1、宝龙教育中心整理 1 / 37初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111解：依题意设六位数为 ，则abca10 5b10 4c10 3a 102b10c a 102（10 31）bcb10（10 31）c（10 31）（a10 3b10c ） （10 31）1001（a10 3b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C方法二：代入法2、若 ，则 S 的整数部分是_2011980S解：因 1981、19822001 均大于
2、 1980，所以 ，又90218921980、19812000 均小于 2001，所以 ，从而知201SS 的整数部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电
3、灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以宝龙教育中心整理 2 / 37那些编号为 1、2 2、3 2、4 2、5 2、6 2、7 2、8 2、9 2、10 2 共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ）A. m(1+a%)(1-b%)元 B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后
4、每件衬衣的零售价为 m（1a% ） b%元。应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 的所有可能|abca的值为（ ）A. 0 B. 1 或 -1 C. 2 或-2 D. 0 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：；| abcaabc所 以，当 a，b，c 为两负一正时： 0|1| cc所 以，由知 所有可能的值为 0。|aba应选 A6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B 60，则的值为 （ ）A. B. 212C. 1 D. 解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，由于B60，所
5、以 DB ，AD2C。在 Rt ADC 中，DC 2AC 2AD 2，所以有（a ） 2b 2 C2，整理得C3 43c AB Ca b宝龙教育中心整理 3 / 37a2c 2=b2ac，从而有 1)( 2222 bcabcabca应选 C7、设 ab0，a 2+b2=4ab，则 的值为 （ ）A. B. C. 2 D. 336解：因为(a+b) 2=6ab，(a-b) 2=2ab，由于 ab，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于 （ ）A. B. C. D. 2132152325解：设ABC 中，AB ACa，BCb，如图 D 是 AB 上一点，有 ADb，因 ab，故A 是ABC 的最
6、小角，设 AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以DCb， ACD Q ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得 ，即 ，令 ，Cbaax即得方程 ，解得 。选 B。012x215x7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 5解：C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过图 8-4AB CD A DCFCBEQAB CD宝龙教育中心整理 21 / 373 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸
7、10 边形。8、若函数 与函数 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，)0(kxyxy1则ABC 的面积为 （ ）A. 1 B. 2 C. k D. k2解：A。设点 A 的坐标为（ ） ，则 ，故ABO 的面积为 ，又因为y， 11xyABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与的大小关系是2ba解：如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MN d，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、 b，连结 BD，设 P 是 B
8、D 的中点，连结 MP、PN，则 MP ，NP ，显然恒有2b，当 ADBC ，由平行线等分线段定理知2dM、N、 P 三点共线，此时有 ，所以 与 的大小关系是add2ba。)(ba或2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABB AB，则BAC 的度数为解：12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAA AABAB ACBD4x AAB )180(2x ，于是可解出 x12。1804)180(2x3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如ABBDC图 8-5EAABDCPM N宝龙教育中心整理 22
9、 / 37（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长解：以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3
10、，PB4，PC5，则 PD4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设AGDHa ， BGCHb，AEBFc，DECF d，则 2222DPadcBPCA， ，于是 ，故 ，B 18453222BPCADP3 25、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中
11、 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC 20 米。所以图 8-6ABDCP16米 20米ABCD甲 乙图 8-7ABDCPEFG Ha abbc d16米 20米ABCD甲 乙E宝龙教育中心整理 23 / 37AEEC （米） 。6.1320tantanACECDEBAB-AE16-11.6 4.4（米）设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以 （米） 。所以要使7.216cotBB甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。6、如图 8-8，在ABC 中，A
12、BC60，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则PB提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60则ABP 60，BAP PBC，ABP BPC， ，BP 2APPCPCBA348PCAB三、解答题1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD （AB+AC）2证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。BDDC ，ADDE，ADCEDBACDEBD ACBE在ABE 中，AEABBE，即 2ADABAC AD （ABAC）212、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？答案提示：在A
13、BC 中，不妨设 abc a+bc a+b+c2c 即 p2c c ，2p另一方面 ca 且 cb 2ca+b 3c 。3cpba因此 23p图 8-8BACPAB D C图 8-9AB D CE宝龙教育中心整理 24 / 373、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB 90，CD是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交BC 于点 F。求证：四边形 CEDF 是正方形。CD 22AEBF证明：ACB90，DEBC ，DF AC，DEAC，DEBC，从而ECFDECDFC90。CD 是角平分线 DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中， DE
14、BC ADEBRtAEDRtDFB ，即 DEDFAEBF CD DE DF，BFDEA2 FAEDC224、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值是多少？解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使 k达
15、到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a 1，a 2an 显然总有 ai 大于等于中的第i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。初中数学竞赛专项训练（5）（面积及等积变换） 一、选择题：1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD ，则图形中面积相等的三角形有 （ ）A. 3 对 B. 4 对C. 5 对 D. 6 对解：C。ACFBDE图 8-
16、10PAD CBO图 9-1宝龙教育中心整理 25 / 37ACDBPCDBPCDABOCADBAC SSSSS ，2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE ，设AF、CE 交于点 G，则 等于（ ）ABCDG矩 形四 边 形A. B. C. D. 65544332解：D。连结 AC，有 ，则:1:ABCGS。ABCDABCDABCDDACGD 23矩 形矩 形矩 形四 边 形 SS 3、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 ，若在边 AC 上取一点 E，31使四边形 DECB 的面积为 ，则 的值为 （ ）4EA. B. C.
17、 D. 21345解：B。如图联结 BE， ，ADES1设 ，则xACExB413SD， E4、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB ，分别交 AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形ACEF 的面积 S1 与矩形 AGKD 的面积 S2 的大小关系是 （ ）A. S 1S 2 B. S1S 2C. S 1S 2 D. 不能确定，与 的大小有关ABC解：选 A。 ，因为GDC2，BRtDtA BCDEFG图 9-2A BCDHG KFE图 9-3AEDB C宝龙教育中心整理 26 / 37所以 ，即
18、，又因为 ABAG，ABCDABD2所以 ，所以应选 A。221SGS5、如图 9-4，四边形 ABCD 中，A 60，BD90， AD8，AB 7，则 BC+CD 等于 （ ）A. B. 5 C. 4 D. 33633解：B。如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE14，于是 DEAE，AD=6，又 BE ，在RtCDE 中，可求得 CD2 ，CE 4 ，于是3BCBECE ，BC+CD5 。6、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为 （ ）A. B. 253 C. D. 712)(解：A。由右图与左图的面积相等，得，已
19、知 ，所以有 ，即2)()(baba2)1(b，解得 ，从而正方形的面积为01251。237)53()(2b7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa ，BCb，M 是 BC 的中点，DE AM，E 为垂足，则 DE（ ）A. B. 24ba24aC. D. 2 2bA BCD图 9-4abaabb 图 9-5a bAB CDEM图 9-6A BCDE60宝龙教育中心整理 27 / 377、A。解：由ADEABM，得 DE 2224)1(babaAMBD8、O 为ABC 内一点，AO 、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC （ ）A.
20、292 B. 315C. 322 D. 357解：B。 ，即CDOABDOASS30548xy又 ，即EBBEA 7x ，解之得84213yx560yS ABC 84+40+30+35+70+56315。二、填空题1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为解： 。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ahS2阴 影ABFMCF，AFFM，S ABF S CMF。S 阴影 S DFM ，AF FM S ADF S MDF ， 。ABCD1梯 形阴 影 ahABCD梯 形 ah21阴 影2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18c
21、m，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于解：144。作 MNBC 于 N，AM MC ，MN AD，DN NC。，在 RtBMN 中，921ADMNBM15，MN9。BN12，而AB CDEF O84 xyy 40y30y35y图 9-7图 9-8AED CFBAMCDBG图 9-9宝龙教育中心整理 28 / 37BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，S ABC= ADBC 1816144。213、如图 9-10，在ABC 中，CEEB 12，DEAC，若ABC的面积为 S，则 ADE 的面积为解：S ADE S。CEEB12，设 CEk，则9EB2k，DEAC，而 BE
22、BC2k 3k23， ，S BDE S2)3(sBDE94DEAC ， ，则 SADE 1CBA1ABDESBDE S2194、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且BD4，DC 1，AE5， EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作PQCA，PR CB，它们分别与边 AB 交于点 Q、R，则 PQR 的面积与ABC 的面积之比为解： 。过点 E 作 EF AD，且交 BC 于点 F，则 ，所以10894 52EACD。因为 PQCA，所以7525CDF 3874BFP于是 。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB，3140PQ因为
23、PQR CAB 故 。10894)32(CAPQSBR5、如图 9-12，梯形 ABCD 中，ADBC，AD BC 2 5， AFFD11，BE EC2ACEBD图 9-10A BQ RDCE P图 9-11AB CDGFE图 9-12宝龙教育中心整理 29 / 373，EF、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，S GFD S FED S DEC解：126。设 AD2，则 BC5，FD1，EC3GFGEFD EC13，GFFE12，S GFD S FED GFFE 12显然有 SEFD S CED FDEC 13，S GFD S FED S CED 126。6、如图 9-13，P 是
24、矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC 5，则 PD解：3 。过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别2交 AB、CD 于 G、H。设AGDHa， BGCHb，AEBFc，DECFd，则 222222CPadDcbBcA ，于是 ，故 ，22D184532222 BPCAPDP3 。三、解答题1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上的点，S ABE S ADF S 矩形 ABCD。31求： 的值。CEFA解：设 BCa，CDb，由 ，ABCD31矩 形SABE得 。BE a， 则 EC a。同理
25、 FC b，31B2 231。b8SCEF ，CAAD3)(梯 形 ababEF 1853182SDFEC 梯 形AB CDP图 9-13A DFCEB图 9-14宝龙教育中心整理 30 / 37 。158abSCEFA2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F 。求证： 1BAC答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、如图 9-16，在 ABCD 中，P 1、P 2、P 3Pn-1 是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E，连结 APn-2 并延长交 CD 于点 F。求证：EFBD设 ABCD 的面积是 S，若 SAEF S，求 n 的值。8解：因 ADBC ，AB DC，所以 DAPBEAPFDnn 2222 ， 从而有 A222 BEDPBFAnn，即 所以 EFBDn2由可知 ，所以 ，同理可证nABSnSAFD21 SnABE21显然 ，所以 ，2DCF 4CC从而知 ，已知 所以有SE2)4(1 ,83AEF，即Sn283 83)2(41nAB C DEF图 9-15DBACEFP1P2Pn-2Pn-1图 9-16
