1、- 1 -2013-4-2 10 级数学 申请人：魏鹏飞 41000 打印人：L导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大， 2但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim0xaf及 ； lim0xag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，lixaflg那么 = 。 limxaflixafl法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) l
2、im0xf及 ； li0xg(2) ，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，A,A,且 g(x)0； (3) ，limxflg那么 = 。 lixflixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，lixaflg那么 = 。limxaflixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x- 1， ， 洛必达法则也成立。xa洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 2 010型。- 2 -在着手
3、求极限以前，首先要检查是否满足 ， 3 0， ， ， ， ， 型定式，否则滥用洛必达010法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 4二高考题处理1.(2010 年全国新课标理)设函数 。2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a（2） 若当 时 ，求 的取值范围x()0f原解：（1） 时， ， .1xe()1xfe当 时， ；当 时， .(,0)x()f,()0f故 在 单调减少，在 单调增加)f 0,)（II） (12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故x
4、，()()fx从而当 ，即 时， ，而120a12()0 )fx，(0)f于是当 时， .x()fx由 可得 .从而当10e1(0)xe时，2a，()2()()2xxxxfeaea故当 时， ，而 ，于是当0,lnx0f0f时， .(,l2)a()f综合得 的取值范围为 1,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；0x()0fx()0fx当 时， 等价于x()fx21xae- 3 -令 (x0),则 ，令21xge32()xge，则 ，0xhx1xh，0知 在 上为增函数， ；知 在x,0xhx上为增函数， ； ，g(x)在
5、0,0hg上为增函数。由洛必达法则知， ，2000112limlixxxee故 12a综上，知 a 的取值范围为 。1,22 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 在点()yfx处的切线方程为 。(1,)f 30xy（）求 、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取01ln()1xkf值范围。原解：（） 221(ln)xbf x由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故230xy(1,)即(1),2f解得 ， 。,1,ba1ab（）由（）知 ，所以lnf()x。22l1(1)()lnxkkxfx考虑函数 ，()lh()(0)则 。21)()kx- 4 -（i）设 ，由 知，当 时，0k22
6、(1)()kxh1x，h（x）递减。而 故当 时， ()(0(,)，可得 ；021)x当 x （1，+ ）时，h（x） 021从而当 x0,且 x 1 时，f （x）- （ + ）0，即 f（x）lnk+ .1lnxk（ii）设 00,1kk故 （x） 0,而 h（1 ）=0，故当 x （1， ）时，h2xkh（x）0，可得 h（x ）0, 而 h（1）=0，故当2(1)0xx （1， + ）时， h（x）0 ，可得 h（x）hx0,11,hx=0在 上为增函数x,=01h当 时， ，当 x （1，+ ）时，(0,)x0h0hx当 时， ，当 x （1，+ ）时，ggx在 上为减函数，在 上为
7、增函数0,1,由洛必达法则知2111lnln120limiimxxxg，即 k 的取值范围为（- ，00规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。解 ： 应 用 洛 必 达 法 则 和 导 数 当 ()2时 ， 原 不 等 式 等 价 于 3sixa. 记 3s()f， 则 4co()xf . 记 co， 则 ()sing. 因 为 ()sista， ingx， 所 以 ()gx在 0,)2上 单 调 递 减 ， 且 ()0gx， 所 以 ()在 0,)2上 单 调
8、 递 减 ， 且 ().因 此 ()在 ,)2上 单 调 递 减 ， 且 ()gx， 故 4()0gxf， 因 此 3sin()xf在 (0,)上 单 调 递 减 . 由 洛 必 达 法 则 有 3200000sin1cosincos1lim()lilmllm66xxxxxf， 即 当 时 ， ()6g， 即 有 ()f. 故 16a时 ， 不 等 式 3sinxa对 于 (0,)2x恒 成 立 . 通 过 以 上 例 题 的 分 析 ， 我 们 不 难 发 现 应 用 洛 必 达 法 则 解 决 的 试 题 应 满 足 ： 可 以 分 离 变 量 ； 用 导 数 可 以 确 定 分 离 变 量 后 一 端 新 函 数 的 单 调 性 ； 出 现 “0”型 式 子 . - 6 -自 编 ： 若 不 等 式 3sinxax对 于 (0,)2x恒 成 立 ， 求 a的 取 值 范 围 .
