1、练习（一） 一、填空题： 1. 已知 a ba b 22 95 ，则 a b： _ 2. 若三角形三边之比为 3： 5： 7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是 _cm 3. 如图， ABC中， D、 E分别是 AB、 AC的中点， BC=6，则 DE=_； ADE与 ABC的面积之比为： _。题 3 题 7 题 8 4. 已知线段 a=4cm， b=9cm，则线段 a、 b的比例中项 c为 _cm。 5. 在 ABC中，点 D、 E分别在边 AB、 AC上， DE BC，如果 AD=8， DB=6， EC=9，那么 AE=_ 6. 已知三个数 1， 2， 3 ，请你添上一
2、 个数，使它能构成一个比例式，则这个数是 _ 7. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC， EF BC，若 AD=12cm， BC=18cm， AE： EB=2： 3，则 EF=_ 8. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC， A=90， BD CD， AD=6， BC=10，则梯形的面积为： _ 二、选择题： 1. 如果两个相似三角形对 应边的比是 3： 4，那么它们的对应高的比是 _ A. 9： 16 B. 3 ： 2 C. 3： 4 D. 3： 7 2. 在比例尺为 1： m的某市地图上，规划出长 a厘米，宽 b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是 _米 2 A. 104mab B
3、. 104 2mab C. abm104D. abm24103. 已知，如图， DE BC， EF AB，则下列结论： 题 3 题 4 题 5 AEEC BEFC ADBF ABBC EFAB DEBC CECF EABF 其中正确的比例式的个数是 _ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，在 ABC中， AB=24， AC=18， D是 AC 上一点， AD=12，在 AB上取一点 E，使 A、 D、 E三点为顶点组成的三角形与 ABC相似，则 AE 的长是 _ A. 16 B. 14 C. 16或 14 D. 16或 9 5. 如图，在 Rt ABC 中， BAC=9
4、0， D 是 BC 的中点， AE AD，交 CB 的延长线于点 E，则下列结论正确的是_ A. AED ACB B. AEB ACD C. BAE ACE D. AEC DAC 三、解答题： 1. 如图， AD EG BC， AD=6， BC=9， AE： AB=2： 3，求 GF 的长。 2. 如图， ABC中， D是 AB上一点，且 AB=3AD， B=75， CDB=60，求证： ABC CBD。 3. 如图， BE 为 ABC的外接圆 O的直径， CD为 ABC 的高，求证： AC BC=BE CD。 4. 如图， Rt ABC中， ACB=90， AD 平分 CAB交 BC于点 D
5、，过点 C作 CE AD于 E， CE 的延长线交 AB于点 F，过点 E作 EG BC 交 AB于点 G， AE AD=16， AB4 5 。（ 1）求证： CE=EF。（ 2）求 EG 的长。 5. 如图，已知 DE BC， EF AB，则下列比例式错误的是： _ A ADAB AEAC B CECF EAFB. . C DEBC ADBD D EFAB CFCB. . 6. 如图，在等边 ABC中， P为 BC 上一点， D为 AC上一点，且 APD=60， BP CD ABC 1 23， ，求 的边长 7. 如图：四边形 ABEG、 GEFH、 HFCD都是边长为 a的正方形，（ 1）
6、求证： AEF CEA。 （ 2）求证： AFB+ ACB=45。 8. 已知：如图，梯形 ABCD中， AD BC， AC、 BD交于点 O， EF 经过点 O且和两底平行，交 AB于 E，交 CD于 F。求证： OE=OF。 9. 已知：如图， ABC中， AD BC 于 D， DE AB于 E， DF AC于 F。 求证： AEAF ACAB 10. 如图， D为 ABC中 BC边上的一点， CAD= B，若 AD=6， AB=8， BD=7，求 DC 的长。 11. 如图，在矩形 ABCD中， E是 CD的中点， BE AC于 F，过 F作 FG AB 交 AE 于 G，求证： AG2
7、=AF FC 。 12.在梯形 ABCD中， AD BC，若 BCD的平分线 CH AB于点 H， BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为 21，求 HBC的面积。 练习二 一、 精心选一选（每小题 4 分，共 32 分） 1. 下列各组图形有可能不相似的是 ( ). (A)各有一个角是 50的两个等腰三角形 (B)各有一个角是 100的两个等腰三角形 (C)各有一个角是 50的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形 2. 如图， D是 ABC的边 AB 上一点，在条件 （ 1） ACD B，（ 2） AC2 ADAB ，（ 3） AB边上与点 C距离相等的点D有两个，（ 4） B ACB
8、 中，一定使 ABC ACD 的个数是（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 3 如图， ABD ACD，图中相似三角形的对数是（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 4.如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AD上任意一点，则有（ ） （ A） ABE的周长 CDE 的周长 BCE的周长 （ B） ABE的面积 CDE 的面积 BCE的面积 （ C） ABE DEC （ D） ABE EBC 5.如果两个相似多边形的面积比为 9:4,那么这两个相似多边 形的相似比为 ( ) A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16 6. 下列两个三角形
9、不一定相似的是（ ）。 A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形 7. 若 ABC ， A=40, B=110,则 C=( ) A. 40 B110 C70 D30 8.如图，在 ABC中， AB=30， BC=24， CA=27， AE=EF=FB， EG FD BC， FM EN AC，则图中阴影部分的三个三角形的周长之和为（ ） A、 70 B、 75 C、 81 D、 80 二、细心填一填 （每小题 3 分，共 24 分） 9.如图，在 ABC中， BAC 90 ， D是 BC中点， AE AD 交 CB 延长线于点 E，则 BAE相似
10、于 _ 10、在一张比例尺为 1： 10000 的地图上，我校的周长为 18cm，则我校的实际周长为 。 11、如果两个相似三角形对应高的比为 4： 5，则这两个三角形的相似比是 ，它们的面积的比是 。 12、 已知 ABC DEF,AB=21cm,DE=28cm,则 ABC 和 DEF 的相似比为 13、 某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为 0.8m，旗杆的影子长为 7m，已知他的身高为 1.6m，则旗 杆的高度为 m 14. 在长 8cm，宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 _cm2 15.如图，由边长为
11、1 的 25 个小正方形网格上有一个与 ABC 相似且面积最大的 A1B1C1， 使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则 A1B1C1 的面积为 _ 16. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地上形成阴影（圆形 ）的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距地面 1 米，灯泡距地面 3 米，则地上阴影部分的面积是 _. 三、小试牛刀（ 17 题 10 分、 18 题 8 分 ,19、 20题 7 分 ,共 32 分） CBA17. 如图，点 C、 D在线段 AB上， PCD是等边三角形 （ 1）当 AC、 CD、 DB满足怎样的关系时， ACP PDB？ （
12、2）当 ACP PDB时，求 APB的度数 18如图， BD、 CE为 ABC 的高，求证 AED ACB 19.已知一矩形稻田可产稻谷 100公斤，按此规律计算，若将此稻田长宽分别扩大两倍，则可产稻谷多少公斤？ 20. 已知：如图， BC为半圆的直径， O为圆心， D是弧 AD的中点，四边形 ABCD的对角线 AC、 BD 交于点 E。求证： ABE DBC。 四、创新与应用（ 12 分） 21. （本题 7 分）如图，四边形 DEFG 是 ABC 的内接矩形，如果 ABC 的高线 AH 长 8cm，底边 BC 长 10cm，设 DG=xcm， DE=ycm，求 y 关于 x 的函数关系式
13、五、科学与探究 （ 20 分 ) 22. 在 OAB 中， O 为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同， A、 B 的坐标分别为 (8， 6)， (16， 0)，点 P 沿 OA 边从点 O开始向终点 A运动，速度每秒 1个单位，点 Q沿 BO边从 B点开始向终点 O运动，速度每秒 2个单位，如果 P、Q同时出发，用 t(秒 )表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 求 (1)几秒时 PQ AB (2)设 OPQ的面积为 y，求 y与 t的函数关系式 (3) OPQ与 OAB能否相似，若能，求出点 P的坐标， 若不能，试说明理由 练习三 一填空题（基础） 1 如图， A
14、BC MNP ，则它们的对应角分别是 A 与 _, B 与 _， C 与 _；对应边成比例的是 _=_=_;若 AB =2.7cm, cmMN 9.0 , cmMP 1 ,则相似比 =_, BC _cm . 2 如图 ,四边形 ABCD 中 , AD EF BC , AC 交 EF 于 G .图中能相似的三角形共有 _对 ,它们分别是_、 _,小明通过这两对相似三角形推出了比例式： ABBEADFG ，对不对，为什么？ 二填空题 3 如图， ABC 和 DEF 的三边长分别为 7、 2、 6 和 12、 4、 14，且两三角形相似，则 A 与 _, B 与_， C 与 _，)()()( ACD
15、FAB 。 4 如图， ABC AEF ，写出三对对应角： _=_,_=_, _=_, 并且)( )()( )()( AF, 若 ABC 与 AEF 的相似比是 3 ： 2 ， cmEF 8 ，则_BC 。 5 如图， ABC 中，点 D 在 BC 上， EF BC ，分别交 AB 、 AC 、 AD 于点 E 、 F 、 G ，图中共有 _对相似三角形，它们是 _. 6 如图，平行四边形 ABCD 中， ，上的一点，是 43ECBEBCE ，于点交 FBDAE BF 的值。及，求 DFDABEcm6 BAGFEDCBANPMC（第 2 题）（第 1 题）（第 5 题）（第 4 题）（第 3
16、题）CGFEDCBAFEBAEFDCBA三选择题 1下列命题中不正确的是（ ） A如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。 B如果两个三角形相似，且相似比为 1，那么这两个三角形全等。 C如果两个三角形与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。 D如果两个三角形相似，那么这两个三角形全等。 2给出下列四个命题，其中真命题有（ ） （ 1）等腰三角形都是相似三角形 （ 2）直角三角形都是相似三角形 （ 3）等腰直角三 角形都是相似三角形 （ 4）等边三角形都是相似三角形 A 1 个 B 2 个 3 个 4 个 四综合题 如图， AD ABBC, 、 EFEECD 作，过点相交于点 ，于点，交
17、FACAD 写出图中所有相似三角形，并说明理由。 练 习四 一、选择题： 1、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A、 4,2,6,3 dcba B、 3,6,2,1 dcba C、 10,5,6,4 dcba D、 32,15,5,2 dcba 2、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A、 1:3 B、 2:3 C、 23:21 D、 1： 3 FEDCBAFEDCBA3、 已知 754 zyx ，则下列等式成立的是（ ） A、91yx yxB、 167 z zyx C、38 zyx zyxD、 xzy 3 4、已知直角三角形三边分别为 babaa 2, ， 0,0 ba ，则 ba
18、: （ ） A、 1： 3 B、 1： 4 C、 2： 1 D、 3： 1 5、 ABC 中， AB 12， BC 18， CA 24，另一个和它相似的三角形最长的一边是 36，则最短的一边是（ ） A、 27 B、 12 C、 18 D、 20 6、已知 cba , 是 ABC 的三条边，对应高分别为 cba hhh , ，且 6:5:4: cba ，那么 cba hhh : 等于（ ） A、 4： 5： 6 B、 6： 5： 4 C、 15： 12： 10 D、 10： 12： 15 7、一个三角形三边长之比为 4： 5： 6，三边中点连线组成的三角形的周长为 30cm，则原三角形最大边长
19、为（ ） A、 44厘米 B、 40厘米 C、 36 厘米 D、 24厘米 8、下列判断正确的是（ ） A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形 C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形 二、填空题： 9、 如图， AED ABC，其中 1 B，则 ABBCAD _ 。 第 9题图 10、 如图是圆桌正上方的灯泡 O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影 （ 圆形 ） 的示意图已知桌面的直径为 m2.1 ，桌面距离地面 m1 ，若灯泡 O 距离地面 m3 ，则地面上阴影部分的面积为 11、如图，梯形 ABCD中， DC AB， DC
20、 2cm， AB 3.5cm，且 MN PQ AB， DM MP PA，则 MN ， PQ 。 第 11题图 第 12题图 D C M P N Q A B A D B F E C E A D B C 1 第 10题图 O （第 18题图） 第 16题图 A D C F B E 12、如图，四边形 ADEF为菱形，且 AB 14厘米， BC 12厘米， AC 10厘米，那 BE 厘米。 13、梯形的上底长 1.2 厘米，下底长 1.8厘米，高 1 厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 14、 两个相似三角形的最短边分别是 cm9 和 cm6 ，它们的周长和是 cm60 ，则大三角形的
21、周长 为_cm，小三角形的周长 为 _cm 三、解答题： 15、如图， Rt ABC 中斜边 AB 上一点 M， MN AB 交 AC 于 N，若 AM 3 厘米， AB： AC 5： 4，求MN的长。 解： 第 15题图 16 已知：如图，在 ABC 中，点 D 、 E 、 F 分 别在 AC 、 AB 、 BC 边上， 且四边形 CDEF 是正方形， 3AC ， 2BC ，求 ADE 、 EFB 、 ACB 的周长之比和面积之比 解： 17、 如图， ），（ 04A 、 ），（ 20B 是直角坐标系中的两点，点 C 在 x 轴上 （ C 与 A 不重合 ） ，若由点 B 、 O 、C 组成
22、的三角形与 AOB 相似 （ 不含全等 ） 求出 C 点的坐标 ，并画出图形 ； 解： 第 17题图 C B M N A y O A（ 4， 0） x B（ 0， 2） 18、已知：如图，梯形 ABCD 中， AB DC， E 是 AB 的中点，直线 ED 分别与对角线 AC 和 BC 的延长线交于 M、 N点 求证： MD： ME ND： NE 证明： 第 18题图 N D C A E B M 答案 一、填空题： 1. 19： 13 2. 24 3. 3； 1： 4 4. 6 5. 12 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可， 如： 2 2 22、 等。 7. 14.4
23、8. 166 二、选择题： 1. C 2. D 3. B 4. D 5. C 三、解答题： 1. 解： AD EG BC 在 ABC中，有 EGBC AEAB 在 ABD中，有 EFAD BEAB AE： AB=2： 3 BE： AB=1： 3 EG BC EF AD 23 13， BC=9， AD=6 EG=6， EF=2 GF=EG EF=4 2. 解： 过点 B作 BE CD 于点 E， CDB=60， CBD=75 DBE=30， CBE= CBD DBE=75 30 =45 CBE是等腰直角三角形。 AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k， BD=2k DE=k， BE 3k B
24、C k 6 BDBC kk 26 23， BCAB kk 63 23 BDBC BCAB ABC CBD 3. 连结 EC， BC BC E= A 又 BE 是 O的直径 BCE=90 又 CD AB ADC=90 ADC ECB ACEB CDBC 即 AC BC=BE CD 4. （ 1） AD 平分 CAB CAE= FAE 又 AE CF CEA= FEA=90 又 AE=AE ACE AFE（ ASA） CE=EF （ 2） ACB=90， CE AD， CAE= DAC CAE DAC ACAD AEAC AC AE AD2 16 在 Rt ACB中 BC AB AC2 2 2 2
25、4 5 16 64 ( ) BC8 又 CE=EF， EG BC FG=GB EG是 FBC的中位线 EG BC 12 4 5.由 ， 可知， 、 、 都正确。而不能得到 ，DE BC EF AB A B D DEBC ADBD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截 线， 中 很显然是两平行线段的 比，因此应是利用三角 相似后对应边成比C DEBC例这一性质来写结论， 即 DEBC ADAB AEAC 6. ABC是等边三角形 C= B=60 又 PDC= 1+ APD= 1+60 APB= 1+ C= 1+60 PDC= APB PDC APB PC
26、AB CDPB 设 PC=x，则 AB=BC=1+x ， ，x x x1 231 2 AB=1+x=3。 ABC的边长为 3。 7证明： （ 1）四边形 ABEG、 GEFH、 HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=a， ABE=90 ，AE a EC a 2 2 ，AEEF aa ECAE a a 2 2 2 2 2 AEEF ECAE 又 CEA= AEF CEA AEF （ 2） AEF CEA AFE= EAC 四边形 ABEG是正方形 AD BC， AG=GE， AG GE ACB= CAD， EAG=45 AFB+ ACB= EAC+ CAD= EAG AFB+ ACB=45
27、8.证明： AD EF BC ，OEBC AEAB OEAD EBAB OEBC OEAD AEAB EBAB ABAB 1 1 1 1BC AD OE 同理： 1 1 1BC AD OF 1 1OE OF OE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： AD EF BC AD BC OE 1 1 1 AD EF BC OE OF EF 12 AD EF BC AD BC OE 1 1 1 112 2EF OF即 1 1 2AD BC EF 这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD、 BC、 EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。 9.证明： 在 ABD和
28、 ADE中， ADB= AED=90 BAD= DAE ABD ADE ABAD ADAE AD2=AE AB 同理： ACD ADF 可得： AD2=AF AC AE AB=AF AC AEAF ACAB 10.解： 在 ADC和 BAC中 CAD= B， C= C ADC BAC ADAB DCAC ACBC 又 AD=6， AD=8， BD=7 DCAC ACDC 7 34 即DCACACDC 34734解得： DC=9 11.证明： 在矩形 ABCD中， AD=BC， ADC= BCE=90 又 E是 CD 的中点， DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE FG AB AE
29、BE AGBF AG=BF 在 Rt ABC中， BF AC 于 F Rt BFC Rt AFB AFBF FBFC BF2=AF FC AG2=AF FC 12. 分析： 因为问题 涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解： 延长 BA、 CD交于点 P CH AB， CD平分 BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA： AB=1： 2 PA： PB=1： 3 AD BC PAD PBC ： ： S SPAD PBC 1 9 S SPCH PBC 12 ： 四边形S SPAD A H C D 2 7 四边形S AHCD 21 S
30、 PAD 6 S PBC 54 S SHBC PBC 12 27 参考答案 一、 1.A 2.B 3.C 4. B 5. C 6. C 7 D 8 C 二、 9. ACE 10 1800 米 11. 4:5,16:25 12. 3:4 13.14 14. 27 15. 5 16. 0.81米 2 三、 17. （ 1） CD2=AC DB （ 2） 1200 18.先证 ABD ACE 可得 AE： AD=AC： AB,加上 A= A可证 ADE ABC 得 AED ACB 19. 400 20. 提示： BAE= BDC，弧AD=弧 DC， ABE= DBC，可证结论。 四、 21.Y=-0
31、.8x+8 (0x10) 五、 22. （ 1）由已知得 ，当 PQAB时 ，则： ，得： t=40/9 (2) 过 P作 PC OB, 垂足为 C, 过 A作 AD OB, 垂足为 D (3)能相似。 PQ AB, OPQ OAB t= OP= , 其中 AD=6,OA=10,OD=8 OC=,PC= , P点坐标是 （ ， ） . 参考答案： 第 1 课时 相似三角形 一 1 M 、 N 、 P ， 3,3, NPBCMPACMNAB 2 AEG,2 CFGABC , ,CDA 对，因为CFG ,CDA 所以 CACGADFG ，又因为 BC ABBEADFGCACGABBEEF ，所以所
32、以, 。 二 3 E 、 D 、 F ， ED 、 BC 、 EF 4 BCEFACAEABA E FA C BFBF A EB A C ，、 ， 12cm 5 3， AEG AGFABD 、 ADC 、AEF ABC 6略 三 1 D， 2 B， 3 ADE BCE ， AEF ACB ，1068 22 OAOBOQOAOP 1621610 tt tPCtPCOAOPADPC 53,106, ttttPCOQy 5245353)216(2121 2 409 409ODOCOAOPADPC 329 83 329 83CEF CDA ， 四理由略 参考答案 选择题： CABD CCDB 填空题：
33、 9、 AC DE AE 10、 0.81 11、 2.5CM 3CM 12、 7 13、 3 14、 36 24 解答题： 15、 ACB=90度 = AMN A= A AMN ACB AB/AC=AN/AM=5/4=AN/3 AN=15/4 在直角三角形 AMN 中，由勾股定理得 MN=9/4 16、设正方形边长为 ADE EFB ACB 周长之比为 3： 2： 5，面积之比为 9： 4： 25 17、 设 C点的横坐标为， AOB BOC /2=2/4得出 =1 18: DC AB NDC NEB ND/NE=NC/NB=DC/EB EB=AE DC/EB=DC/AE DCM EAM DC/AE=MD/ME MD/ME=ND/NE
