1、第 1 页 共 15 页7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式 aba b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2b 22ab(a，bR).(2) 2(a， b 同号).ba ab(3)ab 2 (a，bR).(a b2 )(4) 2 (a，bR).a2 b22 (a b2 )3.算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算术a b2 ab平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值
2、 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 小值是 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 大值是 .(简记：和定积最大)p241.判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数 yx 的最小值是 2. ( )1x(2)ab( )2 成立的条件是 ab0. ( ) 来源:a b2(3)函数 f(x)cos x ，x(0 ， )的最小值等于 4. ( )4cos x 2(4)x0 且 y0 是 2 的充要条件 . ( )xy yx第 2 页 共 15 页(5)若 a0，则 a3 的最小值为 2 . ( )1a2 a(6)a2b 2
3、c 2abbcca (a，b，cR ). ( )2.当 x1 时，关于函数 f(x)x ，下列叙述正确的是 ( )1x 1A.函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值 2C.函数 f(x)有最小值 3 D.函数 f(x)有最大值 3答案 C3.若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )A.a2b 22ab B.ab2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab答案 D解析 a 2b 22ab(ab )20，A 错误.对于 B、C ，当 a0， 2 2.ba ab baab4.设 x，yR，a1，b1 ，若 axb y3，ab2 ，则 的最大值为 ( )31
4、x 1yA.2 B. C.1 D.32 12答案 C解析 由 axb y3，得：x log a3，ylog b3，由 a1，b 1 知x0，y0， log 3alog 3blog 3ablog 3 21，当且仅当 ab 时“”成立，则 的1x 1y (a b2 ) 3 1x 1y最大值为 1.5.(2013天津)设 ab2，b0，则当 a_时， 取得最小值.来源: 中_教_网 z_z_s_tep12|a| |a|b答案 2解析 由于 ab2，所以 ，由于 b0，|a|0 ，所以 2 12|a| |a|b a b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b b4|a| |a|b1，因此当
5、 a0 时， 的最小值是 1 ；当 a0，y0 ，且 2xy1，则 的最小值为_；1x 1y(2)当 x0 时，则 f(x) 的最大值为_.2xx2 1思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把 中的“1”代换为1x 1y“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案 (1)32 (2)12解析 (1)x0，y0，且 2xy1， 1x 1y 2x yx 2x yy3 32 .当且仅当 时，取等号.yx 2xy 2 yx 2xy(2)x0，f(x) 1，2xx2 1 2x 1x 22当且仅当 x ，即 x1 时取等号
6、.1x思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数 x，y 满足 xy1，则( y)( x)的最小值为_.xy yx(2)已知 x，yR ，且满足 1，则 xy 的最大值为_.x3 y4答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，( y)( x)1 122 4，当且仅当 xy1 时取等号，xy yx y2x x2y y2x x2y故( y)( x)的最小值为 4.xy yx第 4 页 共 15 页(2
7、)x0，y0 且 1 2 ，xy3.当且仅当 时取等号.x3 y4 xy12 x3 y4题型二 不等式与函数的综合问题来源:例 2 (1)已知 f(x)3 2x( k1)3 x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( )A.( ，1) B.(，2 1)2C.(1,2 1) D.(2 1,2 1)2 2 2(2)已知函数 f(x) (aR) ，若对于任意 xN *， f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是_.x2 ax 11x 1思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围.答案 (1)B (2) ，)83解析 (1)由 f(x)0 得 32
8、x( k1)3 x20，解得 k1g(3)， g(x)min .( x )3 ，173 8x 83a ，故 a 的取值范围是 ，).83 83思维升华 (1)a f(x)恒成立a( f(x)max，a0 恒成立，故 a0.当 0q0，则提价多的方案是_.p q2答案 (1)B (2) 乙解析 (1)设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得y 2 20.800x x8 800xx8当且仅当 (x0)，即 x80 时“”成立，故选 B.800x x8(2)设原价为 1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%) ，方案乙：(1 %)2，p q2因为 1 %，1 p%1 q%1 p%2 1 q%2
9、 p q2且 pq0，所以 0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成a b2 a2 b22 ab a b2 a2 b22立的条件.第 8 页 共 15 页失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.第 9 页 共 15 页来源:中国教育出版网 A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1.已知 00.x(3 3x)3x(1x)3 2 .(x 1 x2 ) 34当且仅当 x1x ，即 x 时取等号 .122.若函数 f(x)x (x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于 ( )1x 2A.1
10、 B.12 3C.3 D.4答案 C解析 f(x) x x 2 2.1x 2 1x 2x2，x20.f(x)x2 22 24，1x 2 x 2 1x 2当且仅当 x2 ，即 x 3 时，“”成立.1x 2又 f(x)在 xa 处取最小值.a3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a a，aba b2 2aba b2ab2b 0，b0，且 ln(ab) 0，则 的最小值是 ( )1a 1bA. B.1 C.4 D.814答案 C解析 由 a0，b0 ，ln(ab) 0 得Error!.故 4.1a 1b a bab 1ab 1a b2 2 1122当且仅当 ab 时上式取“”.12
11、5.(2012福建)下列不等式一定成立的是 ( )A.lg lg x(x0)(x2 14)B.sin x 2(x k ，k Z)1sin xC.x21 2|x|(xR)D. 1(xR)1x2 1答案 C解析 应用基本不等式：x，yR ， (当且仅当 xy 时取等号) 逐个分析，注意基本不等式的x y2 xy应用条件及取等号的条件.当 x0 时，x 2 2x x， 来源:中国教育出版网 14 12所以 lg lg x( x0)，故选项 A 不正确；(x2 14)运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；第 11 页 共 15 页由基本
12、不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有 1，故选项 D 不正确.1x2 1第 12 页 共 15 页二、填空题6.设 x，yR，且 xy0，则(x 2 )( 4y 2)的最小值为_.1y2 1x2答案 9解析 (x 2 )( 4y 2)5 4x 2y252 9，当且仅当 x2y2 时“”成立.1y2 1x2 1x2y2 1x2y24x2y2 127.已知函数 f(x)x (p 为常数，且 p0)，若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数 p 的值为px 1_.答案 94解析 由题意得 x10，f(x)x1 12 1，当且仅当 x 1 时取等号，因为 f(x)在px 1 p p(1，
13、) 上的最小值为 4，所以 2 14，解得 p .p948.某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_.答案 20解析 设每次购买该种货物 x 吨，则需要购买 次，则一年的总运费为 2 ，一年的总存储200x 200x 400x费用为 x，所以一年的总运费与总存储费用为 x2 40，当且仅当 x，即 x20 时等号400x 400xx 400x成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物 20 吨.三、
14、解答题9.(1)已知 00，y0，且 xy 1，求 的最小值.8x 2y解 (1)y2x5x 2x (25x ) 5x(25x).1500， 来源:中教网255x(2 5x)( )21，5x 2 5x2y ，当且仅当 5x25x，即 x 时，y max .15 15 15第 13 页 共 15 页(2)x0，y0，且 xy 1， ( )(xy)8x 2y 8x 2y10 102 18，8yx 2xy 8yx2xy当且仅当 ，即 x ，y 时等号成立，8yx 2xy 23 13 的最小值是 18.8x 2y10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定
15、(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计 .(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为 米.162x总造价 f(x)400(2x )2482x 801622162x1 296x 12 9601 296(x )12 9601 296100x 100x1 2962 12 960 38 880(元) ，x1
16、00x当且仅当 x (x0)，即 x 10 时取等号.100x当污水处理池的长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，总造价最低为 38 880 元.来源: 中*教*网 z*z*s*tep(2)由限制条件知Error! x16.818设 g(x)x ( x 16)，100x 818g(x)在 ，16上是增函数，818当 x 时(此时 16)，818 162x第 14 页 共 15 页g(x)有最小值，即 f(x)有最小值，即为1 296( )12 96038 882(元).818 80081当污水处理池的长为 16 米，宽为 米时总造价最低，总造价最低为 38 882 元.818B 组
17、专项能力提升(时间：30 分钟)1.已知 a0，b0，若不等式 0 恒成立，则 m 的最大值为 ( )m3a b 3a 1bA.4 B.16 C.9 D.3答案 B解析 因为 a0，b0 ，所以由 0 恒成立得 m( )(3ab)10 恒成立.m3a b 3a 1b 3a 1b 3ba 3ab因为 2 6，3ba 3ab 3ba3ab当且仅当 ab 时等号成立，所以 10 16，3ba 3ab所以 m16，即 m 的最大值为 16，故选 B.2.(2013山东)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y 2z0，则当 取得最大值时， 的最大值为xyz 2x 1y 2z( )A.0 B.1 C.
18、 D.394答案 B解析 由已知得 zx 23xy4y 2(*)来源:则 1，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*) 式，得 z2y 2，所以xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3 211.2x 1y 2z 1y 1y 1y2 (1y 1)3.定义“*”是一种运算，对于任意的 x，y，都满足 x*yaxy b(xy) ，其中 a，b 为正实数，已知 1 .答案 1解析 16ab)，ab .23当且仅当 2a3b，即 a1 时等号成立，第 15 页 共 15 页所以当 a1 时，ab 取最大值 .234.(1)若正实数 x、y 满足 2x y6xy，求 xy 的最小值.
19、(2)求函数 y (x 1)的最小值.x2 7x 10x 1解 (1)xy2xy62 6，令 xyt 2，2xy可得 t22 t60，注意到 t0，解得 t3 ，2 2故 xy 的最小值为 18.(2)设 x1t，则 xt1( t0)，yt 12 7t 1 10tt 52 59.4t t4t当且仅当 t ，即 t2，且此时 x1 时，取等号，4ty min9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ，第 t 天(1 t 30，tN )的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)4 ，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)120|t20|.1t(1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1t30，tN )的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t)f(t) g(t)来源:中_教_网 z_z_s_tep(4 )(120 |t20|)1tError!(2)当 t1,20时，4014t 4012 441( t5 时取最小值).100t 4t100t当 t(20,30时，因为 W(t)559 4t 递减，140t所以 t30 时，W(t) 有最小值 W(30)443 ，23所以 t1,30时，W( t)的最小值为 441 万元.
