1、1相似三角形专题讲义【教学目标】认识相似图形及相似三角形【教学重点】相似三角形的性质及判定【教学难点】相似三角形的性质及判定的应用【教学内容】第 1 讲 线段的比及平行线分线段成比例定理线段的比一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。二、比例尺：在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。三、成比例线段：1.比例线段：四条线段 a，b，c，d 中，如果 ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简dcba称比例线段。2.比例中项：如果 （或 ） ，则 b 叫做 a、c 的比例中项。2四、比例的性质：1.比例的基本性质：如果 ，那么 。dcba
2、2更比性质：如果 ，那么 。3反比性质：如果 ，那么 。cca4合（分）比性质：如果 ，那么 。dbbd5等比性质：如果 ，那么 。(0)acmnnacmabdnb【重难点高效突破】例 1.（1）已知线段 AB=2.5m，线段 CD=400cm，则线段 AB 与 CD 的比为_.（2）已知 1， ，5 三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该为多少？2例 2.（1）在 1:50000 的地图上的 A、B 两地的距离是 15cm，则 A、B 两地的实际距离是_km.（2）在比例尺为 1： n 的某市地图上，规划出一块长 5cm2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是
3、平方米.例 3.（1）已知 .2acabcdbd， 求 和（2）已知 0,acabcdbcbd， 且 求 证 ：例 4.已知 x y z=345，求 的值；若 x+y+z=6，求 x、 y、 z.zyx例 5.知一次函数 y=kx-1 中，比例系数 k 满足 ，求直线 y=kx-1 与 x 轴交点坐标.cabc【素质能力测试】A 组一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1.已知一矩形的长 a=1.35m，宽 b=60cm，则 a b 的值为（ ）(A)9400 (B)940 (C)94 (D)9042.下列线段能成比例线段的是（ ）A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm, cm,2
4、 cm,2cm C. cm, cm, cm,1cm D.2cm,5cm,3cm,4cm22533.如果线段 a=4， b=16， c=8，那么 a、 b、 c 的第四比例项 d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知 ，则 的值为（ ）32(A) (B) (C) (D)4355.在比例尺为 138000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm，它的实际长度约为（ ）3(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km6.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 1.5 米，影长是 1 米，旗杆的影长是 8 米，
5、则旗杆的高度是（ ）(A)12 米 (B)11 米 (C)10 米 (D)9 米7.已知点 C 是 AB 的黄金分割点(AC BC)，若 AB=4cm，则 AC 的长为（ ）(A)(2 2)cm (B)(6-2 )cm (C)( 1)cm (D)(3- )cm5 5 5 58.若 D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 = ，那么下列各式中正确的是（ ）ADABAEAC(A) = (B) = (C) = (D) =ADDBDEBC ABADAEAC DBECABAC ADDBAEAC9.若 ，且 a+b+c0，则 k 的值为（ ）22abck(A) -1 (B) (C) 1 (D
6、) - 112二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)1.在 x6= (5 + x)2 中的 x= ；2.若 , 则 .1089yz_zy3.若 a3 = b4 = c5 , 且 a+b-c=6, 则 a= ， b= ， c= .4.已知 x y z= 345 , 且 x+y+z=12, 那么 x= ， y= ， z= .5.若 , 则 .43fedfde6.已知 x4 = y5 = z6 , 则 x y z = , ( x+y)( y+z)= .7.若 , 则 .2_x8.已知，线段 = 2 cm， cm，则线段 a、 c 的比例中项 b 是 . a(3)c三、解答题(每小题 8 分，共
7、40 分)1.已知 ，求下列各式的值：(1) (2) .0753zyx yzxzyx35422.若 ABC 的三内角之比为 123，求 ABC 的三边之比.3.已知 a、 b、 c 为 ABC 的三边，且 a+b+c=60cm， a b c=345，求 ABC 的面积.4平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【知识点梳理】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 BCAAB基本图形：1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（ 型、 型）AXEDCBAAB CD EFEDCBA一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！例题讲解：例 1. 如
8、图， 在 中， ，且 ,若 ，求 的长。ABCDE BAE510AC， E ED CBA例 2已知：在 中， ， ， ，且ABC126AE4CECADB（1）求 的长； （2）求证：DBDCF 平移至过点 A CF 平移至过点 D5例 3 如图，已知 ，若 ， ， ，求证： ./ABEFCDABaCDbEFc1cabFEDCBA例 4 如下图，BD：DC=5：3，E 为 AD 的中点，求 BE：EF 的值.例 5 如图，延长正方形 ABCD 的一边 CB 至 E，ED 与 AB 相交于点 F，过 F 作 FGBE 交 AE 于 G，求证：GFFB课堂练习：平行线分线段成比例定理应用题型一、三角
9、形中直接观察寻找基本图形解决问题1 已知：如图， ， ，求 , ,BCDE/7:3:OBCEDAAE DB CO62 已知：在 中， 平分 ， 与 相交于点 ; ，交 于点 ， ，ABCDABCDBCE/AE9，求 的长。1E3 如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，直线 平行于 ，且与 、 、 、ABCDBOlBDACB及 的延长线分别相交于点 、 、 、 和 .ADMNRSP求证： PS4.已知： ,求证：BCEF/DCBGFEAAB CDEABEDlSRPNMO DCBADBGACE F75、已知： ， 为 的中点， .若 ,求CDAB/FAFGDE/52CABEDF6、已知： ，求证：
10、CDEFAB/ CDABEF1题型二：三角形中构造基本图形解决问题核心辅助线：平行线1 已知 中， ， ，求：ABC21EDBAFC2 在 中，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，直线 和ABCDEABC2:3:DBA2:1:ECAEDAB CDEFEACBD FGFAC BDE8的延长线交于点 ，求（1） （2 ）CBFFCB:FED:3 如图（1 ） ，在 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ，ABCMEABABE41连接 并延长，交 的延长线于 ，则 .EDC（2）如图（2） ，已知 中， ， ， 与 相交于 ，则3:1: 1:2:DCF的值为（ ）FDACA. B. C. D.2512
11、2(1)MEDCBA (2)FED CBAFEDCBA94.已知等腰直角 中， 、 分别为直角边 、 上的点，且 ,ABCEDBCACDE过 、 分别作 的垂线，交斜边 于 ， EDALK求证： LK家庭作业1（福州市中考题）已知 ab31 且 ab8，则 ab 。2（常州市中考题）已知 nm= qp= 32(n+q0)，则 qnpm 。3一个三角形三边的比为 234 则这个三角边上的高的比为 。4线段 a3，b4，c5 则 b，a，c 的第四比例项是 ，b、c 的比例中项是 5.（杭州市中考题）已知2=1，则 的值（ ）A-5 B5 C-4 D46已知 3a5b，下列各式的值在 2 与 3
12、之间的是（ ）A abB baC baD ba7已知：如图ABC 中，DEBC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE、BC 分别交于点 N、M，求证：（1） MN=O（2）BM=MC，且 DN=NEACBE DLK10AAB CD EB CD E8如图，ACBD，AD 和 BC 相交于点 E，EFAC 交 AB 于点 F，且 ACp，BDq，EFr，（1）试证 P1+q1= r,（2）图中 AC20,BD80，试求 EF 的值。第 2 讲 相似三角形的判定（1）【基础知识精讲】1.相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角
13、形相似定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE；2相似三角形的判定判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似补充：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。3. 寻找相似三角形的思路（1） 、横向三点定形法，要证 = ，则证明 BEAFC（2） 、纵向三点定形法：如要证 = ，则证明 【重难点高效突破】例 1如图，直线 DE 分别与ABC 的边 AB、AC 的反向延长线相交于 D、E，由 EDBC 可以推出 AEDBC11吗？请说明理由。ADEBC例 2 （射影定理）已知：如图，在ABC 中，BAC=90，ADBC 于
14、D.求证：（1） ；（2）2ABDC2ABDC例 3如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，DEDF，且 DE 和 DF 分别交 AB、AC 于 E、F.则 吗？BDEAF说说你的理由. 例 4如图，在平行四边形 ABCD 中，已知过点 B 作 BECD 于 E,连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFE=C（1） 求证：ABFEAD；（2） 若 AB=4，BAE=30，求 AE 的长；（3） 在（1） （2）条件下，若 AD=3，求 BF 的长.【素质能力测试】A 组一、选择题1如图，ABC 经平移得到DEF，AC、DE 交于点 G，则图中共有相似三角形（ ）A 3 对 B 4 对
15、C 5 对 D 6 对2如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（ ）A B C D .EDFABECBFA3.在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、BC 上的点，若AEF=90，则一定有（ ）AADEAEF B.ECFAEF C.ADEECF D.AEFABF4.如图，直线 l1 l2，AFFB=23，BCCD=21，则 AEEC 是（ ）A.52 B.41 C.21 D.32AB CDADCBEF12（1 题图） （2 题图） （3 题图） （4 题图）5.如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点，连结 AE 交 CD 于 F，则图中共有相似三角形
16、（ ） A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对(5 题图) (6 题图) (7 题图) ( 8 题图)6.ABC 中，DEBC，且 ADDB=21，那么 DEBC 等于（ ）A.21 B.12 C.23 D.327.如图，P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 做直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条8.如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（ ）A. B. C. D.ACEBDFEADACBFE二、填空题1.下列说法：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都
17、相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).2.如图 ABC 中，BC= a.(1)若 AD1= AB，AE 1= AC，则 D1E1= ；(2)若 D1D2= D1B，E 1E2= E1C，则 D2E2= ；3 3(3)若 D2D3= D2B，E 2E3= E2C，则 D3E3= ；(4)若 Dn-1Dn= Dn-1B，E n-1En= En-1C，则 DnEn= .3.已知：如图，ABC 中，B=C=30.请你设计三种不同的分法，将 ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.
18、请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).分法一 分法二 分法三GFEDCBA13分法一：分割后所得的四个三角形中， ，Rt Rt .分法二：分割后所得的四个三角形中， ，Rt Rt .分法三：分割后所得的四个三角形中， ，Rt Rt .三、解答题1.如图，ABC 中，BD 是角平分线，过 D 作 DEAB 交 BC 于点 E，AB=5cm，BE=3cm，求 EC 的长. 2.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=90，BDDC.(1)ABD 与 DCB 相似吗？请说明理由.(2)如
19、果 AD=4，BC=9，求 BD 的长.3.已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点.ADQ 与 QCP 是否相似？为什么？B 组1.如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 E，交 AB 与 F，试判定BAE 与ACE 是否相似，并说明理由。2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，动点 P 在 AB 边上由 A 向 B 作匀速运动，1 分钟可到达 B 点；动点 Q 在 BC 边上由 B 向 C 作匀速运动，1 分钟可到达 C 点，若 P、Q 两点同时出发，问经过多长时间，恰好
20、有 PQBD？AB EDCFQPDC BA14AB CDAB CDE【课后思考】1.已知：如图所示，D 是 AC 上一点，BEAC，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G，1=2.则 BF 是 FG、EF 的比例中项吗？请说明理由.2.如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的平分线分别交 BC、CD 于点 E、F.ACAE=AFAB 吗？说明理由.3.如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，DEDF，且 DE 和 DF 分别交 AB、AC 于 E、F.则 吗？说BDEAF说你的理由. 4.已知零件的外径为 25cm，要求它的厚度 x ，需先求出它的内孔直径 AB，现
21、用一个交叉卡钳(AC 和 BD的长相等)去量(如图)，若 OAOC=OBOD=3，CD=7cm.求此零件的厚度 x.第 3 讲 相似三角形的判定（2）【基础知识精讲】1相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似2直角三角形相似的判定：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似3 相似三角形中的基本图形：AB CDE15DA BCDAB CE（A 型，X 型） （2）交错型（3）旋转型 （4）母子形【典例剖析】例 1如图在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上（1）填
22、空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC 与DEF 是否相似？并说明理由。例 2. 如图，在ABC 中，已知 BD、CE 是ABC 的高，试说明ADEABC。例 3如图，已知 ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点 P 在 BD 上由 B 点向 D 点移动，当 BP等于多少时，ABP 与CPD 相似？例 4.求证：若一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似例 5在三角形 ABC 中，AB=AC，ADBC 于点 D，DEAC 于点 E，M 为 DE的中点，AM 与 BE 相交于点 N，延长 AM
23、交 BC 于点 G，AD 与 BE 相交于点 F，求证：（1） ; （2）BCEADM； （3）AMBE. DEA=CACDEMNFABCDEGABDCP16【素质能力测试】A 组1.下列命题中正确的是（ ）三边对应成比例的两个三角形相似 二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、 B、 C、 D、2如图 D、E 分别是 AB、AC 上两点，CD 与 BE 相交于点 O，下列条件中不能使 ABE 和 ACD 相似的是（ ）A. B=C B. ADC=AEB C. BE=CD，AB=AC D. ADAC=AEAB3
24、如图在正方形网格上有 6 个斜三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中中，与三角形相似的是（ ）A. (B) (C) (D)4如图，DE 与 BC 不平行，当 = 时，ABC 与 ADE 相似。ACB5 （烟台）如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使CBFCDE，则 BF 的长是（ ） A5 B8.2 C6.4 D1.8（3 题图） （4 题图） （5 题图）175如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F.(1)ABE 与 ADF 相似吗？说明理由.(2)AEF 与 ABC 相似
25、吗？说说你的理由.6已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点.ADQ 与 QCP 是否相似？为什么？7如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连接 FC AEFEFC 吗若,AEB相似，请证明；若不相似，请说明理由。若 ABCD 为矩形呢？B 组1已知:如图,CE 是 RtABC的斜边 AB 上的高,BGAP. 求证:CE 2=EDEP.182.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD， ，在 AD 上能否找到一点 P，7,3,2, ADBCAD使三角形 PAB 和三角形 PCD 相似？若能，共有
26、几个符合条件的点 P？并求相应 PD 的长。若不能，说明理由。3已知ABC，DCE，EFG 是三个全等的等腰三角形，底边 BC，CE，EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连接 BF，分别交 AC，DC，DE 于 P，Q，R （1）求证：BFGFEG，并求出 BF 的长。（2）观察图形，请你提出一个与点 P 相关的问题，并进行解答4.如图：AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN 将MCN 翻折，使点 C 落在 AB 上，设其落点为 P，当 P 是边 AB 中点时，求证： ；CNBA当 P 不是边 AB 中点时， 是否仍成立？请证明
27、你的结论；D CPA B195如图所示，在ABC 中，AB=AC=1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BD=x，CE=y （1）如果BAC=30，DAE=105，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果BAC 的度数为 ，DAE 的度数为 ，当、 满足怎样的关系式时， （1）中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由【课后思考】1如图正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则 等于（ ） ADA B C D32523122如图，直线 EF 交 AB、AC 于点 F、E，交 BC 的延长线于点 D，ACBC，已知 ,求证：A
28、BCD=EAEC=DF第 4 讲 相似三角形的性质及其应用【基础知识精讲】相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【素质能力测试】FBCDE20例 1.(1)两个相似三角形的面积比为 ，与它们对应高之比 之间的关系为_21:s21:h(2)如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于 O，若 ，则 AD:DB=_69:COBAS（3）如图，已知 ABCD,BO:OC=1:4,点 E、F 分别是 OC，OD 的中点，则 EF:AB 的值为（ ）（4）如图，已
29、知 DEFGBC,且 AD:FD:FB=1:2:3,则 ) (S:FBCGDFGE四 边 形四 边 形SABCA.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36（5）如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 ABCD的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若 AC= ,则正方形移动的距离 AA是 .2（6）梯形 ABCD 中，ADBC， （ADBC） ，AC、BD 交于点 O,若 ,则AOD 与BOC 的周长ABCDOABS256之比为_。例 2.如图，在ABC 中，DEBC，且 SADE :S 四边形 BCED1:2，BC2 。6求 DE 的
30、长。例 3. 如图所示，已知 DEBC，且与ABC 的边 CA、BA 的延长线分别相交于点 D、E，F、G 分别在边AB、AC 上，且 AF：FB=AG：GC，求证：AFGAED。AB CD EB BBBC D E EAAO (2)题图(3)题图CE FOBAD(4)题图BGFEDAC(5)题图CAD DCBBAOB CDA21PAB C D例 4. 如图，矩形 EFGH 内接于ABC，ADBC 于点 D，交 EH 于点 M，BC20，AM8，SABC 100 2。求矩形 EFGH 的面积。例 5.ABC 中，D 为 AB 上一点，若ABC=ACD，AD=8，DB=6，求 AC 的长。例 6.
31、已知，如图ABC 中，BAC=90 0，AB=AC=1,D 为 BC 上一动点（不与 B,C 重合） ，ADE=45（1）求证ABDDCE (2)设 BD=x,AE=y,求 y 与 x 的函数关系式（3）若ADE 为等腰直角三角形时，求 AE 的长例 7.如图,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，连结 AP,过 P 点作 PE 交 DC 于 E,使得APE=B.（1）求证：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰 AB 的长；（3）在底边 BC 上是否存在一点 P,使得 DEEC=53，如果存在,求出 BP 的长,如果不
32、存在,请说明理由.AB CDEFM HGCAB DE60AE第 7 题图PDCB22【素质能力测试】A 组一.填空(选择)题：1在长度为的线段上找到两个黄金分割点、.则_.2.两个相似三角形的面积比为 4：9，那么它们周长的比为_.3若 x：y：z=3：5：7，3x2y4z9 则 xyz 的值为_. 4.如图，APD90，APPBBCCD，则下列结论成立的是（ ） A .PABPCA B.PABPDA C .ABCDBA D.ABCDCA5.一个三角形的各边之比为 2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为 24，它的最小边为_.6.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应边上中
33、线的比是 .7.在坐标系中,已知 A（-3，0） ，B（0，-4） ，C（0，1）,过点 C 作直线 L 交 x 轴于点 D,使得以点 D、C、O 为顶点的三角形与AOB 相相似,这样的直线一共可以作出_条. 8、 （天府前沿）如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，1B，AEEC4，BC10，AB12，则ADE 的周长为_ 9某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得 15 米长的竹竿影长 09 米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是 24 米，留在墙上部分的影高是 1.5 米，则松树的高度为_米
34、10.如图，C 为线段 AB 上的一点，ACM、CBN 都是等边三角形，11.若 AC3，BC2，则MCD 与BND 的面积比为 。11.顺次连接正方形各边中点所得正方形与原正方形相似，相似比为_, 面积比为_二、解答题：1.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔 5m 有一棵树，在河的对岸每隔 50m 有一根电线杆，在这岸离开岸边 25m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度A BCDMN第 10 题ADE1B C第 8 题232.已知ABC 中，AE、BD 为高，若 CE：AE=1： ，AB=2 ，连结 DE3（1）求 DC：B
35、C 的值； （2）求 DE 的长；（3）如果 =y， =x（0x3） ，请用含 x 的代数式表示 y(选作题)BEADCB 组一填空选择题：1如图，点 M 是 ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于 ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1.2. 3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则 ABC 的面积是 2如图，一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张1 题图 4 题图 3如图，在梯形 ABCD
36、 中，ADBC，AC、BD 交于 O 点，S AOD :SCOB 1:9，则 SDOC :SBOC 二解答题：1.如图 4,已知:过ABCD 的顶点 A 作一直线分别交 BD、CD 及 BC 的延长线于 P、Q、R，求证：。PRQBPD:2A BCDE2 题图 AB CDO3 题图242.如图 5,ABC 中,D 为 AC 上一点,CD=2DA,BAC=45,BDC=60，CEBD 于 E,连结 AE.（1）写出图中所有相等的线段,并加以说明；（2）图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由；（3）求BEC 与BEA 的面积之比.【课外思考】已知：在菱形 中， 是对角线 上的一动点ABCDOBD（1）如图甲， 为线段 上一点，连接 并延长交 于点 ，当 是 的中点时，求证：PPAQOBD；OQ(2)如图乙，连结 并延长，与 交于点 ，与 的延长线交于点 AODCRBS若 ，求 和 的长460,1DBS， AOBEACD5 题图25
