1、第 1 页（共 19 页）2015-2016 学年河南省郑州市枫杨外国语中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A0 B正实数 C0 和 1 D12下列各组数中是勾股数的一组是（ ）A7，24，25 B4，6， 9 C0.3，0.4，0.5 D4， ，3点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A （3， 4） B （3， 4） C （ 3，4） D （4，3）4如果ABC 的三边分别为 m21，2 m，m 2+1（m1）那么（ ）AABC 是直角三角形，且斜边长为 m2+1BABC 是直角三角
2、形，且斜边长为 2mCABC 是直角三角形，但斜边长需由 m 的大小确定DABC 不是直角三角形5下列说法错误的是（ ）Aa 2 与（a 2）是互为相反数 B 与 互为相反数C 与 是互为相反数 D|a|与| a|互为相反数6已知 P（0，a）在 y 轴的负半轴上，则 Q（a 21， a+1）在（ ）Ay 轴的左边，x 轴上方 By 轴右边，x 轴上方Cy 轴的左边，x 轴下方 Dy 轴的右边，x 轴下方7化简二次根式 的结果是（ ）A B C D8若一个三角形的三个内角度数之比为 1：1：2，则它们所对的边的平方之比为（ ）A1：1：2 B1：2：4 C1：1：4 D2：1：1二、填空题（3
3、 分11=33 分）9已知 x 为整数，且满足 ，则 x= 10在数轴上与表示 的点的距离为 1 的点表示的数是 第 2 页（共 19 页）11若点 P（a，b）在第三象限，则点 M（a+2，b 3）在 第 象限12点 C 在 x 轴的下方，y 轴的右侧，距离 x 轴 3 个单位长度，距离 y 轴 5 个单位长度，则点 C 的坐标为 13已知 RtABC 中， C=90，a+b=14cm ，c=10cm，则 RtABC 的面积等于 14若 和 都是 5 的立方根，则 2a+3b= 15比较大小： （填“”或“ ” ）16若 与|b+1|互为相反数，则 ab 的相反数为 17如图，ABC 中，点
4、 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，如果要使 ABD 与ABC 全等，那么点 D 的坐标是 18如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm19在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y） ，我们把点 P（ y+1，x+1）叫做点 P 伴随点已知点 A1 的伴随点为 A2，点 A2 的伴随点为 A3，点 A3 的伴随点为 A4，这样依次得到点 A1，A 2，A 3，A n，若点 A1 的坐标为（ 3，1） ，则
5、点 A3 的坐标为 ，点 A2014 的坐标为 ；若点 A1 的坐标为（a，b） ，对于任意的正整数 n，点An 均在 x 轴上方，则 a，b 应满足的条件为 三、解答题（共 43 分）20计算（1）第 3 页（共 19 页）（2） 21如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使使“马” 位于点（2，2） ， “炮” 位于点（1 ，2 ） ，写出 “兵”所在位置的坐标22设 a、b、c 都是实数，且满足（2 a） 2+ +|c+8|=0，ax 2+bx+c=0，求式子x2+2x 的算术平方根23如图，在 RtABC 中， C=90，BC=5，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，
6、点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AF BF ） 求 BE 的长24如图所示，A（ ，0） 、B（0，1）分别为 x 轴、y 轴上的点， ABC 为等边三角形，点 P（3，a）在第一象限内，且满足 2SABP=SABC，求 a 的值25定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN 和 BN，若以 AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2，MN=3，求 BN 的长；（2）如图，在等腰直角ABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 M、N 为边 AB 上两点，满足MCN=4
7、5 ，求证：点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点；第 4 页（共 19 页）阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN 绕点 C 逆时针旋转 90试一试请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；已知：点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图所示，请在 BC 上画一点 D，使C、D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） ；（3）如图，已知：点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，MN AMBN，ABC、MND 分别是以 AB、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点 C 与点
8、 D 在 AB 的同侧，若MN=4，连接 CD，则 CD= 第 5 页（共 19 页）2015-2016 学年河南省郑州市枫杨外国语中学八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A0 B正实数 C0 和 1 D1【考点】立方根；平方根【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有 0 的立方根和它的平方根相等，解决问题【解答】解：0 的立方根和它的平方根相等都是 0；1 的立方根是 1，平方根是 1，一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 0故选 A2下列各组数中是勾股数的一组是（ ）A7
9、，24，25 B4，6， 9 C0.3，0.4，0.5 D4， ，【考点】勾股数【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案【解答】解：A、7 2+242=252，此选项符合题意；B、4 2+4292， 此选项不符合题意；C、不是整数，此选项符合题意；D、 不是整数， 此选项不符合题意故选：A3点 P（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A （3， 4） B （3， 4） C （ 3，4） D （4，3）【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标【分析】根据两点关于 x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解【解答】解：根据两点关于 x 轴对称的点的坐标特征，得点 P
10、（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（3，4） 故选 B4如果ABC 的三边分别为 m21，2 m，m 2+1（m1）那么（ ）AABC 是直角三角形，且斜边长为 m2+1BABC 是直角三角形，且斜边长为 2mCABC 是直角三角形，但斜边长需由 m 的大小确定第 6 页（共 19 页）DABC 不是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选出正确答案【解答】解：（m 21） 2+（ 2 m） 2=（m 2+1） 2，三角形为直角三角形，且斜边长为 m2+1，A、ABC 是直角三角形，且斜边长为 m2+1，正确；B、ABC 是直角三角形，且斜
11、边长为 2m，错误；C、ABC 是直角三角形，但斜边长需由 m 的大小确定，错误；D、ABC 是直角三角形，错误故选 A5下列说法错误的是（ ）Aa 2 与（a 2）是互为相反数 B 与 互为相反数C 与 是互为相反数 D|a|与| a|互为相反数【考点】实数的性质【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解：A、a 2 与（ a2）是互为相反数，故 A 正确；B、 与 互为相反数，故 B 正确；C、 与 是互为相反数，故 C 正确；D、|a|与 |a|是同一个数，故 D 错误；故选：D6已知 P（0，a）在 y 轴的负半轴上，则 Q（a 21， a+1）在（ ）Ay 轴的左
12、边，x 轴上方 By 轴右边，x 轴上方Cy 轴的左边，x 轴下方 Dy 轴的右边，x 轴下方【考点】点的坐标【分析】根据点在 y 轴的负半轴上的条件是（0，）来解答【解答】解：因为 P（0，a）在 y 轴的负半轴上，所以 a0，则a 210，a+10，所以点 Q（，+ ）在第二象限，在 y 轴的左边，x 轴上方故选 A第 7 页（共 19 页）7化简二次根式 的结果是（ ）A B C D【考点】二次根式的性质与化简【分析】根据二次根式找出隐含条件 a+20，即 a2，再化简【解答】解：若二次根式有意义，则 0，a20，解得 a2，原式 = = 故选 B8若一个三角形的三个内角度数之比为 1：
13、1：2，则它们所对的边的平方之比为（ ）A1：1：2 B1：2：4 C1：1：4 D2：1：1【考点】等腰直角三角形【分析】设三角形的三个内角度数分别为 x、x、2x，三边长分别为 a、b、c，由三角形内角和定理得出 x+x+2x=180，得出三角形为等腰直角三角形，由勾股定理得出 a2+b2=c2，即 2a2=c2，即可得出结果【解答】解：设三角形的三个内角度数分别为 x、x、2x，三边长分别为 a、b、c，则 x+x+2x=180，解得：x=45，2x=90，三角形为等腰直角三角形，a=b， a2+b2=c2，即 2a2=c2，a2：b 2：c 2=1：1：2；故选：A二、填空题（3 分1
14、1=33 分）9已知 x 为整数，且满足 ，则 x= 1，0，1 【考点】估算无理数的大小【分析】首先找到题中的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的整数的范围【解答】解： 2 1，1 2，x 应在 2 和 2 之间，第 8 页（共 19 页）则 x=1， 0，1故答案为：1， 0，110在数轴上与表示 的点的距离为 1 的点表示的数是 1 或1 【考点】实数与数轴【分析】设数轴上与表示 的点的距离为 1 的点表示的数为 x，再根据数轴上两点间的距离公式求出 x 的值即可【解答】解：数轴上与表示 的点的距离为 1 的点表示的数为 x，则|x+ |=1，解得 x=1 或 x=1 故答
15、案为：1 或 1 11若点 P（a，b）在第三象限，则点 M（a+2，b 3）在 第 四 象限【考点】点的坐标【分析】根据点 P 的横纵坐标的符号判断出点 M 的横纵坐标的符号，进而得到所在象限即可【解答】解：点 P（a，b）在第三象限，a0，b0，a+20，b30，点 M（a+2，b3）在第四象限，故答案为：四12点 C 在 x 轴的下方，y 轴的右侧，距离 x 轴 3 个单位长度，距离 y 轴 5 个单位长度，则点 C 的坐标为 （5， 3） 【考点】点的坐标【分析】根据点位于 x 轴下方，y 轴右侧，可得点位于第四象限，根据点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到 y 轴的距离是点的横坐
16、标的绝对值，可得答案【解答】解：由 C 在 x 轴的下方， y 轴的右侧，得C 位于第四象限由距离 x 轴 3 个单位长度，距离 y 轴 5 个单位长度，则点 C 的坐标为（5， 3） ，故答案为：（5，3） 第 9 页（共 19 页）13已知 RtABC 中， C=90，a+b=14cm ，c=10cm，则 RtABC 的面积等于 24cm 2 【考点】勾股定理【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a+b 与 c 的值代入求出ab 的值，即可确定出直角三角形的面积【解答】解：Rt ABC 中， C=90，a+b=14cm，c=10cm，由勾股定理得：a 2+b2=c2，
17、即（a+b） 22ab=c2=100，1962ab=100，即 ab=48，则 RtABC 的面积为 ab=24（cm 2） 故答案为：24cm 214若 和 都是 5 的立方根，则 2a+3b= 15 【考点】立方根【分析】根据立方根的定义，求出 a，b 的值，即可求出代数式的值【解答】解：若 和 都是 5 的立方根， ，2a+3b=12+3=15故答案为：1515比较大小： （填“”或“ ”）【考点】实数大小比较【分析】首先估算得出 3 4，则 12，得出 1， 1，由此比较得出答案即可【解答】解：3 4， 12，则 1， 1，第 10 页（共 19 页） 故答案为：16若 与|b+1|互
18、为相反数，则 ab 的相反数为 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值【分析】由非负数的性质可知 a= ，b= 1，然后求得 ab 的值即可【解答】解： 与|b+1| 互为相反数， +|b+1|=0a= ，b=1ab= （ 1）= +1故答案为： 17如图，ABC 中，点 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，如果要使 ABD 与ABC 全等，那么点 D 的坐标是 （4，1）或（1，3）或（1，1） 【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质【分析】因为ABD 与ABC 有一条公共边 AB，故本题应从点 D 在 AB 的上边、点 D 在AB 的下边两种情况入手进行讨
19、论，计算即可得出答案【解答】解：ABD 与ABC 有一条公共边 AB，当点 D 在 AB 的下边时，点 D 有两种情况： 坐标是（ 4， 1） ； 坐标为（ 1，1） ；当点 D 在 AB 的上边时，坐标为（ 1，3） ；点 D 的坐标是（4，1）或（1，3）或（1， 1） 第 11 页（共 19 页）18如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】过 C 作 CQEF 于 Q，作 A 关于 E
20、H 的对称点 A，连接 AC 交 EH 于 P，连接AP，则 AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 AQ，CQ，根据勾股定理求出 AC 即可【解答】解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，过 C 作 CQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AC 交 EH 于 P，连接 AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，AE=AE，AP=AP，AP+PC=AP+PC=AC，CQ= 18cm=9cm，AQ=12cm4cm+4cm=12cm，在 RtAQC 中，由勾股定理得：A C= =15cm，故答案为：1519在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）
21、，我们把点 P（ y+1，x+1）叫做点 P 伴随点已知点 A1 的伴随点为 A2，点 A2 的伴随点为 A3，点 A3 的伴随点为 A4，这样依第 12 页（共 19 页）次得到点 A1，A 2，A 3，A n，若点 A1 的坐标为（ 3，1） ，则点 A3 的坐标为 （3 ，1 ） ，点 A2014 的坐标为 （0，4） ；若点 A1 的坐标为（a，b） ，对于任意的正整数 n，点 An 均在 x 轴上方，则 a，b 应满足的条件为 1a1 且 0b2 【考点】规律型：点的坐标【分析】根据“伴随点” 的定义依次求出各点，不难发现，每 4 个点为一个循环组依次循环，用 2014 除以 4，根
22、据商和余数的情况确定点 A2014 的坐标即可；再写出点 A1（a，b）的“伴随点” ，然后根据 x 轴上方的点的纵坐标大于 0 列出不等式组求解即可【解答】解：A 1 的坐标为（ 3，1） ，A2（0 ，4） ， A3（ 3，1） ，A 4（0，2） ，A 5（3，1） ，依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，20144=503 余 2，点 A2014 的坐标与 A2 的坐标相同，为（0，4） ；点 A1 的坐标为（ a，b） ，A2（ b+1，a+1） ，A 3（a ， b+2） ，A 4（b 1，a+1） ，A 5（a，b） ，依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，对于任意的
23、正整数 n，点 An 均在 x 轴上方， ， ，解得1 a1，0b2故答案为：（3，1） ， （0，4 ） ； 1a1 且 0b2三、解答题（共 43 分）20计算（1）（2） 【考点】实数的运算【分析】 （1）原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；（2）原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及幂的乘方运算法则计算即可得到结果【解答】解：（1）原式=3 6 2 ；（2）原式=3 2 +1+1=3 4 +2第 13 页（共 19 页）21如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使使“马” 位于点（2，2） ， “炮” 位于点（1 ，2 ） ，写出 “兵”所在位置的坐标【考点】坐标确定位
24、置【分析】根据“马” 的位置向下平移两个单位是 x 轴，再向左平移两个单位是 y 轴，根据“兵”在平面直角坐标系中的位置，可得答案【解答】解：“马” 的位置向下平移两个单位是 x 轴，再向左平移两个单位是 y 轴，得，“兵”所在位置的坐标（2，3） 22设 a、b、c 都是实数，且满足（2 a） 2+ +|c+8|=0，ax 2+bx+c=0，求式子x2+2x 的算术平方根【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b、c 的值，然后代入代数式求出 x2+2x 的值，再根据算术平方根的定义解答【解答】解：由题意得，2a=0
25、，a 2+b+c=0，c+8=0，解得 a=2，b=4，c= 8，代入 ax2+bx+c=0 得，2x 2+4x8=0，所以，x 2+2x=4，所以，x 2+2x 的算术平方根是 223如图，在 RtABC 中， C=90，BC=5，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AF BF ） 求 BE 的长第 14 页（共 19 页）【考点】角平分线的性质【分析】根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等，得到 AC=AF，由于点 F 是 AB 的一个三等分点，设 BF=m，则AC=2m，AF=2m ，AB=
26、3m ，根据勾股定理得到 BF= ，AB=3 ，通过BEF ABC，即可得到结论【解答】解：AE 是BAC 的平分线，EC AC，EFAF ，CE=EF，在 RtACE 与 RtAFE 中，RtACERtAFE（HL） ，AC=AF，点 F 是 AB 的一个三等分点，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m ，AB=3m，AB2=BC2+AC2，（ 3m） 2=52+（2m） 2，m= ，BF= ，AB=3BFE=C=90，B= B，BEFABC， ，即 = ，BE=324如图所示，A（ ，0） 、B（0，1）分别为 x 轴、y 轴上的点， ABC 为等边三角形，点 P（3，a）在第一象限内，
27、且满足 2SABP=SABC，求 a 的值【考点】坐标与图形性质；三角形的面积第 15 页（共 19 页）【分析】过 P 点作 PDx 轴，垂足为 D，根据 A（ ，0） 、B（0，1）求 OA、OB，利用勾股定理求 AB，可得ABC 的面积，利用 SABP=SAOB+S 梯形 BODPSADP，列方程求 a【解答】解：过 P 点作 PDx 轴，垂足为 D由 A（ ，0） 、B （0，1） ，得 OA= ，OB=1 ，ABC 为等边三角形，由勾股定理，得 AB= =2，SABC= 2 = ，又 SABP=SAOB+S 梯形 BODPSADP= 1+ （1+a） 3 （ +3）a= ，由 2SA
28、BP=SABC，得 = ，a= 25定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN 和 BN，若以 AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2，MN=3，求 BN 的长；（2）如图，在等腰直角ABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 M、N 为边 AB 上两点，满足MCN=45 ，求证：点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点；第 16 页（共 19 页）阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN 绕点 C
29、逆时针旋转 90试一试请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；已知：点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图所示，请在 BC 上画一点 D，使C、D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） ；（3）如图，已知：点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，MN AMBN，ABC、MND 分别是以 AB、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点 C 与点 D 在 AB 的同侧，若MN=4，连接 CD，则 CD= 【考点】勾股定理【分析】 （1）当 MN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN； 当 BN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN 即可（2）只要证
30、明MCNMCN以及 NAM=90即可如图作 CMAB，使得 CM=AC，连接 BM，作 BM 的垂直平分线 EF 交 AB 于 D，点 D 就是所求的点（3）如图中，连接 CM、CN，将 ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得CBF，将CDM 绕点 C 逆时针旋转 90得CFE 只要证明四边形 EFDN 是平行四边形以及 MN=NF 就可以了【解答】 （1）解：当 MN 为最大线段时，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，BN= = = ；当 BN 为最大线段时，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，BN= = = ，综上所述：BN= 或 ；（2）证明：连接 MN，ACB=90，MCN=90
31、 ，BCN+ACM=45，ACN=BCN，MCN=ACN+ACM=BCN+ACN=45=MCN，在MCN 和MCN中，MCNMCN，MN=MN，第 17 页（共 19 页）CAN=CAB=45，MAN=90，AN2+AM2=MN2，即 BN2+AM2=MN2，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点如图，作 CMAB，使得 CM=AC，连接 BM，作 BM 的垂直平分线 EF 交 AB 于D，点 D 就是所求的点（3）如图中，连接 CM、CN，将 ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得CBF，将CDM 绕点 C 逆时针旋转 90得CFEABC，DMN 都是等腰直角三角形，DMN=A=45，CBA=DNM=45DMAC，DN BC，1=2=3=4，EFBC，EFCND，DM=DN=EF，四边形 EFND 是平行四边形，ED=NF，由（1）可知 MN=NF，MN=ED，在 RTCDE 中，CD=CE，DCE=90 ，DE= CD，MN= CDMN=2，CD= 故答案为 第 18 页（共 19 页）第 19 页（共 19 页）2016 年 5 月 12 日
