【例 2】 如图，AD AB，CB AB ，DM =CM= ，AD = ，CB = ， AMD=75， BMC=45，则 ABahk的长为 ( )A. B. C. D. ak2k MD CBA【例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.FEDCBA
11、【例 4】 如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点ABC1BDC120 D作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长60MDNAAMN NMDCBA【例 5】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC +DE=CD，ABC+ AED=180，求证：AD 平分 CDE CEDBA板块四、与角平分线有关的全等问题【例 1】 如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且ABC21OBCABCODB，求 的面积3ODADOCB【例 2】 在 中， 为 边上的点，已知 ， ，求证： ABCDBADCA【例 3】 已知 中， ， 、 分别是 及ABACB
12、EAB平分线求证： CD EDCBA【例 4】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCEABCCO断 、 、 的数量关系，并加以证明EDOE DCBA【例 5】 如图，已知 是 上的一点，又 ， 求证： EAC1234D EDCBA4321【例 6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形 ABCD 中，AB= 4，BC=7，BAD 的角平分线交 BC 于点E， EFED 交 AB 于 F，则 EF=_D CBAFEDCBA【例 7】 如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上 ，ABCDBACEDAD求证： EFEFFACDEB【巩固】如图，在 中， 交 于点
13、 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，ABCDBECFA F交 于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线GFA FGE D CBA【巩固】在 中， ， 是 的平分线 是 上任意一点求证：ABCADBACPADPCDBPA【例 8】 如图，在 中， ， 的平分线 交 与 求证： ABC2BACDCA D CBA【例 9】 如图所示，在 中， ， 为 的中点， 是 的平分线，若ABCABMCADBC且交 的延长线于 ，求证 CFDF12 MFD CBA【巩固】如图所示， 是 中 的外角平分线， 于 ， 是 的中点，求证ADBCACDAE且 E 1()2 EDCBA【巩固】如图所示，在 中， 平分 ，
14、 ， 于 ，求证ABCDBACDCMAD2ABCM MD CBA【例 10】 如图， 中， ， 、 分别为两底角的外角平分线， 于 ，ABCABDCEA于 求证： E HGDAB CE【巩固】已知： 和 分别是 的 和 的外角平分线， ， ，ADBEAC B CA AEB求证： ； 12EBADC【例 11】 在 中， 、 分别是三角形的外角 、 的角平分线，ABCMNABECF， 垂足分别是 、 求证： ，MN 12C FENMCBA【巩固】在 中， 、 分别是三角形的内角 、 的角平分线， ，ABCMNABCA垂足分别是 、 求证： ，NMN 12B N MCBA【巩固】(北京市中考模拟题
15、)如图，在四边形 中， 平分 ，过 作 ，ABCDADEA于并且 ，则 等于多少？)(21DABE ED CBA【例 12】 如 图 ， ， 平 分 ， 平 分180DBEC， 点 在 上 BCDEA 探 讨 线 段 、 和 之 间 的 等 量 关 系 CB 探 讨 线 段 与 之 间 的 位 置 关 系 E DCBA版块一、倍长中线【例 1】 已知： 中， 是中线求证： ABCM1()2AMBC MCB A【例 2】 如图， 中， ， 是中线求证： ABCGNM NMGFEDCBA【例 11】 在 中， ， ，以 为底作等腰直角 ， 是 的中ABC9012ACBDE点，求证： 且 EEE D
16、CBA【例 12】 如图，在五边形 中， ， ， 为 的中ABCDE90AEDBEDF点求证： FEDFCBA【例 13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题) 如图所示， 是 内的一点，PA，过 作 于 ， 于 ， 为 的中点，求PACBPMACPLBCDAB证 DML LPMDCBA 【例 14】 (全国数学联合竞赛试题 ) 如图所示，在 中， 为 的中点，分别延长 、ABCDBCA到点 、 ，使 过 、 分别作直线 、 的垂线，相交于点 ，设线CBEFDEFP段 、 的中点分别为 、 求证：PAMN(1) ；(2) NMN MA BCDE PP FEDCBA【习题 1】如图，
17、已知 ， ， ，求证： ACBDACBDABC D CBA【习题 2】点 M，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证 MN=MB+NCNMD CBA【习题 3】在 中， ， 的平分线交 于 ，过 作 ， 为垂足，求ABC 3ABCBDEA证： ADE CEDBA【习题 4】如图，在 中， ， 的平分线 交 与 求证：ABCDACBADC2BD CBA【习题 5】如图，在等腰 中， ， 是 的中点，过 作 ， ，且ABCADBCAEAFAEF求证： EDF DFECBA【习题 6】如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长ABCDBEADA交 于 ， 与 相等吗？为什么？BEFE FED CBA【习题 7】如右下图，在 中，若 ， ， 为 边的中点求证：ABC2CADBEC2ABDEED CBA
